1、8.1 8.1 二元一次方程组二元一次方程组 人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册 篮篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，分， 负一场得负一场得1分分. .如果某队为了争取较好名次，想在全如果某队为了争取较好名次，想在全部部10场场比赛比赛 中中得得16分分，那么这个队胜负场数应分别是多少，那么这个队胜负场数应分别是多少? ? 用学过的一元一次方程能解决此问题吗？用学过的一元一次方程能解决此问题吗？ 这可是两个这可是两个 未知数呀？未知数呀？ 导入新知导入新知 1.了解二元一次方程（组）及其了解二元一次方程（组）及其解的定义
2、解的定义. 2.会会检验检验一对数值是不是某个二元一次方程一对数值是不是某个二元一次方程 组的解组的解. 素养目标素养目标 3.能根据简单的实际问题能根据简单的实际问题列出列出二元一次方程组二元一次方程组. 2x +(10 x) =16 篮篮球联赛中球联赛中, ,每场比赛都要分出胜负每场比赛都要分出胜负, ,每队胜一场得每队胜一场得2分分, , 负一场得负一场得1分分. .如果某队为了争取较好名次如果某队为了争取较好名次, ,想在全想在全部部10场场比赛比赛 中中得得16分分, ,那么这个队胜、负场数应分别是多少那么这个队胜、负场数应分别是多少? ? 【思考思考】你你能设一个未知数能设一个未知
3、数( (比如设胜比如设胜x场场,),) , ,根据题意列出一根据题意列出一 元一次方程吗？元一次方程吗？ 胜胜 负负 合合 计计 场数场数 积分积分 (10 x) 10 (10 x) x 16 2x 探究新知探究新知 知识点 1 二元一次方程的概念二元一次方程的概念 x + y =10 2x +y =16 【思考思考】你你能设两个未知数能设两个未知数( (比如设胜比如设胜x场场, ,负负y场场) ) , ,根据题根据题 意列出方程吗？意列出方程吗？ 胜胜 负负 合计合计 场数场数 积分积分 y 10 y x 16 2x 探究新知探究新知 篮篮球联赛中球联赛中, ,每场比赛都要分出胜负每场比赛都
4、要分出胜负, ,每队胜一场得每队胜一场得2分分, , 负一场得负一场得1分分. .如果某队为了争取较好名次如果某队为了争取较好名次, ,想在全想在全部部10场场比赛比赛 中中得得16分分, ,那么这个队胜、负场数应分别是多少那么这个队胜、负场数应分别是多少? ? x + y =10 2x+ y =16 1.这这两个方程是一元一次方程吗？为什么？两个方程是一元一次方程吗？为什么？ 2.这这两个方程有什么共同特点？两个方程有什么共同特点？ 含有两个未知数；含有两个未知数； 含有未知数的项的次数都是含有未知数的项的次数都是1. 二元一次方程二元一次方程 含有含有两个未知数两个未知数, ,并且含有并且
5、含有未知数的项的次未知数的项的次 数都数都是是1的方程的方程叫做叫做二元一次方程二元一次方程. . 3.二二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？ 不同不同: : 相同相同: : 含未知数含未知数个数不同个数不同 都是都是一次方程一次方程 探究新知探究新知 观察观察 思考思考 ( (3) ) ( (1) ) 3y-2x =z+5 0 2 yx 1 2 y x ( (4) ) 02 3 y yx ( (5) ) xy 2 1 ( (2) ) ( (6) ) 3 - 2xy =1 是是 不是不是 不是不是 不是不是 不是不是 不是不是 例例1
6、判判断下列方程是否为二元一次方程：断下列方程是否为二元一次方程： ( (7) ) 4x+ =0 ( (8) ) 2x=1-3y 不是不是 是是 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 二元一次方程的判断二元一次方程的判断 探究新知探究新知 方法点拨 判断一个方程是否为二元一次方程的方法：判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一一看原方程是否是整式方程且只含有看原方程是否是整式方程且只含有两个两个未知数未知数； 二二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不系数都不 为为0，且含未知数的项的且含未知数的项的次数都是次数都是1. ( (8) )4xy+5
7、=0 ( (1) )x+y=11 ( (3) )x2+y=5 ( (2) )m+1=2 ( (4) )3x=11 ( (5) ) 5x=4y+2 ( (6) )7+a=2b+11c 二元一次方程 不是二元一次方程 判断判断下列方程是不是二元一次方程？下列方程是不是二元一次方程？ 巩固练习巩固练习 2 713x y ( (7) ) 例例2 已知已知|m1|x|m|y2n 1 3是二元一次方程，是二元一次方程， 则则mn_ 解析解析：根据题意得根据题意得|m|1且且|m1|0，2n11，解得，解得m 1，n1，所以所以mn0. . 0 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 根据二元一次方程的定义
