1、第第2020讲讲 多边形与平行四边形多边形与平行四边形 第五单元第五单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 多边形的内角和 1.(2015 安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB 上,AED=60,则一定有( ) A.ADE=20 B.ADE=30 C.ADE=1 2ADC D.ADE=1 3ADC 答案 D 解析 设A=B=C=x,根据三角形内角和定理ADE=120-x;根据四 边形内角和定理ADC=360-3x=3
2、(120-x),所以ADE= ADC,故选 D. 1 3 命题点2 平行四边形的性质 2.(2020 安徽,14,5分)在数学探究活动中,敏敏进行 了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的 直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP; 再将PCQ,ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D 落在AP上的同一点R处.请完成下列探究: (1)PAQ的大小为_; (2)当四边形APCD是平行四边形时 的值为_. 答案 30 3 解析 (1)由题意可知,D+C=180, ADBC,由折叠可知 AQD=AQR,CQP=PQR,AQR+PQR= (DQR+CQR),即 AQP=90, B=90
3、,则A=180-B=90, 由折叠可知DAQ=BAP=PAQ, DAQ=BAP=PAQ=30. 1 2 (2)若四边形APCD为平行四边形,则DCAP, CQP=APQ, 由折叠可知CQP=PQR, APQ=PQR,QR=PR, 同理可得QR=AR,即R为AP的中点, 由(1)可知,AQP=90,PAQ=30,且AB=AQ,设QR=a,则AP=2a, QP=1 2AP=a,AB=AQ= 2-2 = 3a, = 3 = 3. 3.(2014 安徽,14,5分)如图,在ABCD中,AD=2AB,F 是AD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB上,连接 EF,CF,则下列结论中一定成立的是 _.(把所
4、有正确结论的序号都填在 横线上) DCF= BCD;EF=CF;SBEC=2SCEF;DFE=3AEF. 1 2 答案 解析 F是AD的中点,AF=FD, 在ABCD中,AD=2AB,AF=FD=CD, DFC=DCF,ADBC, DFC=FCB,DCF=BCF, DCF= BCD,故正确; 如图,延长EF,交CD的延长线于M, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,A=MDF, F为AD的中点,AF=FD, 1 2 AEFDMF(ASA),FE=MF,AEF=M, CEAB,AEC=90,AEC=ECD=90, FM=EF,FC=EF,故正确; EF=FM,SEFC=SCFM, MCBE,
5、SBEC3)边形的一个顶点出发可以作n-3 条对角线,故 n(n3)边形共有 条对角线. 2.正多边形的概念及其性质(10年3考) 正 多 边 形 定义 各边相等 ,各内角也相等 的多边形叫做正多边形. 性质 每个内角相等,都等于 ,每个外角相等,都等于 .当n为偶 数时,正n边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有n 条对称轴. (-3) 2 (-2)180 360 考法互动研析考法互动研析 考法1 多边形的角 例1 (2020 四川遂宁)已知一个正多边形的内角和为1 440,则它的一个外 角的度数为_度. 答案 36 解析 设此多边形为n边形, 根据题意得180 (n-2) =1440,
6、解得n=10, 这个正多边形的每一个外角等于36010=36. 方法总结 解答此类问题的关键是熟练掌握多边形内角和公 式(n-2)180和外角和等于360. 对应练1(2020 山东济宁) 若一个多边形的内角和为1080,则这个多边形 的边数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180(n-2),即可得方 程180(n-2)=1 080,解此方程得n=8.故选C. 对应练2(2020 北京)正五边形的外角和为( ) A.180 B.360 C.540 D.720 答案 B 解析 任意多边形的外角和都为360,与边数无关,故选B.
