1、第六章计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 2 课时 课后篇巩固提升 基础达标练 1.将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120 解析第 1张门票有 10种分法,第 2 张门票有 9 种分法,第 3张门票有 8种分法,由分步乘法计数原理 得共有 1098=720(种)分法. 答案 B 2.从 0,1,2,9这 10 个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不 在 x轴上的点的个数是( ) A.100 B.90 C.81 D.72 解析分
2、两步,第 1 步选 b,因为 b0,所以有 9 种不同的选法;第 2 步选 a,因为 ab,所以也有 9 种不同的 选法.由分步乘法计数原理知共有 99=81(个)点满足要求. 答案 C 3.(2020 北京鲁迅中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数 学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图, 表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图: 如果把 5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为( ) A.46 B.44 C.42 D.40 解析按
3、每一位算筹的根数分类一共有 15 种情况,如下, (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3), (1,0,4). 2 根及 2 根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理, 则上述情况能表示的三位数字个数分别为 2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2. 根据分步加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为 2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.故选 B. 答案
4、B 4.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) A.42 B.30 C.20 D.12 解析原定的 5个节目产生 6 个空位,将其中 1 个新节目插入,有 6 种不同的插法,然后 6 个节目产生 7 个空位,将另一个新节目插入,有 7 种不同的插法.由分步乘法计数原理知共有 76=42(种)不同的插法. 答案 A 5.(2020 天津高二月考)某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁 四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数 为 . 解析
5、甲有三个培训可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根 据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为 3233=54. 答案 54 6.已知集合 M=1,2,3,4,集合 A,B为集合 M的非空子集,若对xA,yB,xy 恒成立,则称(A,B)为集 合 M的一个“子集对”,则集合 M的“子集对”共有 个. 解析当 A=1时,B有 23-1=7(种)情况; 当 A=2时,B有 22-1=3(种)情况;当 A=3时,B有 1 种情况;当 A=1,2时,B有 22-1=3(种)情况; 当 A=1,3,2,3,1,2,3时,B 均有 1 种情况,所以集合 M 的“子集对”共
6、有 7+3+1+3+3=17(个). 答案 17 7.五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工程队承建 1 个,其中甲工程队不能承建 1号 子项目,则不同的承建方案有 种. 解析完成承建任务可分五步.第 1 步,安排 1号,有 4种不同的承建方案;第 2步,安排 2号,有 4种不同 的承建方案;第 3步,安排 3号,有 3 种不同的承建方案;第 4步,安排 4 号,有 2 种不同的承建方案;第 5 步,安排 5号,有 1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有 44321=96(种)不同的承建方案. 答案 96 8.某文艺小组有 20人,其中会唱歌的有 14 人,会跳舞的有 10人,
7、从中选出会唱歌与会跳舞的各 1人参 加演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选 1人,有多少种不同的选法? 解第 1 类,首先从只会唱歌的 10 人中选出 1人,有 10种不同的选法,从会跳舞的 10 人中选出 1 人,有 10 种不同的选法,共有 1010=100(种)不同的选法;第 2 类,从既会唱歌又会跳舞的 4人中选 1 人,再从 只会跳舞的 6人中选 1 人,共有 46=24(种)不同的选法.所以一共有 100+24=124(种)不同的选法. 9.在 3 000 到 8 000 之间有多少个无重复数字的奇数? 解分两类:一类是以 3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排首位有 3种方法
8、,再排个位有 4 种方 法,最后排中间两个数有 87 种方法,所以满足要求的数有 3487=672(个).另一类是首位是 4 或 6 的四位奇数,也可分三步完成,满足要求的数有 2587=560(个). 由分类加法计数原理得,满足要求的数共有 672+560=1 232(个). 10.如图是某校的校园设施平面图,现有不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域 不能使用同一种颜色.若有 6 种不同的颜色可选,求有多少种不同的着色方案. 操 场 宿舍区 餐 厅 教学 区 解操场可从 6种颜色中任选 1种着色;餐厅可以从剩下的 5 种颜色中任选 1 种着色;宿舍区和操场、 餐厅颜色都不能
9、相同,故可以从剩下的 4种颜色中任选一种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不 能相同,故可以从剩下的 4种颜色中任选 1 种着色.根据分步乘法计数原理,知共有 6544=480(种) 不同的着色方案. 能力提升练 1.袋中有 8 个不同的红球,7个不同的白球,6 个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取 法有( ) A.336种 B.21 种 C.104 种 D.146种 解析分三类:当取出一红一白时,有 87 种不同的取法;当取出一红一黄时,有 86种不同的取法;当取 出一白一黄时,有 76 种不同的取法.由分类加法计数原理知有 N=87+86+76=146(种)不同的取 法. 答
