1、第 2 课时 三角函数的积化和差与和差化积 课后篇巩固提升 基础达标练 1.函数 f(x)=sin x+ cos x- 是( ) A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数 C.最小正周期为 2的非奇非偶函数 D.最小正周期为 的非奇非偶函数 解析 f(x)= sin 2x+ + , 所以 T= =,f(x)为非奇非偶函数. 答案 D 2.求值:sin 20+sin 40+sin 60-sin 80=( ) A. B. C. D.1 解析 sin 20+sin 40+sin 60-sin 80 =2sin 30cos(-10)+sin 60-sin 80 =2 sin 80+ -s
2、in 80= . 答案 C 3.cos2-cos cos(60+)+sin2(30-)的值为( ) A. B. C. D. 解析原式= cos(60+2)+cos 60+ - - =1+ cos 2- cos(60+2)- cos(60-2) = cos(60+2)+cos(60-2)+ cos 2 = 2cos 60cos 2+ cos 2= . 答案 C 4.已知 sin +sin = ,cos +cos = ,则 tan(+)= ,cos(-)= . 解析由 sin +sin = ,cos +cos = , 得 2sin cos - ,2cos cos - , 两式相除得 tan , 则
3、 tan(+)= - -( ) =- . (sin +sin )2=sin2+sin2+2sin sin = , (cos +cos )2=cos2+cos2+2cos cos = , 则 cos(-)=cos cos +sin sin =- . 答案- - 5.已知 tan ,tan 是方程 x2+3x-4=0的两个根,求 的值. 解由根与系数的关系知 tan +tan =-3,tan tan =-4, 故原式= - - - - =- . 能力提升练 1.(多选)在ABC中,若 ,则ABC可以是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.任意三角形 D.钝角三角形 解析由题意知 sin A
4、cos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,因此 sin 2A-sin 2B=0,由和差化积公式得 2cos(A+B)sin(A-B)=0,于是 cos(A+B)=0 或 sin(A-B)=0,即 A+B= 或 A=B.故选 ABD. 答案 ABD 2.若 x+y=1,则 sin x+sin y与 1的大小关系是( ) A.sin x+sin y1 B.sin x+sin y=1 C.sin x+sin y1 D.不确定 解析sin x+sin y=2sin cos - =2sin cos - , 又 0 , sin sin . 2sin 2sin =1. sin x+
5、sin y=2sin cos - cos - 1. sin x+sin y1. 答案 C 3.cos 72-cos 36的值为 . 解析 cos 72-cos 36=-2sin 54sin 18=- - =- . 答案- 4.已知 A+B= ,那么 cos2A+cos2B 的最大值是 ,最小值是 . 解析因为 A+B= ,所以 cos2A+cos2B = (1+cos 2A+1+cos 2B) =1+ (cos 2A+cos 2B) =1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos cos(A-B) =1- cos(A-B), 所以当 cos(A-B)=-1时,原式取得最大值 ; 当 cos
6、(A-B)=1时,原式取得最小值 . 答案 5.求证:2sin2sin2+2cos2cos2=1+cos 2cos 2. 证明左边=2 - - +2 = (1-cos 2-cos 2+cos 2cos 2)+ (1+cos 2+cos 2+cos 2cos 2)= (2+2cos 2cos 2) =1+cos 2cos 2=右边. 所以原式成立. 素养培优练 已知ABC 的三个内角 A,B,C满足(1)A+C=2B;(2) =- ,求 cos - 的值. 解由题设条件知 B=60,A+C=120, 因为 - =-2 , 所以 =-2 . 所以 cos A+cos C=-2 cos Acos C. 利用和差化积及积化和差公式得, 2cos cos - =- cos(A+C)+cos(A-C), 所以 cos - =- (- - - ), 化简得 4 cos2 - +2cos - -3 =0, 又( - - )( - )=0, 因为 2 cos - +30, 所以 cos - .
