空间几何体的表面积和体积.doc

1、空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 1.(2020 全国卷)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外 接圆.若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为( ) A.64 B.48 C.36 D.32 解析 如图所示，设球O的半径为R，O1的半径为r，因为O1的面积为4， 所以 4r2，解得 r2，又 ABBCACOO1，所以 AB sin 60 2r，解得 AB 2 3，故 OO12 3，所以 R2OO21r2(2 3)22216，所以球 O 的表面积 S 4R264.故选 A. 答案 A 2.(2020 全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母

2、线长为3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为_. 解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截面 PAB，如图所示，则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在PAB 中，PA PB3，D 为 AB 的中点，AB2，E 为切点，则 PD2 2，PEOPDB，故 PO PB OE DB，即 2 2r 3 r 1，解得 r 2 2 ，故内切球的体积为4 3 2 2 3 2 3 . 答案 2 3 3.(2020 新高考山东卷)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD 60 .以 D1为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_. 解析 如图，设

3、B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接 DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60 ，ABAD，知ABD 为等边 三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则 D1E 3且 D1E平面 BCC1B1，E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则 r R2球D1E2 53 2. 可得 EPEQ 2，球面与侧面 BCC1B1的交线为以 E 为圆心的圆弧 PQ. 又 D1P 5，B1P D1P2D1B211，同理 C1Q1， P，Q 分别为 BB1，CC1的中点，PEQ 2， 知PQ 的长为 2 2 2 2 . 答案 2 2 4

4、.(2019 全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半 正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半 正多面体体现了数学的对称美.图是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶 点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1，则该半正多面体共有 _个面，其棱长为_. 解析 依题意知，题中的半正多面体的上部分有 9 个面，中间部分有 8 个面，下 部分为 9 个面，共有 98926(个)面，因此题中的半正多面体共有 26 个面. 注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正

5、八边形，设题中的半正多面体的棱 长为x，则 2 2 xx 2 2 x1，解得x 21，故题中的半正多面体的棱长为 2 1. 答案 26 21 考 点 整 合 1.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： 圆柱的表面积 S2r(rl)； 圆锥的表面积 Sr(rl)； 圆台的表面积 S(r2r2rlrl)； 球的表面积 S4R2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥体1 3Sh(S 为底面面积，h 为高)； V球4 3R 3. 2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为 a 的正方体的外接球、内 切球、棱切球的半径分别

6、为 3 2 a，a 2， 2 2 a. 热点一 空间几何体的表面积 【例 1】 (1)如图所示的几何体是从棱长为 2 的正方体中截去以正方体的某个顶点 为球心，2 为半径的1 8球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( ) A.243 B.24 C.24 D.245 (2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一 周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) A. 2 B.(1 2) C.2 2 D.(2 2) 解析 (1)由题意知该几何体的表面积 S62231 42 21 842 224 .故选 B. (2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为

7、1，母线就是直 角三角形的斜边，长为 2，所以所形成的几何体的表面积 S1 212 ( 21).如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角 三角形斜边上的高 2 2 ，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1， 所以形成的几何体的表面积 S2 2 2 1 2.综上可知，形成几何体的表 面积是( 21) 或 2.故选 AB. 答案 (1)B (2)AB 探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把 不规则几何体分割成几个规则的几何体. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处 理. (2)旋转体的表面积问题注

8、意其侧面展开图的应用. 【训练 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.12 2 B.12 C.8 2 D.10 (2)(2020 衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一 个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧 面积取最大值时，该圆柱的高为( ) A.1 B.2 C.3 D. 3 解析 (1)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所 以圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2.所以 S 表面

9、积2( 2)22 2 2 212. (2)如图，设圆柱底面半径为 r(0r2)，高为 h，则 h 4sin 60 2r 2 ， 即 h 3(2r)，其侧面积为 S2 3r(2r)2 3(r22r)，根据二次函数性 质，当 r1 时，侧面积取得最大值，此时 h 3. 答案 (1)B (2)D 热点二 空间几何体的体积 【例 2】 (1)(2020 济南模拟)已知三棱锥 SABC 中，SABABC 2，SB 4，SC2 13，AB2，BC6，则三棱锥 SABC 的体积是( ) A.4 B.6 C.4 3 D.6 3 (2)(2020 长沙模拟)如图，在四面体 PBCD 中，点 A 是 CD 的中点

10、，PAAD， ABC 为等边三角形，边长为 6，PB8，PC10，则PBD 的面积为 _，四面体 PABC 的体积为_. 解析 (1)ABC 2 ，AB2，BC6，ACAB2BC22262 2 10.SAB 2，AB2，SB4，AS SB 2AB2 42222 3.由 SC 2 13，得 AC2AS2SC2，ACAS.又SAAB，ACABA，AS平面 ABC，AS为三棱锥SABC的高，V三棱锥SABC1 3 1 2262 34 3.故选 C. (2)因为ABC 为等边三角形，边长为 6，点 A为CD的中点，所以ADAB6， 所以ADB 为等腰三角形. 又DAB180 CAB120 ， 所以AD

