圆锥曲线中的热点问题.doc

1、 圆锥曲线中的热点问题圆锥曲线中的热点问题 1.(2020 全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 的两条渐近线分别交于 D，E两点.若ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y b ax. 因为 D，E 分别为直线 xa 与双曲线 C 的两渐近线的交点， 所以不妨设 D(a，b)，E(a，b)， 所以 SODE1 2a|DE| 1 2a2bab8， 则 c2a2b22ab16，当且仅当 ab2 2时等号成立，c4. 故曲线 C 的焦距 2c 的最小值为 8. 答

2、案 B 2.(2020 全国卷)已知A，B分别为椭圆E：x 2 a2y 21(a1)的左、右顶点，G为E 的上顶点，AG GB 8.P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点. (1)解 由题设得 A(a，0)，B(a，0)，G(0，1). 则AG (a，1)，GB (a，1). 由AG GB 8，得 a218， 解得 a3 或 a3(舍去). 所以椭圆 E 的方程为x 2 9y 21. (2)证明 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t). 若 t0，设直线 CD 的方程为

3、xmyn， 由题意可知3n0). 由 ykx， x2 4 y2 21 得 x 2 12k2. 设 u 2 12k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0). 于是直线 QG 的斜率为k 2，方程为 y k 2(xu). 由 yk 2（xu）， x2 4 y2 21， 得(2k2)x22uk2xk2u280. 设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程的解， 故 xGu（3k 22） 2k2 ，由此得 yG uk3 2k2. 从而直线 PG 的斜率为 uk3 2k2uk u（3k22） 2k2 u 1 k. 所以 PQPG，即PQG 是直角三角形. 解 由得|PQ|2u1k2，|PG|

4、2uk k 21 2k2 ， 所以PQG 的面积 S1 2|PQ|PG| 8k（1k2） （12k2）（2k2） 8 1 kk 12 1 kk 2. 设 tk1 k， 则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号. 因为 S 8t 12t2在2，)单调递减， 所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为16 9 . 因此，PQG 面积的最大值为16 9 . 探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件 和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关 系，或者已知参数与

5、新参数之间的等量关系等，列出含参数的函数式；可利用求 函数值域(最值)或基本不等式、换元法、导数法，利用已知或隐含的参数范围求 最值、范围.特别是分式形式时，会用换元法将复杂化为简单. 角度 2 求几何量、某个参数的取值范围 【例2】 (2020 江西六校联考)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上， 中心在原点.若右焦点到直线 xy2 20 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线 ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点 M，N.当|AM|AN|时，求 m 的取值范围. 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2 a2y 21(a1)， 则右焦点 F( a21，0)，由题设|

6、 a 212 2| 2 3， 解得 a23.所求椭圆的方程为x 2 3y 21. (2)设 P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)， P 为弦 MN 的中点， 由 ykxm， x2 3y 21，得(3k 21)x26mkx3(m21)0， 直线与椭圆相交， (6mk)24(3k21)3(m21)0m23k21. xPx MxN 2 3mk 3k21，从而 yPkxPm m 3k21， kAPy P1 xP m3k 21 3mk ， 又|AM|AN|，APMN， 则m3k 21 3mk 1 k，即 2m3k 21. 把代入，得 m22m，解得 0m0，解得 m1 2. 综上， 求得

7、 m 的取值范围是 1 2，2 . 探究提高 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范 围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数 之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而 确定参数的取值范围. 【训练 1】 (2020 贵阳诊断)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1上的任意一点 M 到直 线 y1 的距离比 M

8、 点到点 F(0，2)的距离小 1. (1)求动点 M 的轨迹 C1的方程； (2)若点P是圆C2：(x2)2(y2)21上一动点，过点P作曲线C1的两条切线， 切点分别为 A，B，求直线 AB 斜率的取值范围. 解 (1)法一 设点 M(x，y)，点 M 到直线 y1 的距离等于|y1|， |y1| x2（y2）21，化简得 x28y， 动点 M 的轨迹 C1的方程为 x28y. 法二 由题意知 M 到直线 y2 的距离等于 M 到 F(0，2)的距离，由抛物线定 义得动点 M 的轨迹方程为 x28y. (2)由题意可知，PA，PB 的斜率都存在，分别设为 k1，k2，切点 A(x1，y1)

