1、第第 1414 章章 勾股定理勾股定理 一、选择题（共一、选择题（共 1313 小题）小题） 1如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ） A48 B60 C76 D80 2如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 （ ） A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 3如图，ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BEAC若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为何？ （ ） A10 B11 C12 D13 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） Aa=1，b=2，c=3
2、 Ba=2，b=3，c=4 Ca=2，b=4，c=5 Da=3，b=4，c=5 5下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C4，5，6 D1， 6一直角三角形的两边长分别为 3 和 4则第三边的长为（ ） A5 B C D5 或 7 设 a、 b 是直角三角形的两条直角边， 若该三角形的周长为 6， 斜边长为 2.5， 则 ab 的值是 （ ） A1.5 B2 C2.5 D3 8如图，若A=60，AC=20m，则 BC 大约是（结果精确到 0.1m） （ ） A34.64m B34.6m C28.3m D17.3m 9如图，在矩形 ABCD 中，AD=2A
3、B，点 M、N 分别在边 AD、BC 上，连接 BM、DN若四边形 MBND 是 菱形，则等于（ ） A B C D 10如图，正六边形 ABCDEF 中，AB=2，点 P 是 ED 的中点，连接 AP，则 AP 的长为（ ） A2 B4 C D 11如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上，但有限 D有无数个 12在等腰ABC 中，ACB=90，且 AC=1过点 C 作直线 lAB，P 为直线 l 上一点，且 AP=AB则 点 P 到 BC 所在直线的距离
4、是（ ） A1 B1 或 C1 或 D或 13如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD 的面积 是（ ） A B C2 D 二、填空题（共二、填空题（共 1515 小题）小题） 14如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（6，0）、（0，8）以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交 x 正半轴于点 C，则点 C 的坐标为 15在 RtABC 中，CA=CB，AB=9，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若 tanCAD=，则 BD 的长为 16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”
5、（如 图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、 正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3若正方形 EFGH 的边长为 2，则 S1+S2+S3= 17如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于 18如图，在ABC 中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则 AE= 19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形 A、B、C、D 的面积
6、分别为 2，5，1，2则最大的正方形 E 的面积是 20在ABC 中，C=90，AB=7，BC=5，则边 AC 的长为 21如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，矩形 ABCD 的周长是 20cm，AE=5cm，则 AB 的长为 cm 22如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构 成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为 1：13，则直角三角形较短的直角边 a 与较长 的直角边 b 的比值为 第第 1414 章章 勾股定理勾股定理 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 1313 小题）小题） 1如图，点 E
7、 在正方形 ABCD 内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ） A48 B60 C76 D80 【考点】勾股定理；正方形的性质 【分析】由已知得ABE 为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长 AB，用 S阴影部分=S正方形 ABCDSABE 求面积 【解答】解：AEB=90，AE=6，BE=8， 在 RtABE 中，AB2=AE2+BE2=100， S阴影部分=S正方形 ABCDSABE， =AB2AEBE =10068 =76 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断ABE 为直角三角形，运用勾股 定理及面积公式求解 2如图是我国古代数学家
8、赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 （ ） A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 【考点】勾股定理的证明 【专题】几何图形问题 【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明 【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明 3如图，ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BEAC若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为何？ （ ） A10 B11 C12 D13 【考点】勾股定理；直角三角形斜边
9、上的中线 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出 AB 的长，再根据勾股 定理即可求出 BE 的长 【解答】解：BEAC， AEB 是直角三角形， D 为 AB 中点，DE=10， AB=20， AE=16， BE=12， 故选 C 【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边 的一半，题目的综合性很好，难度不大 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） Aa=1，b=2，c=3 Ba=2，b=3，c=4 Ca=2，b=4，c=5 Da=3，b=4，c=5 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项
10、进行逐一分析即可 【解答】解：A、12+22=532，不能构成直角三角形，故本选项错误； B、22+32=1342，不能构成直角三角形，故本选项错误； C、22+42=2052，不能构成直角三角形，故本选项错误； D、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这 个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 5下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C4，5，6 D1， 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有
