1、数学 指数与指数函数 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1根式根式 (1)根式的概念根式的概念 若若_， 则则 x 叫做叫做 a 的的 n 次方根次方根， 其中其中 n1 且且 nN*.式子式子_叫做根式叫做根式， 这里这里_叫做根指数叫做根指数，_叫做被开方数叫做被开方数 xna n a n a a 的的 n 次方根的表示：次方根的表示： xna x na，当当n为奇数且为奇数且nN*，n1时时， x_，当当n为偶数且为偶数且nN*时时. (2)根式的性质根式的性质 (na)na(nN*，且且 n1) nan a，n为奇数
2、为奇数， _ a， ，a0， a，a0，m，nN*，且且 n1)； 负分数指数幂：负分数指数幂：a m n _ (a0，m，nN*，且且 n1)； 0 的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂的负分数指数幂_ n am 1 a m n 1 n am 0 无意义无意义 (2)有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质 aras_ (a0，r，sQ)； a r as _ (a0，r，sQ)； (ar)s_ (a0，r，sQ)； (ab)r_ (a0，b0，rQ) ar s ar s ars arbr 3指指数函数的图象与性质数函数的图象与性质 yax (a0 且且 a1) a1
3、 0a0 且且 a1) a1 0a0 时时，_； 当当 x0时时， _； 当当 x1 0y1 0y1 常用结论常用结论 1指数函数图象的画法指数函数图象的画法 画指数函数画指数函数 yax(a0，且且 a1)的图象的图象，应抓住三个关键点：应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， 1，1 a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数如图是指数函数(1)yax， (2)ybx， (3)ycx， (4)ydx的图象的图象， 底数底数 a， b， c， d与与1之间的大小关系为之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：由此我们可得到以下规律：
4、 在第一象限内在第一象限内，指数函数指数函数 yax(a0，a1)的图象越高的图象越高，底数越大底数越大 3指数函数指数函数 yax(a0，且且 a1)的图象和性质跟的图象和性质跟 a 的取值有关的取值有关，要特别注意应分要特别注意应分 a1 与与 0a0 且且 a1)的图象恒过定点的图象恒过定点 A，则则 A 的坐标为的坐标为_ 解析：解析：令令 x20，则则 x2，f(2)3，即即 A 的坐标为的坐标为(2，3) 答案：答案：(2，3) 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)nan(na)na. ( ) (2)(1) 2 4
5、 (1) 1 2 1. ( ) (3)函数函数 ya x 是是 R 上的增函数上的增函数 ( ) (4)函数函数 yax 2 1(a1)的值域是 的值域是(0，) ( ) (5)函数函数 y2x 1 是指数函数是指数函数 ( ) (6)若若 am0，且且 a1)，则则 mn. ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)忽略 忽略 n 的范围导致式子的范围导致式子nan(aR)化简出错；化简出错； (2)不理解指数函数的概念出错；不理解指数函数的概念出错； (3)忽视底数忽视底数 a 的范围出错的范围出错 1化简化简416x8y4(x0，y0)得得 ( ) A2x2y B2xy
6、C4x2y D2x2y 解析：解析：选选 D因为因为 x0，y0， 所以所以416x8y4(16x8y4) 1 4 (16) 1 4 (x8) 1 4 (y4) 1 4 2x2|y|2x2y. 2若函数若函数 f(x)(a23) ax为指数函数为指数函数，则则 a_ 解析：解析：由题意知由题意知 01 时时，a2；当；当 0a0， 且且 a1)的图象的图象， 应抓住三个关键点：应抓住三个关键点： (1， a)， (0， 1)， 1，1 a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点判断所给的图象是否过这些点，若不若不 满足
7、则排除满足则排除 (3)对于有关指数型函数的图象问题对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平通过平 移、伸缩、对称变换而得到特别地移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数当底数 a 与与 1 的大小关系不确定时应注意分类的大小关系不确定时应注意分类 讨论讨论 1函数函数 f(x)ax b 的图象如的图象如图所示，其中图所示，其中 a，b 为常数为常数，则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ( ) Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 解析：解析：选选 D由由 f(x)ax b 的图象可以观察出函数的图象可以观察出函数 f(