11、B1 2(180 120 )30 ， 所以ADBDCB90 ，所以DBC90 ，所以 CBDB，所以 DB CD2BC2 144366 3.因为 PB8，PC10，BC6，所以 PC2PB2 BC2，所以 CBPB.又 DBPBB，DB平面 PBD，PB平面 PBD，所以 CB 平面 PBD.因为 DAACAP6，所以PDC 为直角三角形，且DPC90 ， 所以 PDCD2PC21441002 11.又 DB6 3，PB8，所以 DB2 PD2PB2，即PBD 为直角三角形，所以 SPBD1 282 118 11.因为点 A 为 DC 的中点，所以 VPABC1 2VPCBD 1 2VCPBD

12、 1 2 1 3SPBDCB 1 2 1 3 8 1168 11，即四面体 PABC 的体积为 8 11. 答案 (1)C (2)8 11 8 11 探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易 求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则 几何体以易于求解. 【训练 2】 (1)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为( ) A. B.3 4 C. 2 D. 4 (2)(2020 东北三校一联)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，ED平面 A

13、BCD，FC平面 ABCD，ED2FC2，则四面体 ABEF 的体积为( ) A.1 3 B.2 3 C.1 D.4 3 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面 圆的距离为 OM1 2. 底面圆半径 rAM OA2OM2 3 2 ，故圆柱体积 Vr2 h 3 2 2 1 3 4 . (2)ED平面 ABCD 且 AD平面 ABCD， EDAD. 在正方形 ABCD 中，ADDC，而 DCEDD， AD平面 CDEF. 易知 FCED 2 1，VABEFVABCDEFVFABCDVADEF. VEABCDEDS正方形ABCD1 3222 1 3 8 3，V

14、BEFCBCSEFC 1 3 2211 2 1 3 2 3， VABCDEF8 3 2 3 10 3 .又 VFABCDFCS正方形ABCD1 3122 1 3 4 3， VADEFADSDEF1 3222 1 2 1 3 4 3，VABEF 10 3 4 3 4 3 2 3.故选 B. 答案 (1)B (2)B 热点三 多面体与球的切、接问题 【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若 ABBC， AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( ) A.4 B.9 2 C.6 D.32 3 (2)在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳

15、 马.如图，若四棱锥 PABCD 为阳马，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA3，BC AB4，设该阳马的外接球半径为 R，内切球半径为 r，则 R_；内切球 的体积 V_. 解析 (1)由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设 底面ABC 的内切圆的半径为 r. 则1 268 1 2(6810) r，所以 r2. 2r43 不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大. 由 2R3，即 R3 2.故球的最大体积 V 4 3R 39 2. (2)在四棱锥PABCD 中，侧棱PA底面ABCD，且底面为矩形，

16、将该“阳马” 补成长方体， 则(2R)2AB2AD2AP21616941， 因此 R 41 2 . 依题意 RtPABRtPAD，则内切球 O 在侧面 PAD 内的正视图是PAD 的内 切圆， 故内切球的半径 r1 2(345)1，则 V 4 3r 34 3. 答案 (1)B (2) 41 2 4 3 探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组 合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球 心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P，A，B，C 且 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两

17、两 垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练3】 (1)(2020 太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC 是等腰直角三角形，ABBC1，点 D 为侧棱 BB1上的动点.若ADC1周长的最 小值为 3 5，则三棱锥 C1ABC 的外接球的体积为( ) A.2 B. 3 2 C.5 2 D.3 (2)(2020 烟台诊断)已知点 A，B，C 在半径为 2 的球面上，满足 ABAC1，BC 3，若 S 是球面上任意一点，则三棱锥 SABC 体积的最大值为_. 解析 (1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易 知当 D 为侧

18、棱 BB1的中点时，ADC1的周长最小，此时设 BDx(x0)，则 2 1x2 24x2 3 5，解得 x1 2，所以 CC11，AC1 3.又三棱锥 C1 ABC 的外接球的球心为 AC1的中点，所以外接球的半径 R 3 2 ，于是三棱锥 C1ABC 的外接球的体积为 V4 3R 34 3 3 2 3 3 2 . (2)设球心为 O，ABC 的外心为 D，则 OD平面 ABC.在ABC 中，由余弦定 理，得cos A1 212（ 3）2 211 1 2，则sin A 3 2 .所以SABC1 2AB ACsin A 1 2 11 3 2 3 4 ，且ABC 的外接圆半径 DA BC 2sin