8、求字母的值根据二元一次方程的定义求字母的值 方法小结方法小结：由方程是二元一次方程可知：由方程是二元一次方程可知： ( (1) )未知数的未知数的系数不为系数不为0； ( (2) )未知数的未知数的次数都是次数都是1. . （1）若若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则是二元一次方程，则m=_， n=_. . 2m-1=1 1 3n-2m=1 1 巩固练习巩固练习 （2）如果如果 是二元一次方程，那么是二元一次方程，那么k的值是的值是 ( )( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 B 4 1 7 4 k xy x + y = 16 像像这样这样, ,把具有相同未知数的两个
9、二元一次方程合在一起就组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组 成了一个成了一个二元一次方程组二元一次方程组. . 篮球联赛中篮球联赛中, ,每场比赛都要分出胜负每场比赛都要分出胜负, ,每队胜一场得每队胜一场得2分分, ,负一负一 场得场得1分分. .某队为了争取较好名次某队为了争取较好名次, ,想在全部想在全部16场比赛中得到场比赛中得到28分分, , 那么这个队胜负场数分别是多少那么这个队胜负场数分别是多少? ? 解解：设该队胜设该队胜了了x场场，负了，负了y场场, ,根据题意根据题意 可得方程：可得方程： 2x + y = 28 等量关系等量关系: : 胜的场数胜的场数+ +负
10、的场数负的场数= =总场数总场数 胜场积分胜场积分+ +负场积分负场积分= =总积分总积分 探究新知探究新知 二元一次方程组的定义二元一次方程组的定义 知识点 2 在这两个方程在这两个方程 中中, ,x的含义相的含义相 同吗同吗? ?y呢呢? ? 下列哪些是二元一次方程组？下列哪些是二元一次方程组？ ( (1) ) x+y= 2 ( (2) ) x-y=1 x = y ( (3) ) x=0 ( (4) ) z=x+1 y=1 2x-y=5 ( (5) ) x-3y=8 ( (6) ) 3x=5y xy=6 2x-y=0 ( (是是) ) ( (是是) ) ( (不是不是) ) ( (不是不是
11、) ) ( (是是) ) ( (不是不是) ) 探究新知探究新知 1 1x y 通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？ 请你说说二元一次方程组有哪些特点？请你说说二元一次方程组有哪些特点？ 方程组中方程组中共共有有2个不同未知数；个不同未知数； 方程组有方程组有2个一次方程；个一次方程； 一般用大括号把一般用大括号把2个方程连个方程连起来起来. x + y = 16 2x + y = 28 x + y = 2 x y = 1 探究新知探究新知 例例 在方程组在方程组 程组的有程组的有 ( ( ) ) A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个
12、 D. 4个个 D 中，是二元一次方中，是二元一次方 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 二元一次方程组的判断二元一次方程组的判断 提示提示：三个要素：三个要素： 含有两个含有两个未知数，未知数， 含有未知数的项的次数为含有未知数的项的次数为1， 整式整式方程方程. 13 12 xy yx 13 2 xy x0 35 xy xy 32 1 yx xy 1 1 y x 1 1 11 yx yx 下列下列方程组中，哪些是二元一次方程组方程组中，哪些是二元一次方程组 _ 3 2 ) 1 ( zy yx， 6 5 )2( xy yx， 6 7 )3( b a 3 1 2 )4( y x yx， 1
13、 22 2 )5( yx xy 25 (6) 312 x yx ， （3） （5） （6） 巩固练习巩固练习 x y 满足课堂开始篮球联赛问题中的方程满足课堂开始篮球联赛问题中的方程 ，且符合，且符合 问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中. . 10 yx 【思考思考】如如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些 值？这些值是有限的吗？值？这些值是有限的吗？ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x,y还可取到小数还可取到小数, ,如如x=0.5,y