11、两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形判定则可 【解答】解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故错误； B、22+3242，不能组成直角三角形，故错误； C、42+5262，不能组成直角三角形，故错误； D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小 关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 6一直角三角形的两边长分别为 3 和 4则第三边的长为（ ） A5 B C D5 或 【考点】勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】本题
12、中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析 【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为 5， （2）当 4 为斜边时，由勾股定理得，第三边为， 故选：D 【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析 7（2013德宏州）设 a、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5， 则 ab 的值是（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 【考点】勾股定理 【专题】压轴题 【分析】由该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5 可知 a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即 可求出 ab 的值 【解答】解：三角形的周长为 6，斜边
13、长为 2.5， a+b+2.5=6， a+b=3.5， a、b 是直角三角形的两条直角边， a2+b2=2.52， 由可得 ab=3， 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用 8如图，若A=60，AC=20m，则 BC 大约是（结果精确到 0.1m） （ ） A34.64m B34.6m C28.3m D17.3m 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形 【分析】首先计算出B 的度数，再根据直角三角形的性质可得 AB=40m，再利用勾股定理计算出 BC 长即可 【解答】解：A=60，C=90， B=30， AB=2AC， AC=20m， AB=40m，
14、BC=2034.6（m）， 故选：B 【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30角 所对的直角边等于斜边的一半在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边 长的平方 9如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，点 M、N 分别在边 AD、BC 上，连接 BM、DN若四边形 MBND 是 菱形，则等于（ ） A B C D 【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质 【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角ABM 中三边的关系 【解答】解：四边形 MBND 是菱形， MD=MB 四边形 ABCD 是矩形， A=90
15、设 AB=x，AM=y，则 MB=2xy，（x、y 均为正数） 在 RtABM 中，AB2+AM2=BM2，即 x2+y2=（2xy）2， 解得 x=y， MD=MB=2xy=y， = 故选：C 【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理解此题的关键是注意数形 结合思想与方程思想的应用 10如图，正六边形 ABCDEF 中，AB=2，点 P 是 ED 的中点，连接 AP，则 AP 的长为（ ） A2 B4 C D 【考点】勾股定理 【分析】连接 AE，求出正六边形的F=120，再求出AEF=EAF=30，然后求出AEP=90并 求出 AE 的长，再求出 PE 的长，最后在
16、RtAEP 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解 【解答】解：如图，连接 AE， 在正六边形中，F=（62）180=120， AF=EF， AEF=EAF=（180120）=30， AEP=12030=90， AE=22cos30=22=2， 点 P 是 ED 的中点， EP=2=1， 在 RtAEP 中，AP= 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直 角三角形是解题的关键 11如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A只有 1 个 B可以有 2 个
17、 C有 2 个以上，但有限 D有无数个 【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】分类讨论 【分析】两条边长分别是 6 和 8 的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者 8 为斜边，运 用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答 【解答】解：根据题意，两条边长分别是 6 和 8 的直角三角形有两种可能，一种是 6 和 8 为直角边， 那么根据勾股定理可知斜边为 10；另一种可能是 6 是直角边，而 8 是斜边，那么根据勾股定理可知 另一条直角边为 所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是，解得 x=5； 第二种是，解得 x=所以
18、可以有 2 个 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易 错题 12在等腰ABC 中，ACB=90，且 AC=1过点 C 作直线 lAB，P 为直线 l 上一点，且 AP=AB则 点 P 到 BC 所在直线的距离是（ ） A1 B1 或 C1 或 D或 【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形 【专题】压轴题 【分析】如图，延长 AC，做 PDBC 交点为 D，PEAC，交点为 E，可得四边形 CDPE 是正方形，则 CD=DP=PE=EC；等腰 RtABC 中，C=90，AC=1，所以，可求出 BC=1，AB=，又 AB=AP；
19、所以， 在直角AEP 中，可运用勾股定理求得 DP 的长即为点 P 到 BC 的距离 【解答】解：如图，延长 AC，做 PDBC 交点为 D，PEAC，交点为 E， CPAB， PCD=CBA=45， 四边形 CDPE 是正方形， 则 CD=DP=PE=EC， 在等腰直角ABC 中，AC=BC=1，AB=AP， AB=， AP=； 在直角AEP 中，（1+EC）2+EP2=AP2 （1+DP）2+DP2=（）2， 解得，DP=； 如图，延长 BC，作 PDBC，交点为 D，延长 CA，作 PECA 于点 E， 同理可证，四边形 CDPE 是正方形， CD=DP=PE=EC， 同理可得，在直角A
20、EP 中，（EC1）2+EP2=AP2， （PD1）2+PD2=（）2， 解得，PD=； 故选 D 【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股 定理解答；考查了学生的空间想象能力 13如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD 的面积 是（ ） A B C2 D 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形 【专题】计算题 【分析】如图，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F构建矩形 AEFD 和直角三角形，通过 含 30 度角的直角三角形的性质求得 AE 的长度，然后由
21、三角形的面积公式进行解答即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F设 AB=AD=x 又ADBC， 四边形 AEFD 是矩形， AD=EF=x 在 RtABE 中，ABC=60，则BAE=30， BE=AB=x， DF=AE=x， 在 RtCDF 中，FCD=30，则 CF=DFcot30=x 又BC=6， BE+EF+CF=6，即x+x+x=6， 解得 x=2 ACD 的面积是： ADDF=xx=22=， 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含 30 度角的直角三角形解题的难点是作出辅助 线，构建矩形和直角三角形，目的是求得ADC