9、， B(x2，y2)， 设点 P(m，n)，过点 P 的抛物线的切线方程为 yk(xm)n， 联立 yk（xm）n， x28y 得 x28kx8km8n0， 64k232km32n0，即 2k2kmn0， k1k2m 2，k1k2 n 2. 由 x28y，得 yx 4， x14k1，y1x 2 1 82k 2 1，x24k2，y2x 2 2 82k 2 2， kABy 2y1 x2x1 2k222k21 4k24k1 k2k1 2 m 4， 点 P(m，n)满足(x2)2(y2)21，1m3， 1 4 m 4 3 4，即直线 AB 斜率的取值范围为 1 4， 3 4 . 热点二 圆锥曲线中定值

10、、定点问题 角度 1 圆锥曲线中的定值 【例 3】 (2020 广州模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)经过点 P(1，2).过点 Q(0， 1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证：1 1 为定值. (1)解 因为抛物线 y22px 过点 P(1，2)， 所以 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24x. 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 ykx1(k0). 由 y 24x， y

11、kx1得 k 2x2(2k4)x10. 依题意 (2k4)24k210，解得 k1， 又因为 k0，故 k0 或 0kb0)，四点 P1(1，1)，P2(0， 1)，P3 1， 3 2 ，P4 1， 3 2 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为1，证明：l 过定点. (1)解 由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 知，椭圆 C 不经过点 P1， 所以点 P2在椭圆 C 上. 因此 1 b21， 1 a2

12、3 4b21， 解得 a 24， b21. 故 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果直线 l 的斜率不存在，此时 l 垂直于 x 轴. 设 l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)， k1k2y A1 m y A1 m 2 m 1，得 m2， 此时 l 过椭圆 C 右顶点，与椭圆 C 不存在两个交点，故不满足. 从而可设 l：ykxm(m1). 将 ykxm 代入x 2 4y 21 得(4k21)x28kmx4m240. 由题设可知 16(4k2m21)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km

13、4k21，x1x2 4m24 4k21 . 则 k1k2y 11 x1 y 21 x2 kx 1m1 x1 kx 2m1 x2 2kx 1x2（m1）（x1x2） x1x2 . 由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. (2k1) 4m24 4k21 (m1) 8km 4k210. 解得 m2k1，此时 32(m1)， 当且仅当 m1 时，0， 直线 l 的方程为 ykx2k1，即 y1k(x2). 所以 l 过定点(2，1). 探究提高 1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条 件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过

14、定点(m，0). 2.动曲线 C 过定点问题.引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成 立，令其系数等于零，得出定点. 【训练 3】 (2020 太原模拟)已知圆 O1：(x1)2y28 上有一动点 Q，点 O2的 坐标为(1，0)，四边形 QO1O2R 为平行四边形.线段 O1R 的垂直平分线交 O2R 于点 P. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 O2作直线与曲线 C 交于 A，B 两点，点 K 的坐标为(2，1)，直线 KA，KB 与 y 轴分别交于 M，N 两点，求证：线段 MN 的中点为定点，并求出该中点的坐 标. (1)解 因为|PO1|PO2|PR|P

15、O2|RO2|QO1|2 2|O1O2|2， 所以点 P 的轨迹是一个椭圆，且长轴长 2a2 2，半焦距 c1， 所以 b2a2c21，轨迹 C 的方程为x 2 2y 21(y0). (2)证明 当直线 AB 的斜率为 0 时，由(1)y0 知与曲线 C 无交点. 当直线 AB 的斜率不为 0 时，设过点 O2的直线方程为 xmy1，点 A，B 坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2). 直线方程与椭圆方程联立得 xmy1， x2 2y 21，消去 x，得(m 22)y22my10， 则 y1y2 2m m22，y1y2 1 m22. 直线 KA 的方程为 y1y 11 x12(x2)， 令

16、 x0 得 yM（m2）y 11 my11 . 同理可得 yN（m2）y 21 my21 . 所以y MyN 2 （m2）y 11（my21）（m2）y21（my11） 2（my11）（my21） m（m2）y 1y2（y1y2）1 m2y1y2m（y1y2）1 m（m2）2m（m 22） m22m2m22 1. 所以 MN 的中点为(0，1)，恒为定点. 热点三 圆锥曲线中的存在性问题 【例5】 设椭圆M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 A(1，0)，B(1，0)， C 为椭圆 M 上的点，且ACB 3，SABC 3 3 . (1)求椭圆 M 的标准方程； (2)设过

17、椭圆 M 右焦点且斜率为 k 的动直线与椭圆 M 相交于 E，F 两点，探究在 x 轴上是否存在定点D，使得DE DF 为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标； 若不存在，请说明理由. 解 (1)在ABC 中，由余弦定理 AB2CA2CB22CA CB cos C(CACB)2 3CA CB4. 又 SABC1 2CA CB sin C 3 4 CA CB 3 3 ， CA CB4 3，代入上式得 CACB2 2. 椭圆长轴长为 2a2 2，焦距为 2cAB2，b2a2c21. 所以椭圆 M 的标准方程为x 2 2y 21. (2)设直线方程 yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

