1、 中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 4 分，满分 40 分） 1如果x的倒数是，那么x的值为（ ） A B C1 D 2下列运算正确的是（ ） A B C2a3aa Da2a3a6 3下面的多项式中，能因式分解 的是（ ） Aa26a+8 Ba22a+4 C4a2+b2 Da216b2 4如图所示几何体的俯视图是（ ） A B C D 5不等式组的解等于（ ） A1x2 Bx1 Cx2 Dx1 或x2 6某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示： 科目 小制作 足球 英语口语 计划人数 100 90 60 科目 小制作 英语口语 中国象棋
2、 报名人数 280 250 200 若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数 就越高那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（ ） A足球 B小制作 C英语口语 D中国象棋 7已知点A（2，a） ，B（3，b）都在双曲线上，则（ ） Aab0 Ba0b Cba0 Db0a 8如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合若 在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 9如图，在ABC中，AB3，BC4，AC5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行 四边形ADCE中，DE的最小值是（ ） A2
3、B3 C4 D5 10若点A（a，b） ，B（，c）都在反比例函数y的图象上，且1c0，则一次函 数y（bc）x+ac的大致图象是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分） 11十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万 人以上，一千三百万人用科学记数法表示为 人 12某工程队承建 30 千米的管道铺设工程，预计工期为 60 天，设施工x天时未铺设的管道 长度是y千米，则y关于x的函数关系式是 13如图，四边形ABCD的顶点都在O上，BCAD，ABAD，BOD160，则CBO的度 数是 14如图，在边长为 6 的正方形ABCD中，点E
4、是边AB上一动点（不与A，B两点重合） ，过 点E作EFAB交对角线AC于点F，连接DF当ADF是等腰三角形时，AE的长度等 于 三、 （每小题 8 分，满分 16 分） 15 （8 分）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来 16 （8 分）观察下列关于自然数的等式： 174232；285232；396232； 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：4 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示） ，并验证其正确性 四、 （每小题 8 分，满分 16 分） 17 （8 分）我国古代的优秀数学著作九章算术有一道“竹九节”问题，大意是说：现 有一根上细下粗共九节的竹子，自上
5、而下从第 2 节开始，每一节与前一节的容积之差 都相等，且最上面三节的容积共 9 升，最下面三节的容积共 45 升，求第五节的容积，及 每一节与前一节的容积之差 请解答上述问题 18 （8 分）如图，已知图和图中的每个小正方形的边长都为 1 个单位长度 （1）将图中的格点ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫格点三角形）向上平移 2 个单位长度得到A1B1C1，请你在图中画出A1B1C1； （2）在图中画出一个以点C为位似中心与格点ABC位似的格点A2B2C，且A2B2C 与ABC的位似比为 2：1 五、 （每小题 10 分，满分 20 分） 19 （10 分）如图，O的直径AB8，C为圆周上
6、一点，AC4，过点C作O的切线l，过 点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与O交于点E （1）求AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形 20 （10 分）如图，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点A，与双曲线（x0）交于 点B（2，n） ，过点B作BCx轴于点C，点P（3n4，1）是该双曲线上的一点，且PBC ABC （1）直接写出n的值； （2）求一次函数的 解析式 六、 （本题满分 12 分） 21 （12 分）为了解八年级 500 名学生的身体素质情况，体育老师从中随机抽取 50 名学生 进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如下频数分布表和频数分布直方 图（不完整）
7、： 组别 次数x 频数（人数） 第 1 组 80 x100 6 第 2 组 100 x120 8 第 3 组 120 x140 第 4 组 140 x160 18 第 5 组 160 x180 6 完成下列问题： （1）请把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）这个样本数据的中位数落在第 组；次数在 140 x160 这组的频率 为 ； （3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x120 不合格；x120 合格，试 问该年级合格的学生有多少人？ 七、 （本题满分 12 分） 22 （12 分）已知某种商品的进价为每件 30 元该商品在第x天的售价是y1（单位：元/件） ，