10、案 D 2.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析递增的等比数列为 1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9 共 4个.同理,递减的等比数列也有 4 个,故所求的等比 数列有 8个. 答案 D 3.现从甲、乙、丙等 6名学生中安排 4人参加 4100 m接力赛跑,第一棒只能从甲、乙两个人中安 排一人,第四棒只能从甲、丙两个人中安排一人,则不同的安排方法共有 种. 解析若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有 43=12(种);若乙跑第一棒,则不同的安排 方法有 243=24(种),故不
11、同的安排方法共有 24+12=36(种). 答案 36 4.(2020 浙江宁波高三专题练习)某超市内一排共有 6个收费通道,每个通道处有 1 号、2号两个收费 点,根据每天的人流量,超市准备周一选择其中的 3处通道,要求 3 处通道互不相邻,且每个通道至少开 通一个收费点,则周一这天超市选择收费的安排方式共有 种. 解析设 6个收费通道依次编号为 1,2,3,4,5,6,从中选择 3个互不相邻的通道,有 135,136,146,246 共 4 种不同的选法. 对于每个通道,至少开通一个收费点,即可以开通 1号收费点,开通 2号收费点,同时开通两个收费 点,共 3 种不同的安排方式. 由分步乘
12、法计数原理,可得超市选择收费的安排方式共有 433=108(种). 答案 108 5.从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取三个不同的数作为抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的系数,如果抛物线过原点,且 顶点在第一象限,那么这样的抛物线共有多少条? 解第 1 步,确定 c的取值.由题意知 c=0,所以 c 有 1种取值方法; 第 2步,确定 a 的取值.由于 a0,因此 b有 3 种取值方法. 根据分步乘法计数原理,知满足题意的抛物线共有 N=331=9(条). 6.(1)从 5 种颜色中选出 3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条 棱上的两个顶点异色,求不
13、同的涂色方法数; (2)从 5种颜色中选出 4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱 上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数. 解(1)如图,由题意知,四棱锥 S-ABCD的顶点 S,A,B所涂色互不相同,则 A,C必须颜色相同,B,D 必须颜 色相同,所以共有 54311=60(种)不同的涂色方法. (2)(方法一)由题意知,四棱锥 S-ABCD的顶点 S,A,B所涂色互不相同,则 A,C可以颜色相同,B,D 可 以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有 2 种选法 (如:B,D 颜色相同);再从 5种颜色中,选出四种颜色涂
14、在 S,A,B,C四个顶点上,最后 D 涂 B的颜色,有 5432=120(种)不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有 2120=240(种)不同的涂色方法. (方法二)分两类. 第 1类,C与 A 颜色相同.由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B所涂色互不相同,它们有 543=60(种)不同的涂色方法.共有 54312=120(种)不同的涂色方法.第 2类,C 与 A颜色不同. 由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所涂色互不相同,它们有 543=60(种)不同的涂色方法.共有 54321=120(种)不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有 120+120=2
15、40(种)不同的涂色方法. 素养培优练 1.(2020 浙江高一课时练习)称子集 AM=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11是“好的”,如果它有下述性质 “若 2kA,则 2k-1A且 2k+1A(kN)”(空集和 M 都是“好的”),则 M 中有多少个包含 2个偶数的 “好的”子集? 解 含有 2 个偶数的“好的”子集 A,有两种不同的情形: 两偶数是相邻的,有 4种可能:2,4;4,6;6,8;8,10. 每种情况必有 3 个奇数相随(如 2,4A,则 1,3,5A). 余下的 3个奇数可能在 A中,也可能不在 A中, 故这样的“好的”子集共有 423=32(个). 两偶数不相邻
16、,有 6 种可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10. 每种情况必有 4 个奇数相随(如 2,6A,则 1,3,5,7A). 余下的 2个奇数可能在 A中,也可能不在 A中, 故这样的“好的”子集共有 622=24(个). 综上所述,M 中有 32+24=56(个)包含 2个偶数的“好的”子集. 2.(2020 河北迁西第一中学高二期中)用 n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在 A,B,C,D 四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若 n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法? (2)若为乙图着色时共有 120 种不同的方法,求 n. 解 (1)对区域 A,B,C,D 按顺序着色,根据分步乘法计数原理,共有 6544=480(种)不同的方法. (2)对区域 A,B,C,D 按顺序着色,根据分步乘法计数原理,不同的着色方法共有 n(n-1)(n-2)(n- 3)=120(种),整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120, 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0, 故 n2-3n-10=0或 n2-3n+12=0(舍去),解得 n=5.