14、=9.5; ; 有无数组这样的值有无数组这样的值. . 知识点 3 二元一次方程的解的定义二元一次方程的解的定义 探究新知探究新知 适合一个二元一次方程的一组未知数的值适合一个二元一次方程的一组未知数的值, ,叫做这叫做这 个个二元一次方程的一个解二元一次方程的一个解. . 探究新知探究新知 判断一对数值是不是二元一次方程的解判断一对数值是不是二元一次方程的解, ,只需把这对数值分只需把这对数值分 别代入方程的左右两边别代入方程的左右两边, ,若若左边左边= =右边右边, ,则这对数值则这对数值是是这个方这个方 程的解程的解; ;若若左边左边右边右边, ,则这对数值则这对数值不是不是这个方程的
15、解这个方程的解. . 温馨提示温馨提示: :一般情况下一般情况下, ,二元一次方程有无数组解二元一次方程有无数组解, ,但若对但若对 其未知数取值附加某些条件其未知数取值附加某些条件, ,那么也可能只有有限个解那么也可能只有有限个解. . 判断判断给给出的出的x、y的值是否的值是否是方程的解是方程的解 ( (1) ) 2x-3y=6 ( ) ( ) (2) ) 5x+2y=8 ( )( ) 4 0 y x 1 2 y x 1561018 , 211716124 xxxxx yyyyy 二二元一次方程的解有什么特点元一次方程的解有什么特点? ? 在在 中中, , 是方是方程程x+y=22的解的解
16、的有的有 ( (填序号填序号) .) . 使使二元一次方程两边的值相等的二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值两个未知数的值叫叫 做二元一次方程的解做二元一次方程的解. . 一般有一般有无数多无数多个个. . 什么什么叫二元一次方程的解？叫二元一次方程的解？ 巩固练习巩固练习 0 16 2 1 3 6 4 5 7 9 8 12 10 13 15 14 15 16 11 0 2 1 3 6 4 5 7 9 12 10 13 14 11 8 1.方程方程x+ y = 16中中 ,符合实际意义的符合实际意义的 x , y 的值有哪些的值有哪些? 把它们填入表格中把它们填入表格中. x y x y
17、20 28 22 26 24 0 2 1 3 6 4 5 7 9 8 12 10 13 14 11 0 2 8 4 6 10 14 16 18 12 2.再找出方程再找出方程2x + y = 28的的符合实际意义的解符合实际意义的解, ,并用表格罗列并用表格罗列. . 12 4 4 12 探究新知探究新知 知识点 4 二元一次方程组的解的定义二元一次方程组的解的定义 二二元一次方程组中各个方程的公共解元一次方程组中各个方程的公共解, ,叫做这个叫做这个二元一二元一 次方程组的解次方程组的解. . 【思考思考】上上表中哪对表中哪对x，y的值还满足方程的值还满足方程2x+y=28 ？ x=12，y
18、=4还满足方程也就是说还满足方程也就是说, 它是它是 方程方程x+y=16 与方程的与方程的公共解公共解，记作，记作 探究新知探究新知 4 12 y x 填表填表: :使使每对每对x,y的值是方程的值是方程3x+y=5的解的解 已知已知下列三对数值下列三对数值 _是方程是方程x+y=7的解的解; ; _是方程是方程2x+y=9的解的解， _是方程组是方程组 的解的解 x -2 0 0.4 2 y -0.4 -1 0.5 2 11 5 3.8 -1 1.8 2 1 x=2 y=5 x=1 y=7 x + y=7 2x+y=9 x=2 y=5 1.5 x=1 y=6 x=2 y=5 x=1 y=7
19、 , , x=2 y=5 x=1 y=6 巩固练习巩固练习 解解：把把 代代入到方程组入到方程组, ,得：得： 解解得得a =2,b=11. x = 1 y =-2 例例1 已已知二元一次方程知二元一次方程组组 的解是的解是 求求a与与b的值的值. 16 62 ybx ayx 2 1 y x 1)2(61 6)2(12 b a 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用二元一次方程组的解求字母的值利用二元一次方程组的解求字母的值 若若 是方程是方程x-ky=1的解的解,则则k的值为的值为 . 解析解析：将将 代代入原方程得入原方程得-2-3k=1， 解得解得k-1. . x=-2, y=3
20、-1 巩固练习巩固练习 x=-2, y=3 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：吴秀青 例例2 对对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实 际意义，找出问题的解际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道加工某种产品需经两道工序，第一道 工序每人每天可完成工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成件，第二道工序每人每天可完成 1200件件.现有现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才 能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？能使每天第一、第二道工序所完成的件数
