1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 直线与抛物线的位置关系 T8 双曲线的几 何性质 T11 1.圆锥曲线的定义、 方程与性质是每年高 考必考的内容以选 择、填空题的形式考 查， 常出现在第 411 题或 1516 题的位 置，着重考查圆锥曲 线的标准方程与几何 性质，难度中等 2 圆锥曲线的综合问 题多以解答题的形式 考查，常作为压轴题 出现在第 20 题的位 置，一般难度较大. 卷 双曲线的几何性质 T5 椭圆的几何性 质 T12 卷 双曲线的几何性质 T11 直线与抛物线的 位置关系 T16 2017 卷 直线与抛物线的位置关系、弦长
2、公式、基 本不等式的应用 T10 双曲线的几何性质 T15 卷 双曲线的几何性质 T9 卷 双曲线的渐近线及标准方程 T5 2016 卷 双曲线的几何性质与标准方程 T5 抛物线与圆的综合问题 T10 卷 双曲线的定义、离心率问题 T11 卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率 T11 圆锥曲线的定义与标准方程(综合型) 圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定 义 |PF1|PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1|PF2| 2a(2ab0) x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y22px (p0) 典型例题 (1)椭圆x 2 5 y2 41 的左焦点为 F，直线
3、 xm 与椭圆相交于点 M，N，当FMN 的 周长最大时，FMN 的面积是( ) A. 5 5 B.6 5 5 C.8 5 5 D.4 5 5 (2)设 F1，F2分别是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，P 是 C 上一点，若 |PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A. 2xy0 Bx 2y0 Cx 2y0 D2x y0 【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为 F，连接 MF，NF. 因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|， 所以当直线 xm 过椭圆的右焦点时，FMN 的周长最大 此时|MN|
4、2b 2 a 8 5 5 ，又 c a2b2 541，所以此时 FMN 的面积 S1 22 8 5 5 8 5 5 .故选 C. (2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a. 又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a 最小，所以 PF1F230 . 在PF1F2中， 由余弦定理， 可得 cos 30 |PF1| 2|F 1F2| 2|PF 2| 2 2|PF1|F1F2| 16a 24c24a2 24a2c 3 2 ， 整理得 c23a22 3ac，解得 c 3a，所以 b c2a2 2a.
5、所以双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A (1)椭圆的焦点三角形的几个性质 已知椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，左、右焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2 中F1PF2，则 SF1PF2b2tan 2. 已知椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，左、右焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2， 若F1PF2最大，则点 P 为椭圆短轴的端点 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为2b 2 a . (2)双曲线的焦点三角形的几个性质 若双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，F1
6、，F2 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任 意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质： 设F1PF2，则 SF1PF2 b2 tan 2 .特别地，当F1PF290 时，有 SF1PF2b2. 双曲线的焦点三角形的内切圆与 F1F2相切于实轴顶点当点 P 在双曲线左支上时， 切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点 对点训练 1 (2018 辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若AFO 的面积 为 1，则双曲线 C 的
7、方程为( ) A.x 2 2 y2 81 B.x 2 4y 21 C.x 2 4 y2 161 Dx2y 2 41 解析：选 D.因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以 ab2， 又双曲线 C 的离心率为 5，所以 1b 2 a2 5，即 b 24a2，解得 a21，b24，所以双 曲线 C 的方程为 x2y 2 41，故选 D. 2(2018 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准 线为 l.过 F 的直线交 C 于 A， B 两点， 交 l 于点 E， 直线 AO 交 l 于点 D.若|BE|2|BF|， 且
8、|AF| 3，则|BD|( ) A1 B3 C3 或 9 D1 或 9 解析：选 D.分别过点 A，B 作 AA1，BB1垂直于 l， 且垂足分别为 A1，B1， 依题意，易证 BDx 轴， 所以 D 与 B1重合 由已知条件|BE|2|BF|得，|BE|2|BB1|， 所以BEB130 .又|AA1|AF|3， 如图 1，|BD| |AA1| |BE| |AE|， 所以|BD| 3 2|BD| 3|BD|3， 解得|BD|1， 如图 2，|BD| |AA1| |BE| |AE|， 所以|BD| 3 2|BD| |BD|3， 解得|BD|9. 综上，|BD|为 1 或 9，故选 D. 圆锥曲线
