1、第六章 平面向量及其应用 章章末知识梳理末知识梳理 核心知识归纳核心知识归纳 要点专项突破要点专项突破 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 核心知识归纳核心知识归纳 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量. (2)零向量：模为0的向量. (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量. (4)相等向量：模相等，方向相同的向量
2、. (5)相反向量：模相等，方向相反的向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使ba. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a 1e12e2，其中e1，e2是一组基底. 3两个非零向量平行、垂直的等价条件 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)abab(0)x1y2x2y10， (2)aba b0 x1x2y1y20 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA）
3、 4平面向量的三个性质 (1)若 a(x，y)，则|a| a a x2y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB | x2x12y2y12. (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 为 a 与 b 的夹角， 则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2. 5向量的投影 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos a b |b| ，其中 为 a 与 b 的夹角. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 6向量的运算律 (1)交换律：abba，a bb a. (2)结合律：abc(ab)c，abca(
4、bc)，(a) b (a b)a (b). (3)分配律：()aaa，(ab)ab，(ab) ca cb c. (4)重要公式：(ab) (ab)a2b2，(ab)2a22a bb2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 7正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos A； b2c2a22accos B； c2a2b22abcos C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 定理 正弦定理 余弦定理 变形 公式 a2Rsin A， b2Rsin B， c2Rsin
5、C； sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； abcsin Asin Bsin C； abc sin Asin Bsin C a sin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Ba 2c2b2 2ca ； cos Ca 2b2c2 2ab 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 要点专项突破要点专项突破 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运 算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理
6、解和运 用要注意向量的大小和方向两个方面. 要点一要点一 平面向量的线性运算及应用 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)求解策略： 向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一 定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧. 字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则， 如AB BC AC ； 共起点两个向量作 差用减法的几何意义，如OB OA AB . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 典典例例 1 若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且CD 4DB rAB sAC ，则 3rs 的值为 ( )
7、 A16 5 B12 5 C8 5 D4 5 C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 因为CD 4DB rAB sAC ， 所以CD 4 5CB 4 5(AB AC )rAB sAC ， 所以 r4 5，s 4 5， 所以 3rs12 5 4 5 8 5. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点， 若AC AM BD ，则 等于 ( ) A4 3 B5 3 C15 8 D2 B 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 因为AC AM BD (AB
8、 BM )(BA AD ) (AB 1 2AD )(AB AD )()AB ( 2)AD ， 且AC AB AD ，所以 1， 1 21， 得 4 3， 1 3， 所以 5 3，故选 B 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问 题： (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20 要点二要点二 向量的数量积 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)求向量的夹角和模的问题 设 a(x1，y1)，则|a| x2 1y 2 1. 两向量夹角的余弦
9、值(0) cos a b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 典典例例 2 已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab| 3 |akb|(k0). (1)用 k 表示数量积 a b； (2)求 a b 的最小值，并求出此时 a 与 b 的夹角 的大小. 解析 (1)由|kab| 3|akb|，得(kab)23(akb)2， k2a22ka bb23a26ka b3k2b2 (k23)a28ka b(13k2)b20 |a| cos2sin21，|b| cos2sin21，
10、 k238ka b13k20，a b2k 22 8k k 21 4k (k0). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)a bk 21 4k 1 4(k 1 k). 由对勾函数的单调性可知，f(k)1 4(k 1 k)在(0,1上单调递减， 在1，)上单调递增， 当 k1 时，f(k)minf(1)1 4(11) 1 2， 此时 a 与 b 的夹角 的余弦值 cos a b |a|b| 1 2， 又0 180 ，60 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边AB，
11、BC的中点， 连接DE并延长到点F， 使得DE2EF， 则AF BC 的值为 ( ) A5 8 B1 8 C1 4 D11 8 B 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 BC AC AB ，AF AD DF 1 2AB 3 2DE 1 2AB 3 4AC ， BC AF (AC AB ) 1 2AB 3 4AC 3 4AC 21 2AB 21 4AC AB 3 411 1 211 1 411cos 60 1 8. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐 标，这样就能进行相应的代数运算