8、销量是y2（单位：件） ，且满足关系式，y22002x，设每天销 售该商品的利润为w元 （1）写出w与x的函数关系式； （2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于 4800 元？ 八、 （本题满分 14 分） 23 （14 分）如图，在 RtABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BCa，ACb （1）若a3，b4，求DE的长； （2）直接写出：CD （用含a，b的代数式表示） ； （3）若b3，求a的值 参考答案 一、选择题 1如果x的倒数是，那么x的值为（ ） A B C1 D 【分析】根据倒数的定义，可得答案
9、解：由题意，得x 故选：A 【点评】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键 2下列运算正确的是（ ） A B C2a3aa Da2a3a6 【分析】分别运用二次根式的意义、立方根的意义以及幂的乘方法则运算即可 解：A.2，故A错误； B.4，故B错误； C.2a3aa，故C正确； Da2a3a5，故D错误， 故选：C 【点评】本题考查了二次根式、立方根以及同类项和同底数幂相乘，熟练掌握公式是解 题的关键 3下面的多项式中，能因式分解的是（ ） Aa26a+8 Ba22a+4 C4a2+b2 Da216b2 【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可 解：A、a26a+8（a2） （a
10、4） ，能分解因式，故本选项符合题意； B、a22a+4 不能分解因式，故本选项不符合题意； C、4a2+b2不能分解因式，故本选项不符合题意； D、a216b2不能分解因式，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的方法是解此题的关键， 注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有：提取 公因式法，公式法，因式分解法等 4如图所示几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左 视图与俯视图的宽相同 解：根据俯视图的特征，应选D 故选：D 【点评】本题考
11、查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解 题的关键 5不等式组的解等于（ ） A1x2 Bx1 Cx2 Dx1 或x2 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 解：，由得，x1；由得，x2， 故此不等式组的解集为：1x2 故选：A 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示： 科目 小制作 足球 英语口语 计划人数 100 90 60 科目 小制作 英语口语 中国象棋 报名人数 280 250 200
12、 若计划招生人数和报名人数的 比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数 就越高那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（ ） A足球 B小制作 C英语口语 D中国象棋 【分析】所列表中中国象棋计划人数不在前三名内，所以计划人数60，足球报名数不 在前三名，所以，报名人数200，求出各科目计划都生人数和报名人数的比值，找出最 大即可得出结论 解：由表知，小制作：； 英语口语：； 足球：计划招生 90 人，报名数不在前三名，即少于 200 人，所以比值大于，即大于 0.45； 中国象棋：报名 200 人，计划数不在前三名，即少于 60 人，所以比值小于，即小于 0.3； 足球科目的满足指数
13、最高（即比值最大） ； 故选：A 【点评】此题是推理与论证，解答此题的关键是由已知计算出各特色活动课相对学生需 要的满足程度进行比较 7已知点A（2，a） ，B（3，b）都在双曲线上，则（ ） Aab0 Ba0b Cba0 Db0a 【分析】 根据k60， 得到该函数的图象在二四象限， 结合点A和点B的横坐标符号， 即可得到答案 解：双曲线，k60， 双曲线在二四象限， 20，30， 点A（2，a）在第四象限，点B（3，b）在第二象限， a0b， 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握象限的特点是解题的关 键 8如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O将菱形沿E
14、F折叠，使点C与点O重合若 在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】根据菱形的对角线互相平分求出OC，再根据翻折的定义判断出EF是BCD的中 位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，最后根据 阴影部分的面积等于两个菱形的面积的差列式计算即可得解 解：在菱形ABCD中，OCAC， 将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合， EF是BCD的中位线， EFBD， 阴影部分的面积ACBDOCEFACBD 此点取自阴影部分的概率， 故选：C 【点评】本题考查了几何概率，菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第 三边的一半，要注意