21、相等？ 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 根据实际问题列二元一次方程组根据实际问题列二元一次方程组 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：吴秀青 分析分析：第一道工序的人第一道工序的人数数 _ 总人数；总人数； 第一道工序的件数第一道工序的件数_. 设安排第一道工序设安排第一道工序x人，第二道工序人，第二道工序y人，用方程把这些条人，用方程把这些条 件表示出来：件表示出来： _. x+y=7 900 x=1200y 第二道工序的人数第二道工序的人数 第二道工序的件数第二道工序的件数 7 9001200 xy xy 解解：所以可列方程组为所以可列方程组为 探究新知探究新知 4
22、=3 x y 是该问题的解是该问题的解. . 根根据据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本 的价格分别是（的价格分别是（ ） 哦哦我忘了！只记得先后我忘了！只记得先后 买了两次，第一次买了买了两次，第一次买了5支支 笔和笔和10本笔记本花了本笔记本花了42元钱，元钱， 第二次买了第二次买了10支笔和支笔和5本笔本笔 记本花了记本花了30元钱元钱 小红，你上周买的笔和小红，你上周买的笔和 笔记本的价格是多少啊？笔记本的价格是多少啊？ D A.0.8元元/支，支，2.6元元/本本 B.0.8元元/支，支，3.6元元/本本 C.1.2元元/支，支，2.6元元/
23、本本 D.1.2元元/支，支，3.6元元/本本 设小红所买的笔和笔记本的价格分别设小红所买的笔和笔记本的价格分别 为为x元和元和y元元,可可列列 将选项代入将选项代入 判断是否是方程组的解判断是否是方程组的解. 51042, 10530, xy xy 巩固练习巩固练习 方程组方程组 的解是（的解是（ ） A B C D D 1126 723 yx yx 5 1 y x 2 1 y x 1 3 y x 2 1 2 y x 连接中考连接中考 1.方程方程 3xy0,2xxy1,3x5y2x0， x2x10中，二元一次方程的个数是中，二元一次方程的个数是 ( ( ) ) A. 1个个 B. 2个个
24、C. 3个个 D. 4个个 B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1 20,x y 2.下列方程组中是二元一次方程组的是下列方程组中是二元一次方程组的是 ( ( ) ) C 课堂检测课堂检测 62 3 zy yx 1 4 12 yx yx A. B. 12 5 yx yx C. 18 6 22 yx yx D. 3. 解为解为 的方程组是的方程组是 ( )( ) D 课堂检测课堂检测 2 1 y x 53 1 yx yx 53 1 yx yx 13 3 yx yx 53 32 yx yx A. B. C. D. 4.小刘同学用小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共元钱购
25、买了两种不同的贺卡共8张，张， 单单价分别是价分别是1元与元与2元设他购买了元设他购买了1元的贺卡元的贺卡x张，张， 2元的贺卡元的贺卡y张，那么可列方程组张，那么可列方程组( ( ) ) A. B. C. D. 8 ,10 2 yx y x 102 , 8 102 yx yx 82 ,10 yx yx 8 ,102 yx yx D 课堂检测课堂检测 1.已知已知 是方程是方程2x-4y+2a=3的一组解，则的一组解，则 a=_. 2.若方程若方程2x2m+3+3y3n-7=0 是关于是关于x、y的二元一次方程，的二元一次方程， 则则m=_，n=_； x=3， y=1 -1 能 力 提 升 题
26、能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 1 2 8 3 把把一根长一根长13m的钢管截成的钢管截成2m长或长或3m长两种规格的钢管，怎样长两种规格的钢管，怎样 截不造成浪费？你有几种不同的截法？截不造成浪费？你有几种不同的截法？ 解解：设截成：设截成2m长的钢管长的钢管x根，根，3m长的钢管长的钢管y根根, , 则则2x+3y=13, , x,y均为非负整数，均为非负整数， 或或 有有2种不同的截法种不同的截法. . 3m长长1根、根、2m长长5根以及根以及3m长长3根、根、2m长长2根根. . x=5， y=1 x=2， y=3 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 认识二元一认识二元一 次方程组次方程组 二元一次方程及二元一二元一次方程及二元一 次方程组的次方程组的定义定义 二元一次方程二元一次方程及及二元二元 一次方程一次方程组的组的解解 根据实际问题根据实际问题列二元列二元 一次方程组一次方程组 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
