1、17.1 勾股定理勾股定理 这是2002届数学 家大会的会徽. 这个图案被称为“赵爽弦 图”，是我国汉代数学家赵爽在 证明勾股定理勾股定理时用到的. 你听说过勾股定理勾股定理吗？ 相传相传2500年前年前,古希古希 腊著名数学家毕达哥拉腊著名数学家毕达哥拉 斯从朋友家的地砖铺成斯从朋友家的地砖铺成 的地面上找到了直角三的地面上找到了直角三 角形三边的关系。角形三边的关系。 A B C 你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？ S SA A+S+SB B=S=SC C 1.你能发现正方形你能发现正方形A、B、C 面积之间的等量关系吗？面积之间的
2、等量关系吗？ C A B b a c S SA A=a=a2 2 S SB B=b=b2 2 S SC C=c=c2 2 2. 你能用等腰直角三角形的边长分别表示这你能用等腰直角三角形的边长分别表示这 三个正方形的面积吗？三个正方形的面积吗？ 3. 你能发现等腰直角三你能发现等腰直角三 角形三边角形三边之间的之间的关系吗？关系吗？ a2+b2=c2 4. 你能用语言表述等腰直角三角形三边之你能用语言表述等腰直角三角形三边之 间的关系吗？间的关系吗？ 两条直角边的平方和等于斜边的平方两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B b a c A B C 图图2 A B C 图图1 1.观察左图并
3、填写下表：观察左图并填写下表： （图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积） 对于一般的直角三角形对于一般的直角三角形 是否也有这样的性质呢？是否也有这样的性质呢？ 16 4 9 图2 C的面积 B的面积 A的面积 图图1 9 25 13 2 .观察表中的数据，猜观察表中的数据，猜 想直角三角形的三边有想直角三角形的三边有 什么关系？什么关系？ S SA A+S+SB B=S=SC C a2+b2=c2 获得猜想 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b ， 斜边长为斜边长为c ，那么，那么 展示交流展示交流 命题命题1: 直角三角形两条
4、直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. . c a b 2 c c a b 实践验证 你能利用拼图的方法来验证它吗？你能利用拼图的方法来验证它吗？ c a b 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角、准备四个全等的直角三角形（设直角三角 形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c ）. 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看方形吗？拼一拼试试看. c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 a2+b
5、2=c2 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为也可以表示为 c2 4 +(b- a)2 2 ab c2= 4 +(b-a)2 2 ab c a b c a b c a b c a b (a+b)2 = a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为也可以表示为 (a+b)2 c2 +4 2 ab c2 +4 2 ab 感受数学文化感受数学文化 这个图案是公元这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解世纪我国汉代的赵爽在注解周周 髀算经髀算经时给出的，人们称它为“时给出的，人们称它为“赵爽弦
6、图赵爽弦图”赵爽根”赵爽根 据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图 围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄（黄 色）勾股定理在数学发展中起色）勾股定理在数学发展中起 到了重大的作用，其到了重大的作用，其证明方法据证明方法据 说有说有400 多种多种，有兴趣的同学可，有兴趣的同学可 以继续研究，或到网上查阅勾股以继续研究，或到网上查阅勾股 定理的相关资料定理的相关资料 c b a （ b - - a ） 2 黄实黄实 朱实朱实 a a b b c c 伽菲尔德证法伽菲尔德证法: )ba)
7、(ba( 2 1 S 梯形梯形 2 S c 2 1 ab 2 1 ab 2 1 S 梯形梯形 a2 + b2 = c2 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b ， 斜边长为斜边长为c ，那么，那么 命题命题1: 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. . c a b 股股 勾勾 弦弦 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b ， 斜边长为斜边长为c ，那么，那么 定理定理 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. . c a b 股
8、股 勾勾 弦弦 勾股定理勾股定理 ( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b ， 斜边长为斜边长为c ，那么，那么 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. . c a b 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕
9、达哥拉斯学派，1955 走走 进进 勾勾 股股 世世 界界 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们
10、首先发现了勾股定理，因此在 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记“勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作
11、载于我国古代著名的数学著作 周髀算经周髀算经中。中。 勾股定理的应用勾股定理的应用 例例1 求图中字母所代表的正方形的面积求图中字母所代表的正方形的面积 A A A 225 144 80 24 17 8 练习练习1 1 如图，所有的三角形都是直角三角形，四如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别的边长分别 是是12，16，9，12求最大正方形求最大正方形E 的面积的面积 A B C D E 勾股定理的应用勾股定理的应用 通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形
12、的面积的和，不断地分下去，就可以得到一个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树棵美丽的勾股树 例例2 2 求下列直角三角形中未知边的长度求下列直角三角形中未知边的长度 A B C 4 6 x C B A 5 10 x 勾股定理的应用勾股定理的应用 练习2 在RtABC中,C=90, (1)已知: a=5, b=12, 求c; (2)已知: b=6, c =10 , 求a; (3)已知: a=7, c=25, 求b. c a b 课堂小结课堂小结 通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？ 你还有什么想要继续探索的问题？你还有什么想要继续探索的问题？ （1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？ （2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样 的探究过程？的探究过程？