9、的几何性质(综合型) 椭圆、双曲线中，a，b，c 及 e 之间的关系 (1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为 ec a 1? ? ? ? b a 2 . (2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为 ec a 1? ? ? ? b a 2 . 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的 关系 典型例题 (1)(2018 石家庄质量检测(二)倾斜角为 4的直线经过椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的右 焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且AF 2FB，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3
10、 3 (2)(2018 高考全国卷)已知双曲线 C：x 2 3y 21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点， 过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若OMN 为直角三角形， 则|MN|( ) A.3 2 B3 C2 3 D4 【解析】 (1)由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立得 ? ? ? ? ?x 2 a2 y2 b21 yxc ，所以 (b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 ? ? ? ? ?y1y22b 2c a2b2 y1y2 b4 a2b2 ，又AF 2FB，所
11、以(cx 1，y1)2(x2c，y2)，所以 y12y2，可得 ? ? ? ? ?y22b 2c a2b2 2y22 b4 a2b2 ，所以1 2 4c2 a2b2，所以 e 2 3 ，故选 B. (2)因为双曲线x 2 3y 21 的渐近线方程为 y 3 3 x， 所以MON60.不妨设过点 F 的 直线与直线 y 3 3 x 交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO 60，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y 3(x2)， 由 ? ? ? ? ?y 3（x2）， y 3 3 x， 得 ? ? ?x 3 2， y 3 2 ， 所以 M? ? ?
12、 ? 3 2， 3 2 ，所以|OM| ? ? ? ? 3 2 2 ? ? ? ? 3 2 2 3，所以|MN| 3|OM|3，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B (1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关 系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求c a的值 (2)双曲线的渐近线的求法及用法 求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得 用法：(i)可得b a或 a b的值 (ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练 1(2018 福州四校联考)过双曲线x 2 a2 y2 b2
13、1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两 条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程 为( ) Ay x By 2x Cy 3x Dy 2x 解析：选 A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱 形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 4b2c2 3b2a2， 又 4 条直线分别与两条渐近线平行，所以b a 3b2a2 a2b2 ，解得 ab，所以该双曲线的渐近线 的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 A. 2(2018 广州综合测试(一)如图，在梯形 ABCD
14、中，已知|AB|2|CD|，AE 2 5AC ，双 曲线过 C，D，E 三点，且以 A，B 为焦点，则双曲线的离心率为( ) A. 7 B2 2 C3 D. 10 解析：选 A.取 AB 的中点 O 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方向，建立直角坐标系(图 略)，设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，|AB|2|CD|2c，E(xE，yE)，则 A(c，0)， B(c， 0)， C? ? ? ? c 2，yC ， D? ? ? ? c 2，yC ， 由 c2 4 a2 y2C b21， 得 yC b 2a b23a2， 故 C? ? ? ? c 2， b 2a b23a
15、2. 因为AE (x Ec，yE)，2 5AC 2 5? ? ? ? 3c 2 ， b 2a b23a2? ? ? ? 3c 5 ， b 5a b23a2，AE 2 5AC ， 所以 ? ? ?xE 2 5c， yE b 5a b23a2. 又 E 在双曲线上，故 4c2 25 a2 b2 25a2（b 23a2） b2 1，化简整理得 4c2b23a225a2，即 c2 7a2，故c a 7.选 A. 3(2018 高考全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角
16、形，F1F2P120 ，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析： 选 D.由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上， 如图所示， 设|F1F2| 2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2| |F1F2|2c， 所以|OF2|c， 所以点P坐标为(c2ccos 60， 2csin 60)， 即点 P(2c， 3c) 因为点 P 在过点 A， 且斜率为 3 6 的直线上， 所以 3c 2ca 3 6 ，解得c a 1 4，所以 e 1 4，故选 D. 直线与圆锥曲线的位置关系(综合型) 求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利 用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. (2)依据直线与圆锥曲线的