12、和向量运算，从而解决问题.这样的解 题方法具有普遍性. 要点三要点三 平面向量在几何中的应用 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 典典例例 3 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120 ，点 C 在AB 上，且COB30 ，若OC OA OB ，则 等于 ( ) A 3 B 3 3 C4 3 3 D2 3 A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 由题意，得AOC90 ，故以 O 为坐标原点，OC，OA 所 在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则 O(0,0)，A(0， 3)，C( 3，0)，B( 3cos 30
13、， 3sin 30 )， 因为OC OA OB ， 所以( 3，0)(0， 3) 3 3 2 ， 31 2 ， 即 3 3 3 2 ， 0 3 31 2， 则 2 3 3 ， 3 3 ， 所以 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2020 天津卷)如图， 在四边形 ABCD 中， B60 ， AB3，BC6，且AD BC ，AD AB 3 2，则实数 的值为_，若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|MN |1，则DM DN 的最小值为_. 1 6 13 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 AD BC ，ADB
14、C，BAD180 B120 ， AB AD BC AB |BC | |AB |cos120 63 1 2 93 2， 解得 1 6， 以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示 的平面直角坐标系 xBy， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） BC6，C(6,0)， |AB|3，ABC60 ，A 的坐标为 A 3 2， 3 3 2 ， 又AD 1 6BC ， 则 D 5 2， 3 3 2 ， 设 M(x,0)， 则 N(x1,0)(其中 0 x5)， DM x5 2， 3 3 2 ，DN x3 2， 3 3 2 ， DM DN x5 2 x3 2 3
15、 3 2 2x24x21 2 (x2)213 2 ， 所以，当 x2 时，DM DN 取得最小值13 2 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及 正弦定理解此三角形. 2已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是 不确定的.如已知ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能 出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做 到不漏解、不多解. 3很多考题是在正、余弦定理的应用下聚焦于简单的三角恒等变 换. 要点四要点四 综合利用正弦、余弦定理解三角形 返回导航 第六章 平面向量
16、及其应用 数学（必修第二册RJA） 典典例例 4 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知(a 2c)cos Bbcos A0 (1)求 B； (2)若 b3，ABC 的周长为 32 3，求ABC 的面积. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0， 即(sin Acos Bsin Bcos A)2sin C cos B0， 即 sin(AB)2sin Ccos B0， 又 sin(AB)sin C， 且 C(0，)，sin C0， cos B1 2，0B0， si
17、n A 3cos A，即 tan A 3. 0A，A 3. 由余弦定理得 a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)2 3 bc 2 2，则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， ABC 周长abc4bc12，即最大值为 12 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉 及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关 键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理 求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 要点五要点五 余弦、正弦定理
18、在实际问题中的应用 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 典典例例 5 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象 观测仪器的垂直弹射高度，如图，在 C 处进行该仪器 的垂直弹射，观测点 A，B 两地相距 100 m，BAC 60 ，在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 2 17 s.A 地 测得该仪器在 C 处时的俯角为 15 ，A 地测得该仪器 在最高点 H 时的仰角为 30 ，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气 中的传播速度为 340 m/s) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 由声速可得AC和BC之间的关系，再
19、结合已知A，B之间的 距离，可在ABC中求解得到AC的长，进而在ACH中，根据条件由正 弦定理求得高度CH. 解析 由题意，设 ACx m，则 BCx 2 17340(x40)(m). 在ABC 中，由余弦定理得 BC2BA2CA22BA CA cosBAC， 即(x40)210 000 x2100 x，解得 x420 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 在ACH 中，AC420 m，CAH30 15 45 ， CHA90 30 60 . 由正弦定理得 CH sinCAH AC sinAHC， 所以 CHAC sinCAH sinAHC140 6(m). 故该仪器的垂
20、直弹射高度 CH 为 140 6 m. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到 山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45.已知BAC60，则山 的高度BC为 ( ) A700 m B640 m C600 m D560 m C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)如图，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时 针转到目标方向线的水平角)为 140 的方向航行.为了确定船的位置， 船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110 ，航行1 2 h 到达 C 点
21、，观测灯塔 A 的方 位角是 65 ，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 ( ) A10 km B10 2 km C15 km D15 2 km B 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)如图，过点 M 作 MDAB，垂足为 D.在 RtAMD 中， MAD45 ，MD400 m，AM MD sin45 400 2(m). 在MAC 中，AMC45 15 60 ， MAC180 45 60 75 ， 所以MCA180 AMCMAC45 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 由正弦定理，得 ACAMsinAMC sinMCA 400 2 3 2 2 2 400 3(m). 在 RtABC 中，BCACsinBAC400 3 3 2 600(m).故选 C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)在ABC 中，BC401 220(km)， ABC140 110 30 ，ACB(180 140 )65 105 ， 则 A180 (30 105 )45 . 由正弦定理，得 ACBC、sinABC sin A 20 sin 30 sin 45 10 2(km).