18、 联立 x 2 2y 21， yk（x1）， 消去 y 得(12k2)x24k2x2k220，8k280， x1x2 4k2 12k2，x1x2 2k22 12k2. 假设 x 轴上存在定点 D(x0，0)，使得DE DF 为定值. DE DF (x1x0，y1) (x2x0，y2) x1x2x0(x1x2)x20y1y2 x1x2x0(x1x2)x20k2(x11)(x21) (1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)x20k2 （2x 2 04x01）k2（x202） 12k2 . 要使DE DF 为定值，则DE DF 的值与 k 无关， 2x204x012(x202)，解得 x05 4，

19、 此时DE DF 7 16为定值，定点为 5 4，0 . 探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假 设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结 论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨 论. 2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法 设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲 线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 【训练 4】 (2020 西安调研)已知抛物线 C：y22px(p0)的准线经过点 P(1，0). (1)求抛

20、物线 C 的方程. (2)设 O 是原点，直线 l 恒过定点(1，0)，且与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线 x 1与直线 OA，OB 分别交于点M，N，请问：是否存在以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)依题意知，p 21，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)存在，理由如下. 设直线 AB 的方程为 xty1，A y21 4，y1 ，B y22 4，y2 . 联立直线 AB 与抛物线 C 的方程得 xty1， y24x， 消去 x 并整理，得 y24ty40. 易知 16t2160，则 y 1y2

21、4t， y1y24. 由直线 OA 的方程 y 4 y1x，可得 M 1， 4 y1 ，由直线 OB 的方程 y 4 y2x，可得 N 1， 4 y2 . 设以 MN 为直径的圆上任一点 D(x，y)，则DM DN 0， 所以以 MN 为直径的圆的方程为 (x1)2 y 4 y1 y 4 y2 0. 令 y0，得(x1)2 16 y1y20. 将 y1y24 代入上式，得(x1)240， 解得 x11，x23. 故存在以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为(1， 0)和(3，0). A 级 巩固提升 一、选择题 1.椭圆 C：x 2 3 y2 m1 的焦点在 x 轴

22、上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存 在点 M 满足AMB120 ，则实数 m 的取值范围是( ) A.(3，) B.1，3) C.(0， 3) D.(0，1 解析 依题意，当 0m3 时，焦点在 x 轴上， 要在曲线 C 上存在点 M 满足AMB120 ， 则a btan 60 ，即 3 m 3，解得 0 1 5，所以圆D在椭圆C的内部，且|PQ|的最小值为 4 5 1 5 5 5 .故选 BC. 答案 BC 二、填空题 6.已知点 P(0，1)，椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点 A，B 满足AP 2PB，则当 m _时，点 B 横坐标的绝对值最大. 解析 设 A(x1，y1

23、)，B(x2，y2)，由AP 2PB，得 x 12x2， 1y12（y21），即 x1 2x2，y132y2. 因为点 A，B 在椭圆上，所以 4x 2 2 4 （32y2）2m， x22 4y 2 2m， 得 y21 4m 3 4，所以 x 2 2m(32y2)21 4m 25 2m 9 4 1 4(m5) 244，所 以当 m5 时，点 B 的横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 答案 5 7.(2020 郑州模拟)已知双曲线x 2 9 y2 b21 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为双曲线 上任一点，且PF1 PF2 的最小值为7，则该双曲线的离心率是_. 解析 设点 F1(c，0)，

24、F2(c，0)(其中 c0)，P(x0，y0). 则x 2 0 9 y 2 0 b21，所以 x 2 09 1y 2 0 b2 . PF1 (cx0，y0)，PF2 (cx0，y0)， PF1 PF2 x20c2y209 1y 2 0 b2 y20c2y20 1 9 b2 9c29c2，当且仅当 y00 时，上式“”成立. 9c27，c4. 从而双曲线的离心率 ec a 4 3. 答案 4 3 8.设抛物线 x24y 的焦点为 F，A 为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|2；已 知 P 为抛物线准线上任一点，则|PA|PF|的最小值为_，此时PAF 的 外接圆半径为_. 解析 由 x24y，

25、知 p2，焦点 F(0，1)，准线 y1. 依题意，设 A(x0，y0)(x00)，由定义，得|AF|y0p 2，则 y0211，AFy 轴.易知当 P(1，1)时，|PA|PF|最小， |PF|12（11）2 5，则|PA|PF|2 5，由正弦定理，2R |PF| sin A 5 2 5 5 2，因此PAF 的外接圆半径 R 5 4. 答案 2 5 5 4 三、解答题 9.(2020 广州调研)已知点 P 到直线 y3 的距离比点 P 到点 A(0，1)的距离多 2. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)经过点 Q(0，2)的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M，N 两点，是否存在定点 R