15、菱形的面积等于对角线乘积的一半的应用 9如图，在ABC中，AB3，BC4，AC5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行 四边形ADCE中，DE的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当ODBC时，DE线段取最小 值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值 解：在ABC中，AB3，BC4，AC5， AB2+BC225AC2 ABC为直角三角形，且B90 四边形ADCE是平行四边形， ODOE，OAOC2.5 当OD取最小值时，DE线段最短，此时ODBC OD是ABC的中位线 DE2OD3； 故选：B 【点评】本题考查了平行四边形
16、的性质，勾股定理的逆定理以及垂线段最短此题难度 适中，注意掌握数形结合思想的应用 10若点A（a，b） ，B（，c）都在反比例函数y的图象上，且1c0，则一次函 数y（bc）x+ac的大致图象是（ ） A B C D 【分析】依据B（，c）在反比例函数y的图象上，即可得到ac，再根据1c 0，即可得到1a0，ac0，a，依据反比例函数y在每个象限内由随着x 的增大而减小，即可得到bc，即bc0，进而得出一次函数y（bc）x+ac的大 致图象经过一二四象限 解：B（，c）在反比例函数y的图象上， 1，即ac， 又1c0， 1a0，ac0， a， 反比例函数y在每个象限内由随着x的增大而减小， b
17、c， bc0， 一次函数y（bc）x+ac的大致图象经过一二四象限， 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟知反比例函数图象上各点 的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万 人以上，一千三百万人用科学记数法表示为 1.3107 人 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时
18、，n是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n是负数 解：一千三百万1.3107 故答案为：1.3107 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其 中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 12某工程队承建 30 千米的管道铺设工程，预计工期为 60 天，设施工x天时未铺设的管道 长度是y千米，则y关于x的函数关系式是 y30 x 【分析】工作量工作效率工作时间，由 30 千米的管道铺设工程，工期为 60 天，可 知一天工作了千米，问题得解 解：由某工程队承建 30 千米的管道铺设工程，预计工期为 60 天，可知工程队每天铺设 30600
19、.5 米， 所以y300.5x， 故填y30 【点评】本题考查了，工作量，式作时间，工作效率三者的关系，明确工作量工作效 率工作时间是解题的关键 13如图，四边形ABCD的顶点都在O上，BCAD，ABAD，BOD160，则CBO的度 数是 30 【分析】首先根据BOD的度数求得C的度数，然后根据ABAD和BCAD求得ABC 的度数，从而求得CBO的度数 解：如图，连接BD BOD160， ， A100在ABD中， ABAD， ABDADB40 在OBD中， OBOD， OBDBDO10， BCAD， ABC180A80， CBOABCABDOBD80401030 【点评】本题主要考查了圆周角定
20、理和圆内接四边形的性质了解有关性质是解答本题 的关键 14如图，在边长为 6 的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点（不与A，B两点重合） ，过 点E作EFAB交对角线AC于点F，连接DF当ADF是等腰三角形时，AE的长度等于 或 3 【分析】分三种情况：当AFAD6 时，AEF是等腰直角三角形，由勾股定理即可得 出结果； 当AFDF时，ADF是等厘直角三角形，由勾股定理得出AF，再由勾股定理即可得出 结果； 当ADDF时，AFD45，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意； 即可得出答案 解：当AFAD6 时，AEF是等腰直角三角形， AFAE， AE3 当AFDF时，ADF是等厘
21、直角三角形， ADAF6， AF3， 在等腰直角三角形AEF中，AFAE， AE3 当ADDF时 ，AFD45，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意； 综上所述，当ADF是等腰三角形时，AE的长度等于或 3； 故答案为：或 3 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的与性质、勾股定理等知识；熟练 掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15 （8 分）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来 【分析】根据去分母，去括号，移项及合并同类项，系数 化为 1 即可 解：去分母，得 62（x+2）x， 去括号，得
