1、. 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ? ? 因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数 根 x1，2 2 4 2 bbac a ? ? ； （2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 2 () 2 b x a ?一定大 于或等于零，因此，原方程没有
2、实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我 们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表 示 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有） ，有 （1） 当当 0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ? ? ； （2）当）当 0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当）当 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的
3、情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出 方程的实数根 （1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0 解： （1）324 1 330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式 a24 1 (1)a240，所以方程一定有两个不等的 实数根 2 1 4 2 aa x ? ?， 2 2 4 2 aa x ? ? （3）由于该方程的根的判别式为 a24 1 (a1)a24a4(a2)2， 所以， 当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （3）由于该方程的根的
4、判别式为 224 1 a44a4(1a)， . 所以 当 0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa? ?， 2 11xa? ?； 当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当 0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是， 在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论分类讨论这一思想 方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问 题 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）
5、若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 2 1 4 2 bbac x a ? ? ?， 2 2 4 2 bbac x a ? ? ?， 则有 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa ? ? ? ? ?； 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa ? ? ? ? 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是）的两根分别是 x1，x2，那么，那么 x1x2 b a ?，x1 x2 c a 这一 关系也被称为韦达定理韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一
6、元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦 达定理可知 x1x2p，x1 x2q， 即 p(x1x2)，qx1 x2， 所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1 x20，由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1 x20因此有 以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x2(x1x2)xx1 x20 例 2 已知方程 2 560xkx?的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出
7、k 的值，再由方程解出 另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项， 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根， 再由两 根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根， 5 22k 260， k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 . 解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 6 5 ，x1 3 5 由 （ 3 5 ）2 5 k ，得 k7 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 例 3 已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有
8、两个实数根，并且这两个实数根 的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的 方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根， 因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1 x2m24 x12x22x1 x221， (x1x2)23 x1 x221， 即 2(m2)23(m24)21， 化简，得 m216m170， 解得 m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意； 当 m17 时，方程为 x230x2
9、930，3024 1 2930，不合题意，舍去 综上，m17 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的 范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的 值即可 （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是 否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是 x，y， 则 xy4
10、， xy12 由，得 y4x， 代入，得 x(4x)12， 即 x24x120， x12，x26 1 1 2, 6, x y ? ? ? ? ? 或 2 2 6, 2. x y ? ? ? ? ? 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法 一简捷 例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 . （1）求| x1x2|的值； （2）求 22 12 11 xx ?的值； （3）x13x2
11、3 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根， 12 5 2 xx? ?， 12 3 2 x x ? ? （1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 2 53 ()4 () 22 ? ? ? 25 4 6 49 4 ， | x1x2| 7 2 （2） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 ()2 ()3 ()21137 224 39 ()9 () 24 xxxxx x xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? （3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 (
12、5 2 ) ( 5 2 )23 ( 3 2 ?) 215 8 说明： 一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量， 今后我们经常会遇到求这一 个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则 2 1 4 2 bbac x a ? ? ?， 2 2 4 2 bbac x a ? ? ?， | x1x2| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa ? ? ? ? 2 4 | bac aa ? ? 于是有下面的结论： 若若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0）
13、 ，则） ，则| x1x2| |a ? （其中（其中 b2 4ac） ） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且 (1)24(a4)0 由得 a4， 由得 a17 4 a 的取值范围是 a4 练 习 1选择题： . （1）方程 22 2 330xkxk?的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根 （2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)
14、xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值 范围是 （ ） （A）m 1 4 （B）m 1 4 （C）m 1 4 ，且 m0 （D）m 1 4 ，且 m0 2填空: （1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则 12 11 xx ? （2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 2 816 |1| 0aab? ?，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实 数根？ 4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求(x13)( x23)的值 习题习题 2.1 A 组组 1选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2 （2）下列四个说法： 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7； 方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ?； 方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是 （
