1、第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握用向量方法解决 简单的几何问题、力学 问题等一些实际问题.(直 观想象) 2体会向量是一种处
2、理 几何问题、物理问题的 重要工具.(数学抽象) 1向量是工具，实现这一工具应用的关键是运 算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系， 线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运 算常用于解决相交问题. 2凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理， 而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可 以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实 现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 3能够将几何问题和物理问题 转化为平面向量问题.(数学建模) 4培养运用向量知识解决实际 问题和物理问题的能力.(数据分 析) 3速度、位
3、移是向量，与线性运算挂 钩；功是数量，与数量积运算相连.凡 涉及速度、位移均可以考虑用线性运 算工具(向量加法的平行四边形法则)， 而功的问题则直接运用数量积处理. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 知识点1 返回导航 第六章 平面向
4、量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与位移s的数量积. 向量在物理中的应用 知识点2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点， PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF. 题型探究题型探究 题型一题型一 向量在平面几何证明问题中的应用 典典例例 1
5、 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 证明 法一：设正方形 ABCD 的边长为 1，AEa(0a1)， 则 EPAEa，PFEB1a，AP 2a， DP EF (DA AP ) (EP PF )DA EP DA PF AP EP AP PF 1acos 180 1(1a)cos 90 2aacos 45 2a(1 a)cos 45 aa2a(1a)0 DP EF ，即 DPEF. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 法二：设正方形的边长为 1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设 P(x，x)，则 D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)， 所
6、以DP (x，x1)，EF (1x，x)， 由于DP EF x(1x)x(x1)0， 所以DP EF ，即 DPEF. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 向量法解决平面几何问题的两种方法 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法： (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基 底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性 质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题 中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好坐 标系或易建坐标系的问题适合用坐标法. 返回导航 第六章 平
7、面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB， BC的中点，求证：AFDE. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 方法一：设AD a，AB b，则|a|b|，a b0， 又DE DA AE ab 2，AF AB BF ba 2， 所以AF DE (ba 2) (a b 2) 1 2a 23 4a b b2 2 1 2|a| 21 2|b| 20 故AF DE ，即 AFDE. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则 A
8、(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， AF (2,1)，DE (1，2). 因为AF DE (2,1) (1，2)220， 所以AF DE ，即 AFDE. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角 线BD2求对角线AC的长. 题型二题型二 平面几何中的长度问题 典典例例 2 分析 把AD ，AB 看作一组基底，表示出BD 、AC ，利用|BD |2， 可求得AD AB 的值，进而求出|AC |. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 设AD a，AB b，则BD ab，A
9、C ab， 而|BD |ab| a22a bb2 142a b 52a b2， 52a b4，a b1 2， 又|AC |2|ab|2a22a bb2142a b6， |AC | 6，即 AC 6. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图 形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；二是建立 坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a| x2y2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知 RtAB
10、C 中，C90 ，设 ACm，BC n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD1 2AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0). D 为 AB 的中点，D n 2， m 2 ， |CD |1 2 n2m2，|AB | m2n2， |CD |1 2|AB |，即 CD1 2AB. 返回导航 第六章 平面向量及
11、其应用 数学（必修第二册RJA） (2)E 为 CD 的中点，E n 4， m 4 ， 设 F(x,0)，则AE n 4， 3 4m ，AF (x，m). A，E，F 三点共线，AF AE . 即(x，m) n 4， 3 4m ，则 xn 4， m3 4m， 故 4 3， 即 x n 3， F n 3，0 ， |AF |1 3 n29m2， 即 AF1 3 n29m2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线 的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两 根绳子拉力的大小. (2)已知两恒力F
12、1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功. 题型三题型三 向量在物理中的应用 典典例例 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 (1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时， 实质就是向量的线性运算. (2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘 积，即W|F|s|cosF，s，功是一个实数，它可正可负，也可以为零. 力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数 量积. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析
13、 (1)如图，两根绳子的拉力之和OA OB OC ，且|OC |OG |300 N，AOC30 ，BOC60 . 在OAC 中，ACOBOC60 ， AOC30 ，则OAC90 ， 从而|OA |OC | cos 30 150 3(N)， |AC |OC | sin 30 150(N)， 所以|OB |AC |150(N). 答：与铅垂线成 30 角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60 角 的绳子的拉力是 150 N. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 WF s. AB (7,0)(20,15)(1
14、3，15). W1F1 AB (3,4) (13，15)3(13)4(15) 99(焦)，W2F2 AB (6，5) (13，15)6(13)(5)(15) 3(焦). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)河水自西向东流动的速度为 10 km/h， 小船自南 岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 10 3 km/h，求小船的实际 航行速度. (2)两个力 F1ij，F24i5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到点 B(7
15、,0)(其中 i、 j 分别是与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量). 求： F1、F2分别对该质点所做的功； F1、F2的合力 F 对该质点所做的功. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过 平面内一点 O 作OA a，OB b，以OA ，OB 为邻边作矩形 OACB，连接 OC ，如图， 则OC ab，并且OC 即为小船的实际航行速度. |OC | ab2 a2b220(km/h)， tanAOC10 3 10 3，AOC60 ， 小船的实际航行速度为 20 km/h，按北偏东 30 的方向航行. 返
16、回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)AB (720)i(015)j13i15j， F1所做的功 W1F1 sF1 AB (ij) (13i15j)28； F2所做的功 W2F2 sF2 AB (4i5j) (13i15j)23 因为 FF1F25i4j， 所以 F 所做的功 WF sF AB (5i4j) (13i15j)5 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如图所示，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿 坡度为30的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.求此 人对物体所的功. 易错警示易错警示 典典例例
17、4 做功问题因对角度认识不清而致错 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错解 记沿斜面向上方向的单位向量为 e，则位移 s6e，WF s |F|s|cos 256 3 2 75 3(J)，所以此人对物体所做的功为 75 3 J. 错因分析 要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力 F 与物体的位移 s 两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求 解作用力 F 与物体的位移 s 两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得 此人对物体所做的功.错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不 是作用力 F 与物体的位移 s 两者之间的夹角. 返回导航 第六章 平面向量及
18、其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 因为绳索长 1.5 m， 拖拉点距斜面的垂直高度为 1.2 m， 斜面 坡度为 30 ， 所以作用力 F 与斜面之间所成的角度 满足 sin1.2sin60 1.5 2 3 5 ，所以 cos 1sin2 13 5 ，记沿斜面向上方向的单位为 e，则 位移 s6e，WF s|F|s|cos256 13 5 30 13(J)，所以此人对物 体所做的功为 30 13 J. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，在倾斜角为37(sin370.6)，高为 2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是 它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_J，重力 对物体m所做的功为_J(g9.8 m/s2). 0 98 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 物体 m 的位移大小为|s| 2 sin37 10 3 (m)， 则支持力对物体 m 所做的功为 W1F s|F|s|cos90 0(J)；重力对物体 m 所做的功为 W2 G s|G|s|cos53 59.810 3 0.698(J).