22、62x4x， 移项、合并同类项，得x2 系数化为 1得x2 原不等式的解集为x2， 它的解集在数轴上表示如图所示： 【点评】本题考查了解一元一次不等式，去分母是解题关键，不含分母的项要乘分母的 最小公倍数 16 （8 分）观察下列关于自然数的等式： 174232；285232；396232； 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：4 10 7232 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示） ，并验证其正确性 【分析】由等式可以看出：第一个因数是从 1 开始连续的自然数，第二个因数比第一个 因数大 6，结果是第一个因数与 3 和的平方，减去 3 的平方，由此规律得出答案即
23、可 解： （1）第四个等式：4107232； （2）第n个等式为：n（n+6）（n+3）232； 证明：左边n（n+6）n2+6n， 右边（n+3）232n2+6n+99n2+6n， 左边右边 n（n+6）（n+3）232 【点评】本题考查了数字的变化类，找出数字之间的运算规律，发现规律是解题关键 四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17 （8 分）我国古代的优秀数学著作九章算术有一道“竹九节”问题，大意是说：现 有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第 2 节开始，每一节与前一节的容积之差 都相等，且最上面三节的容积共 9 升，最下面三节的容积共 45 升，求第五节
24、的容积，及 每一节与前一节的容积之差 请解答上述问题 【分析】从题目中可知，第 2 节开始相邻两节的容积差相等设为y，第 5 节的容积直接设 为x， 然后根据第 5 节和容积差建立等量关系： 第 1 节容积+第 2 节容积+第 3 节容积9， 第 7 节容积+第 8 节容积+第 9 节容积45 构建二元一次方程组求解 解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的空积之差为y升，依题意得： ， 解得：， 答：第五节的容积 9 升，每一节与前一节的容积之差 2 升 【点评】本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面 的成就难点是用第 5 节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积
25、 18 （8 分）如图，已知图和图中的每个小正方形的边长都为 1 个单位长度 （1）将图中的格点ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫格点三角形）向上平移 2 个单位长度得到A1B1C1，请你在图中画出A1B1C1； （2）在图中画出一个以点C为位似中心与格点ABC位似的格点A2B2C，且A2B2C 与ABC的位似比为 2：1 【分析】 （1）各顶点均向上平移 2 个单位长度得到A1B1C1； （2）根据位似变换的定义和性质作图即可得 解： （1）A1B1C1如图 （2）A2B2C如图 【点评】考查了作图位移变换和平移变换解答此题的关键是掌握平移位似的性质 五、 （本大题共 2 小题，每小题
26、10 分，满分 20 分） 19 （10 分）如图，O的直径AB8，C为圆周上一点，AC4，过点C作O的切线l，过 点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与O交于点E （1）求AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形 【分析】（1） 易得AOC是等边三角形， 则AOC60， 根据圆周角定理得到AEC30； （2）根据切线的性质得到OCl，则有OCBD，再根据直径所对的圆周角为直角得到 AEB90，则EAB30，可证得ABCE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB OC，即可判断四边形OBEC是菱形 （1）解：在AOC中，AC4， AOOC4， AOC是等边三角形， AOC60， AE
27、C30； （2）证明：OCl，BDl OCBD ABDAOC60 AB为O的直径， AEB90， AEB为直角三角形，EAB30 EABAEC CEOB，又COEB 四边形OBEC 为平行四边形 又OBOC4 四边形OBEC是菱形 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了圆周角定理 及其推论以及菱形的判定方法 20 （10 分）如图，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点A，与双曲线（x0）交于 点B（2，n） ，过点B作BCx轴于点C，点P（3n4，1）是该双曲线上的一点，且PBC ABC （1）直接写出n的值； （2）求一次函数的解析式 【分析】 （1）把B、P的坐标
28、代入反比例函数解析式，可得到关于n的方程，可求得n的 值； （2）过点P作PDBC，垂足为D，并延长PD交AB于点P，可证明BDPBDP， 则可求得P的坐标，由B、P的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式 解： （1）点B（2，n） ，P（3n4，1）在双曲线上， 2n3n4，解得n4； （2）由（1）知点B（2，4） ，P（8，1） 如图，过点P作PDBC，垂足为D，并延长PD交AB于点P 在BDP和BDP中， ， BDPBDP， DPDP6 点P（4，1） 将点B（2，4） ，P（4，1）代入ykx+b， 得，解得， 一次函数的解析式为yx+3 【点评】本题为反比例函数与一次函数的综