8、x)ax b 在定义域上单调递减在定义域上单调递减，所所 以以 0a1.函数函数 f(x)ax b 的图象是在的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的的基础上向左平移得到的，所以所以 b0. 2若关于若关于 x 的方程的方程|ax1|2a(a0，且，且 a1)有两个不等实根有两个不等实根，则则 a 的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：方程方程|ax1|2a(a0，且且 a1)有两个不等实根转化为函数有两个不等实根转化为函数 y|ax1|与与 y2a 有两个交点有两个交点 (1)当当 0a1 时时，如图如图，所以所以 02a1，即即 0a1 2； ； (2)当当 a1 时时，如图如图
9、，而而 y2a1 不符合要求不符合要求 所以所以 0a1 2. 答案：答案： 0，1 2 考点三考点三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用(综合型综合型) 复习复习 指导指导 借助指数函数的图象 借助指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性探索并理解指数函数的单调性 核心素养：核心素养：数数学抽象、直观想象学抽象、直观想象 角度一角度一 比较指数幂的大小比较指数幂的大小 已知已知 a 1 2 2 3， ，b2 4 3，c 1 2 1 3， ，则下列关系式中正确的是则下列关系式中正确的是 ( ) Acab Bbac Cacb Dab 2 3 1 3， ， 所以所以 1 2 4 3 1 2
10、 2 3 1 2 1 3， ，即即 bac. 【答案答案】 B 比较指数幂大小的常用方法比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小， 所以能够化同底的尽可能化同底所以能够化同底的尽可能化同底 二是取中间值法二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值先与中间值(特别是特别是 0， 1)比较大小比较大小，然后得出大小关系然后得出大小关系 三是图解法三是图解法，根据指数函数的特征根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系
11、中作出它们的函数图象在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象， 借助图象比较大小借助图象比较大小 角度二角度二 解简单的指数方程或不等式解简单的指数方程或不等式 不等式不等式 1 2 x2ax 1 2 2xa2恒成立 恒成立，则则 a 的取值范围的取值范围是是_ 【解析】【解析】 由题意由题意，y 1 2 x是减函数 是减函数， 因为因为 1 2 x2ax2xa2 恒成立恒成立， 所以所以 x2(a2)xa20 恒成立恒成立， 所以所以 (a2)24(a2)0， 即即(a2)(a24)0，即即(a2)(a2)0， 解得解得2a0，且且 a1)的函数求值域时的函数求值域时，要借助换元法：令要借助
12、换元法：令 uf(x)，先求出先求出 u f(x)的值域的值域，再利用再利用 yau的单调性求出的单调性求出 yaf(x)的值域的值域 (2)形如形如 yaf(x)(a0，且且 a1)的的函数单调性的判断函数单调性的判断，首先确定定义域首先确定定义域 D，再分两种情再分两种情 况讨论：况讨论： 当当 a1 时时，若若 f(x)在区间在区间(m，n)上上(其中其中(m，n)D)具有单调性具有单调性，则函数则函数 yaf(x)在区间在区间 (m，n)上的单调性与上的单调性与 f(x)在区间在区间(m，n)上的单调性相同；上的单调性相同； 当当 0a1 时时，若若 f(x)在区间在区间(m，n)上上
13、(其中其中(m，n)D)具有单调性具有单调性，则函数则函数 yaf(x)在区在区 间间(m，n)上的单调性与上的单调性与 f(x)在区间在区间(m，n)上的单调性相反上的单调性相反 1函数函数 y 1 2 x22x1的值域是 的值域是 ( ) A(，4) B(0，) C(0，4 D4，) 解析：解析： 选选 C 设设 tx22x1， 则则 y 1 2 t.因为 因为 01 21， ， 所以所以 y 1 2 t为关于 为关于 t 的减函数 因的减函数 因 为为 t(x1)222，所以所以 00 时时，1bxax，则则 ( ) A0ba1 B0ab1 C1ba D1a0 时时，11.因为因为 x0 时时，bx0 时时， a b x1. 所以所以a b1， ，所以所以 ab.所以所以 1b0 的解集为的解集为_ 解析：解析：因为因为 f(x)为偶函数为偶函数， 当当 x0，则则 f(x)f(x)2 x 4. 所以所以 f(x) 2x 4，x0， 2 x 4，x0 时时， 有有 x 20， 2x 2 40 或或 x 20， 解得解得 x4 或或 x4 或或 x4 或或 x0 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