22、 的底边 AD 以及该边上的高线 DF 的长度 二、填空题（共二、填空题（共 1515 小题）小题） 14如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（6，0）、（0，8）以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交 x 正半轴于点 C，则点 C 的坐标为 （4，0） 【考点】勾股定理；坐标与图形性质 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的长，进而得到 AC 的长，因为 OC=ACAO，所以 OC 求出，继而 求出点 C 的坐标 【解答】解：点 A，B 的坐标分别为（6，0）、（0，8）， AO=6，BO=8， AB=10， 以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧， AB=AC=10，
23、 OC=ACAO=4， 交 x 正半轴于点 C， 点 C 的坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0） 【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键 是利用勾股定理求出 AB 的长 15 在 RtABC 中， CA=CB， AB=9， 点 D 在 BC 边上， 连接 AD， 若 tanCAD=， 则 BD 的长为 6 【考点】勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求 AC，BC 的长，在 RtACD 中，根据锐角三角函数的定义可 求 CD 的长，BD=BCCD，代入数据计算即可求解 【解答】解：如图，在 RtAB
24、C 中，CA=CB，AB=9， CA2+CB2=AB2， CA=CB=9， 在 RtACD 中，tanCAD=， CD=3， BD=BCCD=93=6 故答案为：6 【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系， 难度不大 16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如 图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、 正方形 EFGH、 正方形 MNKT 的面积分别为 S1、 S2、 S3 若正方形 EFGH 的边长为 2， 则 S1+S2+S3= 12 【考点】勾股定
25、理的证明 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得出 CG=KG，CF=DG=KF， 再根据 S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KFNF）2，S1+S2+S3=12 得出 3GF2=12 【解答】解：八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形， CG=KG，CF=DG=KF， S1=（CG+DG）2 =CG2+DG2+2CGDG =GF2+2CGDG， S2=GF2， S3=（KFNF）2=KF2+NF22KFNF， S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF2=12， 故答案是：
26、12 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质， 根据已知得出 S1+S2+S3=3GF2=12 是解题的难点 17如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于 6 【考点】勾股定理的证明 【分析】根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 ab=2，解得 a，b 的值代入即可 【解答】解：AB=10，EF=2， 大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， 四个直角三角形面积和为 1004=96，设 AE 为 a，DE 为 b，
27、即 4ab=96， 2ab=96，a2+b2=100， （a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196， a+b=14， ab=2， 解得：a=8，b=6， AE=8，DE=6， AH=82=6 故答案为：6 【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 ab 的值 18如图，在ABC 中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则 AE= 3 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以 AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出 AE 的长 【解答】解：在ABC 中，CA=CB，
28、ADBC，BEAC， AD=BE=4， AB=5， AE=3， 故答案为：3 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单 19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2则最大的正方形 E 的面积是 10 【考点】勾股定理 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积和即为最大正 方形的面积 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为 S2，S1+S2=S3， 于是 S3=S1+S2， 即 S3=2
29、+5+1+2=10 故答案是：10 【点评】本题考查了勾股定理的应用能够发现正方形 A，B，C，D 的边长正好是两个直角三角形的 四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C，D 的面积和即是最大正方形的面积 20在ABC 中，C=90，AB=7，BC=5，则边 AC 的长为 2 【考点】勾股定理 【专题】计算题 【分析】根据勾股定理列式计算即可得解 【解答】解：C=90，AB=7，BC=5， AC=2 故答案为：2 【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观 21如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，矩形 ABCD 的周长是 20cm，AE=5cm，则
30、 AB 的长为 4 cm 【考点】勾股定理；矩形的性质 【分析】 设 AB=x， 则可得 BC=10 x，BE=BC=，在 RtABE 中， 利用勾股定理可得出 x 的值， 即求出了 AB 的长 【解答】解：设 AB=x，则可得 BC=10 x， E 是 BC 的中点， BE=BC=， 在 RtABE 中，AB2+BE2=AE2，即 x2+（）2=52， 解得：x=4 即 AB 的长为 4cm 故答案为：4 【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出 AB、BE 的长度，利用 勾股定理建立方程 22如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小
31、正方形密铺构 成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为 1：13，则直角三角形较短的直角边 a 与较长 的直角边 b 的比值为 【考点】勾股定理的证明 【专题】计算题 【分析】根据勾股定理可以求得 a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得 到 ab 的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则易求 b：a 【解答】解：小正方形与大正方形的面积之比为 1：13， 设大正方形的面积是 13，边长为 c， c2=13， a2+b2=c2=13， 直角三角形的面积是=3， 又直角三角形的面积是ab=3， ab=6， （a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+26=13+12=25， a+b=5 小正方形的面积为（ba）2=1， b=3，a=2， = 故答案是： 【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键
