1、数学 函数的基本性质 函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题在高考中常常将它们综合在一起命题，解解 题时题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间即实现区间 的转换的转换，再利用单调性解决相关问题再利用单调性解决相关问题 一、奇函数的最值性质一、奇函数的最值性质 已知函数已知函数 f(x)是定义在区间是定义在区间 D 上的上的奇函数， 则对任意的奇函数， 则对任意的 xD，都有都有 f(x)f(x)0.特别特别 地地，若奇函数若奇函数 f(
2、x) 在在 D 上有最值上有最值，则则 f(x)maxf(x)min0，且若且若 0D，则则 f(0)0. 设函数设函数f(x)（ （x1）2sin x x21 的最大值为的最大值为M， 最小值为最小值为m， 则则Mm_ 【解析解析】 函数函数 f(x)的定义域为的定义域为 R， f(x)（ （x1）2sin x x21 12x sin x x21 ， 设设 g(x)2x sin x x21 ，则则 g(x)g(x)， 所以所以 g(x)为奇函数为奇函数， 由奇函数图象的对称性知由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0， 所以所以 Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)m
3、axg(x)min2. 【答案答案】 2 二、抽象函数的周期性二、抽象函数的周期性 (1)如果如果 f(xa)f(x)(a0)，那么那么 f(x)是周期函数是周期函数，其中的一个周期其中的一个周期 T2a. (2)如果如果 f(xa) 1 f（x）(a 0)，那么那么 f(x)是周期函数是周期函数，其中的一个周期其中的一个周期 T2a. (3)如果如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么那么 f(x)是周期函数是周期函数，其中的一个周期其中的一个周期 T2a. 已知定义在已知定义在 R 上的函数上的函数 f(x)， 对任意实数对任意实数 x 有有 f(x4)f(x)2 2， 若函数若函数 f(
4、x 1)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称对称，f(1)2，则则 f(17)_ 【解析解析】 由函数由函数 yf(x1)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称可知对称可知，函数函数 f(x)的图象关于的图象关于 y 轴对称轴对称，故故 f(x)为偶函数为偶函数 由由 f(x4)f(x)2 2，得得 f(x44)f(x4)2 2f(x)，所以所以 f(x)是最小正周是最小正周 期为期为 8 的偶函数的偶函数，所以所以 f(17)f(128)f(1)2. 【答案答案】 2 三、抽象函数的对称性三、抽象函数的对称性 已知函数已知函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的函数上的函数 (1)若若
5、 f(ax)f(bx)恒恒成立成立， 则则 yf(x)的图象关于直线的图象关于直线 xa b 2 对称对称， 特别地特别地， 若若 f(a x)f(ax)恒成立恒成立，则则 yf(x)的图象关于直线的图象关于直线 xa 对称对称 (2)若函数若函数 yf(x)满足满足 f(ax)f(ax)0，即即 f(x)f(2ax)，则则 f(x)的图象关于点的图象关于点 (a，0)对称对称 (2020 黑龙江牡丹江一中期末黑龙江牡丹江一中期末)设设 f(x)是是(，)上的奇函数上的奇函数，且且 f(x2) f(x)，下面关于下面关于 f(x)的判定的判定，其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( )
6、f(4)0； f(x)是以是以 4 为周期的函数；为周期的函数； f(x)的图象关于的图象关于 x1 对称；对称； f(x)的图象关于的图象关于 x2 对称对称 A1 B2 C3 D4 【解析解析】 因为因为 f(x)是是(，)上的奇函数上的奇函数，所以所以 f(x)f(x)，f(0)0， 因为因为 f(x2)f(x)，所以所以 f(x4)f(x2)f(x)， 即即 f(x)是以是以 4 为周期的周期函数为周期的周期函数，f(4)f(0)0， 因为因为 f(x2)f(x)，所以所以 f(x1)1f(x)， 令令 tx1，则则 f(t1)f(1t)，所以所以 f(x1)f(1x)， 所以所以 f(x)的图象关于的图象关于 x1 对称对称，而而 f(2x)f(2x)显然不成立显然不成立 故正确的命故正确的命题是题是，故选故选 C 【答案答案】 C 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