7、对应练3(2020 陕西)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接 BD,则BDM的度数是_. 答案 144 解析 五边形 ABCDE 是正五边形, C=(5-2) 180 5 =108,BC=DC, BDC=180-108 2 =36, BDM=180-36=144. 考法2平行四边形的性质 例2 (2020 重庆)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分 别过点A,C作AEBD,CFBD,垂足分别为E,F.AC平分DAE. (1)若AOE=50,求ACB的度数; (2)求证:AE=CF. (1)解 AEBD,AEO=90 AOE=50,EAO=40, C
8、A平分DAE,DAC=EAO=40. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,ACB=DAC=40. (2)证明 四边形ABCD是平行四边形, OA=OC.AEBD,CFBD, AEO=CFO=90.AOE=COF, AEOCFO(AAS),AE=CF. 方法总结 与平行四边形性质有关的计算中,平行四边形边、角的性质起 到很关键的作用,但“对角线互相平分”(交点是两条对角线的中点)这条性 质是与其他知识综合的纽带:过交点作对角线的垂线,就构造了垂直平分 线的模型;过交点作平行四边形任意一边的平行线,就构造了中位线的模 型;过交点作任意一条直线与平行四边形一组对边(或延长线)相交,就构 造了全等
9、三角形的模型. 对应练4(2020 浙江温州)如图,在ABC中,A=40,AB=AC,点D在AC边 上,以CB,CD为边作BCDE,则E的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案 D 解析 A=40,AB=AC,ABC=C=70. 四边形ABCD是平行四边形,E=C=70. 对应练5(2020 湖北武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下 面的问题:如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,点E在AC 上,AD=AE=BE,D=102,则BAC的大小是_. 答案 26 解析 设BAC=x, AC是平行四边形ABCD的对角线, DCAB,AD=BC,ADBC, DCA=
10、BAC=x. AE=BE,EBA =BAC=x,BEC=2x. AD=AE=BE,BE=BC, BCE=BEC =2x, DCB=BCE+DCA=3x. ADBC,D=102, D+DCB=180,即102+3x=180,解得x=26. 对应练6(2020 浙江绍兴)如图,点E是ABCD的边CD的中点,连接AE并延长, 交BC的延长线于点F. (1)若AD的长为2.求CF的长. (2)若BAF=90,试添加一个条件,并写出F的度数. 解 (1)四边形ABCD是平行四边形, ADCF,DAE=CFE,ADE=FCE. 点E是CD的中点,DE=CE. ADEFCE(AAS),CF=AD=2. (2
11、)BAF=90,添加一个条件:当B=60时, F=90-60=30(答案不唯一). 在ADE 和FCE 中, = , = , = , 考法3平行四边形的判定 例3 (2020 山东泰安)若ABC和AED均为等腰三角形,且 BAC=EAD=90. (1)如图(1),点B是DE的中点,判定四边形BEAC的形状,并说明理由; (2)如图(2),若点G是EC的中点,连接GB并延长至点F,使CF=CD. 求证:EB=DC;EBG=BFC. 图(1) 图(2) (1)解 四边形BEAC是平行四边形. 理由如下: EAD为等腰三角形且EAD=90, E=45.B是DE的中点, ABDE.BAE=45. AB
12、C是等腰三角形,BAC=90, CBA=45.BAE=CBA. BCEA.又ABDE, EBA=BAC=90.BEAC. 四边形BEAC是平行四边形. (2)证明 AED和ABC为等腰三角形, AE=AD,AB=AC. EAD=BAC=90, EAD+DAB=BAC+DAB. 即EAB=DAC.AEBADC(SAS). EB=DC. 延长FG至点H,使GH=FG. G是EC中点,EG=CG. 又EGH=FGC, EHGCFG(SAS). BFC=H,CF=EH. CF=CD,BE=CF. BE=EH. EBG=H. EBG=BFC. 方法总结 判定平行四边形的思路: (1)若已知一组对边平行,
13、则需要证这一组对边相等,或另一组对边平行;(2) 若已知一组对边相等,则 需要证这一组对边平行,或另一组对边相等;(3)若已知一组对角相等,则需 要证另一组对角相等;(4)若已知条件与对角线有关,则需要证明对角线互 相平分. 对应练7(2020 陕西)如图,在四边形ABCD中,ADBC,B=C.E是边BC上 一点,且DE=DC.求证:AD=BE. 证明 DE=DC,DEC=C. B=C,B=DEC,ABDE. ADBC,四边形ABED是平行四边形. AD=BE. 对应练8(2020 湖南岳阳)如图,点E,F在ABCD的边BC,AD上,BE= BC, FD= AD,连接BF,DE.求证:四边形B
14、EDF是平行四边形. 1 3 1 3 证明 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,AD=BC. BE=1 3BC,FD= 1 3AD, BE=FD, 四边形 BEDF 是平行四边形. 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler,17071783),瑞士数学家、自然科学家.欧 拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把整个 数学推至物理的领域.他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出八百多 页的论文,还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本,无穷 小分析引论微分学原理积分学原理等都成为数学界中的经典 著作.欧拉
15、对数学的研究如此之广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见 到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.此外欧拉还涉及建筑学、弹 道学、航海学等领域. G 关联中考关联中考 1.(2019 浙江衢州)如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的 正六边形,则原来的纸带宽为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 C 解析 如图,过点A作BC边的垂线,交CB的延长线于点M,易得正六边形的内 角和为1804=720, ABC=120,ABM=60.在RtABM 中,AB=2,AM=AB sinABM= . 3 2.(2019 山东济宁)如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 _. 答案 140 解析 正九边形每个外角的度数是 =40, 正九边形每个内角的度数是180-40=140. 360 9