29、合应用，涉及函数图象上的点与函数解析式 的关系、待定系数法、全等三角形的判定和性质及数形结合思想等知识在（1）中由B、 P的坐标得到n的方程是解题的关键；在（2）中构造全等三角形，求得P的坐标是解 题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大 六、 （本题满分 12 分） 21 （12 分）为了解八年级 500 名学生的身体素质情况，体育老师从中随机抽取 50 名学生 进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如下频数分布表和频数分布直方 图（不完整） ： 组别 次数x 频数（人数） 第 1 组 80 x100 6 第 2 组 100 x120 8 第 3 组 120 x140 1
30、2 第 4 组 140 x160 18 第 5 组 160 x180 6 完成下列问题： （1）请把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2 ）这个样本数据的中位数落在第 3 组；次数在 140 x160 这组的频率为 0.36 ； （3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x120 不合格；x120 合格，试 问该年级合格的学生有多少人？ 【分析】 （1）根据题目中的数和频数分布表中的数据可以求得第 3 组的人数，从而可以 将频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2） 根据频数分布直方图中的数据可以得到这组数据的中位数和次数在 140 x160 这 组的频率； （3）根据题
31、意可以求得该年级合格的学生有多少人 解： （1）第 3 组的频数为：506818612， 故答案为：12， 补全的频数分布直方图如右图所示； （2）由直方图可知，中位数落在第 3 组，次数在 140 x160 这组的频率为：1850 0.36， 故答案为：3，0.36； （ 3）（人） ， 即该年级合格的学生有 360 人 【点评】本题考查频数分布表和频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数 形结合的思想解答 七、 （本题满分 12 分） 22 （12 分）已知某种商品的进价为每件 30 元该商品在第x天的售价是y1（单位：元/件） ， 销量是y2（单位：件） ，且满足关系式，y220
32、02x，设每天销 售该商品的利润为w元 （1）写出w与x的函数关系式； （2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于 4800 元？ 【分析】 （1）当 1x50 时和当 50 x90 两种情况下，利用总利润单件利润销量 列出函数关系式即可； （2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； （3）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，可得不等式，根 据解不等式组，可得答案 解： （1）当 1x50 时，w（2002x） （x+4030）2x2+180 x+2000 当
33、50 x90 时，w（2002x） （9030）120 x+12000 所以； （2）当 1x50 时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x45， 那么当x45 时， 当 50 x90 时，w随x的增大而减小， 综上，销售该商品第 45 天 时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）当 1x50 时，w2x2+180 x+20004800，解得 20 x70， 因此利润不低于 4800 元的天数是 20 x50，共 30 天 当 50 x90 时，w120 x+120004800，解得x60 因此利润不低于 4800 元的天数是 50 x60，共 11 天 所以该商品在销售过程中
34、，共有 41 天每天销售利润不低于 4800 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的 性质求最值 八、 （本题满分 14 分） 23 （14 分）如图，在 RtABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BCa，ACb （1）若a3，b4，求DE的长； （2）直接写出：CD （用含a，b的代数式表示） ； （3）若b3，求a的值 【分析】 （1）求出BE，BD即可解决问题 （2）利用勾股定理，面积法求高CD即可 （3）根据CD3DE，构建方程即可解决问题 解： （1）在 RtABC中，ACB90，a3，b4， ， CD，CE是斜边AB上的高，中线， BDC90， 在 RtBCD中， （2）在 RtA BC中，ACB90，BCa，ACb， ， ， 故答案为： （3）在 RtBCD中， ， 又， CD3DE，即 b3， 2a9a2，即a2+2a90 由求根公式得（负值舍去） ， 即所求a的值是 【点评】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