19、 A 3 2 3 2 1.因此在 RtOAD 中，OD OA2DA2 2212 3.当三棱锥 SABC 的高最大时， 三棱锥 SABC 的体积取最大值，而三棱锥 SABC 的高的最大值为 32，所 以三棱锥 SABC 的体积的最大值为1 3 3 4 ( 32)32 3 12 . 答案 (1)B (2)32 3 12 A 级 巩固提升 一、选择题 1.母线长为 5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8 5 ，则该圆锥的体积为( ) A.16 B.8 C.16 3 D.8 3 解析 母线长为 5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8 5 ，侧面展开图的弧长 为 58 5 8，设底面圆半径为 r，弧长 8底

20、面周长2r，r4，圆锥的 高 h 52423，圆锥体积 V1 3r 2h16. 答案 A 2.(2020 全国百校联考)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1 1，M 是 AC 的中点，则三棱锥 B1ABM 的外接球的表面积为( ) A.3 2 B.2 C.5 4 D.9 8 解析 取AB的中点D，取B1A1的中点D1，连接DD1，设O是线段DD1的中点， 在ABC中，ABBC，ABBC，M为AC中点，BMAC.因此BDDMDA D1B1，从而 OB1OBOAOM，故 O 为三棱锥 B1ABM 的外接球心，R2 OB2OD2BD2 1 2 2 1 2 2 1 2，故三棱锥外

21、接球的表面积 S4R 22. 答案 B 3.(2020 济南检测)已知球O是三棱锥PABC的外接球，PAABPBAC2， CP2 2，点 D 是 PB 的中点，且 CD 7，则球 O 的体积为( ) A.28 3 B.14 3 C.28 21 27 D.16 3 解析 依题意，由 PAAC2，CP2 2，得 APAC. 连接 AD，由点 D 是 PB 的中点且 PAABPB2，得 AD 3， 又 CD 7，AC2，可知 ADAC， 又 APADA，AP平面 PAB，AD平面 PAB，所以 AC平面 PAB. 以PAB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球 O 是该三棱柱的外接球， 球心

22、O 到底面PAB 的距离 d1 2AC1. 由正弦定理得PAB 的外接圆半径 r PA 2sin 60 2 3， 所以球 O 的半径 R d2r2 7 3. 故球 O 的体积 V4 3R 34 3 7 3 7 3 28 21 27 . 答案 C 4.(多选题)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF1 2，则下列结论中错误的是( ) A.ACAF B.EF平面 ABCD C.三棱锥 ABEF 的体积为定值 D.AEF 的面积与BEF 的面积相等 解析 由题意及图形知，当点 F 与点 B1重合时，CAF60 ，故 A 错误；由正 方体 AB

23、CDA1B1C1D1的两个底面平行，EF平面 A1B1C1D1，知 EF平面 ABCD，故 B 正确；由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，点 A 到平面 DD1B1B 的距离是定值，故可得三棱锥 ABEF 的体积为定值，故 C 正 确；由图形可以看出，B 到直线 EF 的距离与 A 与直线 EF 的距离不相等，故 AEF 的面积与BEF 的面积不相等，故 D 错误.故选 AD. 答案 AD 5.(多选题)长方体 ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为 3，2，1，则( ) A.长方体的表面积为 20 B.长方体的体积为 6 C.沿长方体的表面从 A 到 C1的最短距离为

24、3 2 D.沿长方体的表面从 A 到 C1的最短距离为 2 5 解析 长方体的表面积为 2(323121)22，A 错误.长方体的体积为 3216，B 正确.如图 1 所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC 2，BB11，将侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1展开，如图 2 所示. 连接 AC1，则有 AC1 5212 26，即经过侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1时，A 到 C1的最短距离是 26；将侧面 ABB1A1和底面 A1B1C1D1展开，如图 3 所示，连 接 AC1，则有 AC1 32323 2，即经过侧面 ABB1A1和底面 A1B1C1D1时，A 到 C

25、1的最短距离是 3 2；将侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1展开，如图 4 所示. 连接 AC1，则有 AC1 42222 5，即经过侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1时， A 到 C1的最短距离是 2 5.因为 3 22 5 26，所以沿长方体表面由 A 到 C1的 最短距离是 3 2，C 正确，D 错误.故选 BC. 答案 BC 二、填空题 6.(2020 浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个 半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_. 解析 如图，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积 S 侧rl 2，即 r l2.由于

