1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 一般地,证明一个与 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: 1.证明当n取第一个值 n0(n0N*) 时命题成立; 2.假设 n=k(kn0,kN*) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 1 | 数学归纳法的概念 2 | 数学归纳法的步骤 2.3 数学归纳法 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1
2、.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) 2.数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1.( ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可.( ) 4.用数学归纳法证明命题时,归纳假设一定要用上. ( ) 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1 |用数学归纳法证明恒等式 利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式两 边的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(kn0,kN*)时的假设.证明恒 等式的一个重要技巧就是两边“凑”. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描
3、述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()用数学归纳法证明:对任意正整数n,+=成立. 证明证明 当n=1时,左边=,右边=,故左边=右边,等式成立; 假设当n=k(kN*)时等式成立, 即+=, 那么当n=k+1时,利用归纳假设有 + =+ =+ 1 3 1 15 1 35 1 63 2 1 4-1n21 n n 1 3 1 2 1 1 1 3 1 3 1 15 1 35 1 63 2 1 4-1k21 k k 1 3 1 15 1 35 1 63 2 1 4-1k 2 1 4(1) -1k 21 k k 2 1 4(1) -1k 21 k k 2 1 483kk 第第1讲讲
4、 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 =+ = = = =. 故当n=k+1时,等式也成立. 由和知,等式对任意正整数n都成立. 导师点睛 本题主要考查运用数学归纳法证明恒等式问题,解题的关键是合理利用归纳假设, 要注意书写格式. 21 k k 1 (21)(23)kk (23)1 (21)(23) kk kk 2 231 (21)(23) kk kk (21)(1) (21)(23) kk kk 1 2(1)1 k k 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练1()用数学归纳法证明:14+27
5、+310+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n N*. 证明证明 (1)当n=1时,左边=14=4,右边=122=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时等式成立, 即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2, 那么当n=k+1时, 14+27+310+k(3k+1)+(k+1) 3(k+1)+1 =k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k2+4k+4) =(k+1)(k+1)+12, 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证
6、明 2 |用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的步骤:先验证当n=1时,不等式成立,之后假设当n=k (kN*)时,不等式成立,再构造n=k+1时不等式的左边的形式,然后证明不等式的右 边也符合n=k+1时的形式.有时可通过放缩法,使之变形为符合n=k+1时的形式.在由 n=k(kN*)时命题成立推导n=k+1时命题也成立时,一定要目的明确,根据n=k+1时 的形式进行合理的变形. 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式的难度更大,方法更灵活.由f(k)g(k) 求证f(k+1)g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、 综合法).具体证明过程中要注意以下两点
7、: (1)先假设,再进行等价变换; (2)找准当n=k+1时的递推目标,有目的地分析、放缩,直到凑出结论. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足:0a11,an+1=f(an),nN*.求证:0an+1an1. 证明证明 先证0an1对任意nN*成立. 当n=1时,由0a11知,结论成立; 假设当n=k(kN*)时结论成立,即0ak1, 当0x0, f(x)在(0,1)上单调递增, f(0)f(x)f(1), 0ak1, f(0)f(ak)f(1), 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本
8、概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 又an+1=f(an),ak+1=f(ak), 0ak+11-sin 11, 即n=k+1时,0ak+11也成立. 由知,对任意nN*,0an1都成立. 0an0, 且an+1-an=f(an)-an=-sin an0, 即0an+1an. 综上所述,0an+1an1. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练2()已知数列an满足a1=-1,an+1=(nN*). (1)证明:数列是等比数列; (2)令bn=,用数学归纳法证明:bn+1+bn+2+b2n-(n2,nN*). (33)46
9、n nan n 2 n a n -1 3 2 n n a 4 5 1 21n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 证明证明 (1)令cn=, 则cn+1= =3=3cn, c1=a1+2=10,cn0,=3, 数列cn,即数列是等比数列. (2)由(1)得=3n-1, an=n 3n-1-2, bn=. 下面用数学归纳法证明当n2,nN*时,bn+1+bn+2+b2n-. 当n=2时,不等式的左边=b3+b4=+=,右边=-=,而, 2 n a n 1 2 1 n a n (33)46 2 1 n nan n n (33)(2) (1) n n
10、a n n 2 n a n 1n n c c 2 n a n 2 n a n -1 3 2 n n a 1 n 4 5 1 21n 1 3 1 4 7 12 4 5 1 5 3 5 7 12 3 5 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 n=2时,不等式成立; 假设当n=k(k2,kN*)时,不等式成立,即bk+1+bk+2+b2k-, 则当n=k+1时,bk+1+1+bk+1+2+b2(k+1)=(bk+1+bk+2+b2k)+(b2k+1+b2k+2-bk+1) -+- =+- =- -, 当n=k+1时,不等式也成立. 由可得,当n2,nN
11、*时,bn+1+bn+2+b2n-. 4 5 1 21k 4 5 1 21k 1 21k 1 22k 1 1k 4 5 1 22k 1 1k 4 5 1 2(1)k 4 5 1 2(1)1k 4 5 1 21n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 3 | 归纳、猜想与证明 在探究某些问题时,可以先观察,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然 后提出猜想,最后用数学归纳法证明. 在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出结 论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学归纳 法证明结论.正
12、确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是归纳的 桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()已知数列an满足a1=a,an+1=(nN*). (1)求a2,a3,a4; (2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明. 解析解析 (1)由an+1=,a1=a, 可得a2=, 1 2- n a 1 2- n a 1 1 2-a 1 2-a a3=, a4=. 2 1 2-a 1 1 2- 2-a 2- 3-2 a a 3 1 2-a 1 2- 2- 3-2 a a 3-2 4-3 a a
13、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 (2)猜想an=(nN*). 用数学归纳法证明如下: 当n=1时,左边=a1=a, 右边=a,猜想成立. 假设当n=k(kN*)时猜想成立, 即ak=, 则当n=k+1时,ak+1= ( -1)-( -2) -( -1) nna n na (1-1)-(1-2) 1-(1-1) a a ( -1)-( -2) -( -1) kka k ka 1 2- k a 1 ( -1)-( -2) 2- -( -1) kka k ka 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明
14、= = =. 故当n=k+1时,猜想也成立. 由可知,对任意nN*都有an=. -( -1) 2 -( -1) -( -1)-( -2) k ka k kakka -( -1) (1)- k ka kka (1)-1-(1)-2 (1)-(1)-1 kka kka ( -1)-( -2) -( -1) nna n na 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练3()在数列an中,a1=,an+1=(nN*). (1)求a2,a3,a4的值,由此猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 1 2 3 3 n n a a 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 解析解析 (1)a1=,a2=,a3=,a4=, 猜想an=(nN*). (2)证明:数学归纳法证明如下: 当n=1时,a1=,猜想成立. 假设当n=k(kN*)时猜想成立,即ak=, 则当n=k+1时, ak+1=, 所以当n=k+1时猜想也成立. 由知,对任意nN*,an=都成立. 1 2 3 6 3 7 3 8 3 9 3 5n 3 15 1 2 3 5k 3 3 k k a a 3 3 5 3 3 5 k k 3 15k 3 5n
