1、.2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷第卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A1 B-1 C D2.已知集合，则A B C D3.已知矩形中，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A B C D 4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A B C. D5.在中，三边长分别为，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A B C. D6.如图，在中，是上一点，若，则实数的值为A B C. D7.已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支
2、上，点为圆上一点，则的最小值为A8 B9 C.10 D118.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为A B C. D9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A B C. D10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分） C. 线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分11.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值
3、为A B1 C. D212.已知函数设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为A31 B32 C.33 D34第卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为 14.已知变量，满足则的取值范围是 15.中国诗词大会（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面，沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 种（用数
4、字作答）16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：函数是偶函数；对任意的，都有；函数在区间上单调递减；函数的值域是；.其中判断正确的序号是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和. 18. 已知四棱锥中，底面为菱形，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（）求点恰为的
5、中点时，二面角的余弦值.19. 2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.组数分组天数第一组3第二组4第三组4第四组6第五
6、组5第六组4第七组3第八组1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.20. 设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.（）求的方程；（）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21. 已知函数.（）当时，取得极值，求的值并判断
7、是极大值点还是极小值点；（）当函数有两个极值点，且时，总有成立，求的取值范围.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（）求曲线，的极坐标方程；（）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（）当时，解不等式；（）若对任意，不等式都成立，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDBCA 6-10: CBBAC 11、12：BD二、填空题1
8、3. 20 14. 15.144 16. 三、解答题17. 解（）由和得，.设等比数列的公比为，计算得出（）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，18.（）证明：连接底面为菱形，是正三角形，是中点，又，平面，平面，又 平面，又平面平面平面.（）由（）得，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面，就是与平面所成的角，在中，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，则，所以，设是平面一个法向量，则取，得又平面，是平面的一个法向量，二面角的余弦值为. 19.（）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（）由题意知，在内的天数为1，由
9、图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，则的分布列为0123数学期望.20. 解：（）设点，由题意可知，即，又点在圆上 代入得即轨迹的方程为（）由（）可知，设，联立 得即， 又 即即解得，且均满足即当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；当，的方程为，直线恒过所以，直线过定点，定点坐标为.21. 解析：（），则从而，所以时，为增函数；时，为减函数，所以为极大值点.（）函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不等的正实根，所以，由可得从而问题转化为在，且时成立.即证成立.即证 即证亦即证 . 令则1).当时，则在上为增函数且，式在上不成立.2).当时，若，即时，所以在上为减函数且，、在区间及上同号，故式成立.若，即时，的对称轴，令，则时，不合题意.综上可知：满足题意.22.（）曲线，把公式代入可得：曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.（）到射线的距离为，射线与曲线交点，射线与曲线交点 故23.（）当时，不等式可化为，当时，不等式即，当时，不等式即，当时，不等式即，综上所述不等式的解集为；（）不等式可化为令，所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为.