26、侧面展开图为半圆，可知1 2l 22，可得 l2，因此 r1. 答案 1 7.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积 为_. 解析 法一 连接A1C1交B1D1于点E，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面 BB1D1D，所以 A1E 为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E 2 2 ，矩形 BB1D1D 的长 和宽分别为 2，1，故 VA1BB1D1D1 31 2 2 2 1 3. 法二 连接 BD1，将四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 BA1DD1与 B A1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1 1 3 1

27、 2111 1 3 1 2 1111 3. 答案 1 3 8.(2020 沈阳一监)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽 籺”，故称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时 期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图(1)的平行四边形形状的纸片是由六个边长 为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面 体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大 值为_. 解析 由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长 为 1，则正四面体的高为1 3 3 2 6 3 ，所以正四面体的体积为 1 3 1 2

28、1 3 2 6 3 2 12. 因为该六面体的体积是正四面体体积的 2 倍，所以该六面体的体积是 2 6 .要使球 的体积达到最大，则球与该六面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个 顶点，把六面体分成了六个全等的三棱锥 .设球的半径为 R，则 2 6 6 1 3 1 21 3 2 R ，解得 R 6 9 ，所以球的体积 V4 3 R34 3 6 9 3 8 6 729 . 答案 2 6 8 6 729 三、解答题 9.(2020 全国卷)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面 的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC90 . (1)证明：平面 PAB平面 PAC

29、； (2)设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 PABC 的体积. (1)证明 由题设可知，PAPBPC. 由ABC 是正三角形， 可得PACPAB，PACPBC. 又APC90 ，故APB90 ，BPC90 . 从而 PBPA，PBPC，又 PA，PC平面 PAC，PAPCP， 故 PB平面 PAC，又 PB平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PAC. (2)解 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 由题设可得 rl 3，l2r22，解得 r1，l 3. 从而 AB 3. 由(1)可得 PA2PB2AB2，故 PAPBPC 6 2 . 所以三棱锥 PABC 的体积为 1 3 1 2

30、 PA PB PC 1 3 1 2 6 2 3 6 8 . 10.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，PAPB，ADBC， ABAC，AD1 2BC1，PD3，BAD120 ，M 为 PC 的中点. (1)证明：DM平面 PAB； (2)求四面体 MABD 的体积. (1)证明 取 PB 中点 N，连接 MN，AN. M 为 PC 的中点，MNBC 且 MN1 2BC， 又 ADBC，且 AD1 2BC，得 MN 綉 AD. ADMN 为平行四边形，DMAN. 又 AN平面 PAB，DM平面 PAB，DM平面 PAB. (2)解 取 AB 中点 O，连接 PO，PAPB

31、，POAB， 又平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，PO平面 PAB， 则 PO平面 ABCD，取 BC 中点 H，连接 AH， ABAC，AHBC，又ADBC，BAD120 ， ABC60 ，RtABH 中，BH1 2BC1，AB2， AO1，又 AD1， AOD 中，由余弦定理知，OD 3. RtPOD 中，PO PD2OD2 6. 又 SABD1 2AB ADsin 120 3 2 ， VMABD1 3 SABD 1 2PO 2 4 . B 级 能力突破 11.(2019 全国卷)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPB PC，ABC 是边长为

32、 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF 90 ，则球 O 的体积为( ) A.8 6 B.4 6 C.2 6 D. 6 解析 因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB，因为CEF90 ， 所以 EFCE，所以 PBCE. 取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP， 所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以PB平面 PAC，所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC 为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图所示.因为 AB2， 所以该正方体的棱长为 2，

33、所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥 P ABC 的外接球的半径 R 6 2 .所以球 O 的体积 V4 3R 34 3 6 2 3 6. 答案 D 12.(2020 江南十校联考)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形， ABCD，CD2AB4，AD 2，PAB 为等腰直角三角形，PAPB，平面 PAB底面 ABCD，E 为 PD 的中点. (1)求证：AE平面 PBC； (2)求三棱锥 PEBC 的体积. (1)证明 如图，取 PC 的中点 F，连接 EF，BF， PEDE，PFCF， EFCD，CD2EF， ABCD，CD2AB， ABEF，且 EFAB. 四边

34、形 ABFE 为平行四边形，AEBF. BF平面 PBC，AE平面 PBC. 故 AE平面 PBC. (2)解 由(1)知 AE平面 PBC， 点 E 到平面 PBC 的距离与点 A 到平面 PBC 的距离相等， VPEBCVEPBCVAPBCVPABC. 如图，取 AB 的中点 O，连接 PO， PAPB，OPAB. 平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，OP平面 PAB， OP平面 ABCD. PAB 为等腰直角三角形，PAPB，AB2， OP1. 四边形 ABCD 为等腰梯形，且 ABCD，CD2AB4，AD 2， 梯形 ABCD 的高为 1， SABC1 2211. 故 VPEBCVPABC1 311 1 3.