26、使 得MRQNRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题知，|PA|等于点 P 到直线 y1 的距离， 故 P 点的轨迹是以 A 为焦点，y1 为准线的抛物线， 所以其方程为 x24y. (2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点 R，则点 R 必在 y 轴上，可设其 坐标为(0，r)， 此时由MRQNRQ 可得 kMRkNR0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y 1r x1 y 2r x2 0， 由题知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykx2，与 x24y 联立得 x24kx8 0， 则 x1x24k，x1x28， y1r x1 y 2r x2

27、 kx 12r x1 kx 22r x2 2k（2r）（x 1x2） x1x2 2kk（2r） 2 0， 故 r2，即存在满足条件的定点 R(0，2). 10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 4y 21，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 是椭圆 C 上两个动点，直线 OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2，若 m x1 2，y1 ，n x2 2，y2 ，m n0. (1)求证：k1 k21 4； (2)试探求OPQ 的面积 S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 k1，k2均存在，x1x20， 又 m n0，x1x2 4 y1y20，即x1x2 4 y1y2， k1

28、k2y1y2 x1x2 1 4. (2)解 当直线 PQ 的斜率不存在， 即 x1x2，y1y2时， 由y1y2 x1x2 1 4，得 x21 4y 2 10， 又点 P(x1，y1)在椭圆上，得x 2 1 4y 2 11， |x1| 2，|y1| 2 2 . SPOQ1 2|x1| |y1y2|1. 当直线 PQ 的斜率存在时， 设直线 PQ 的方程为 ykxb(b0). 由 ykxb， x2 4y 21，得(4k 21)x28kbx4b240， 64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0， x1x2 8kb 4k21，x1x2 4b24 4k21. x1x2 4 y1y2

29、0，x1x2 4 (kx1b)(kx2b)0， 得 2b24k21，满足 0. SPOQ1 2 |b| 1k2|PQ| 1 2|b| （x1x2） 24x1x22|b| 4k21b2 4k21 1. 综上可知，POQ 的面积 S 为定值. B 级 能力突破 11.(2019 北京卷)已知抛物线 C：x22py(p0)经过点(2，1). (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程. (2)设 O为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0的直线 l 交抛物线C 于两点M， N，直线y1分别交直线OM，ON于点A 和点B.求证：以AB为直径的圆经过 y 轴上的两个定点. (1)解 由抛物线 C：x22p

30、y 经过点(2，1)得 p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1. (2)证明 抛物线 C 的焦点为 F(0，1). 设直线 l 的方程为 ykx1(k0). 由 ykx1， x24y 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1， 同理得 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)， 则DA x1 y1，1n ，DB x2 y2，1n ， DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x

31、1x2(n1) 24(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20， 得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，3). 12.(2020 成都一诊)已知椭圆 C：x 2 2y 21 的右焦点为 F，过点 F 的直线(不与 x 轴重合)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l：x2 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作 ADl，垂足为 D. (1)求四边形 OAHB(O 为坐标原点)的面积的取值范围. (2)证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标. (1)解 由题设知 F(1，0)，设直线 AB 的方程为 xmy1(mR)，A(x1，y

32、1)，B(x2，y2). 由 xmy1， x2 2y 21，消去 x 并整理， 得(m22)y22my10. 4m24(m22)0， 则 y1y2 2m m22，y1y2 1 m22， 所以|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 m 21 m22 . 所以四边形 OAHB 的面积 S1 2|OH|y1y2| 1 22 2 2 m21 m22 2 2 m 21 m22 . 令 m21t，则 t1，所以 S2 2t t21 2 2 t1 t ，t1. 因为 t1 t2(当且仅当 t1，即 m0 时取等号)， 所以 0S 2. 故四边形 OAHB 的面积的取值范围为(0， 2. (2)证明 由 B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线 BD 的斜率 ky 1y2 2x2 . 所以直线 BD 的方程为 yy1y 1y2 2x2 (x2). 令 y0，得 xx 2y12y2 y1y2 my 1y2y12y2 y1y2 . 由(1)知，y1y2 2m m22，y1y2 1 m22， 所以 y1y22my1y2. 将代入，化简得 x 1 2（y1y2）y12y2 y1y2 3 2（y1y2） y1y2 3 2， 所以直线 BD 过定点 E 3 2，0 .