（原创）2020-2021学年江西省师大附中高三年级优生联赛试卷 理科数学.zip

第 1 页（共 12 页） 第 2 页（共 12 页） 2020-2021 学年全国 I 卷区优生联赛试卷 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题：一、选择题： 1【答案】D 【考点范围】复数的有关概念和四则运算 【思路点拨】先通过复数的乘法或除法运算，利用复数相等求出 a 的值，再写出复数 z 的代数式，然后根据有 关概念判断正误 【解析】由已知，则 a1，所以 z2i，|z|2，z 的虚部是23(2)(1)3aiiii 因为，则，选 D2zi0zz 2【答案】C 【考点范围】集合的有关概念与运算 【思路点拨】确定集合 B 含有哪些元素，不含哪些元素，用子集概念列举所有集合 B 【解析】由题设，U1，2，3，4，5，6，据题意，1，2，且 3，5，即 1，2， UB UB B 且 3，5，则，所以集合 B 可以是3，5，3，4，5，3，5，6，B3,53,4,5,6B 3，4，5，6共 4 个，选 C 3【答案】A 【考点范围】直线、平面平行，直线、平面垂直的判定和性质 【思路点拨】平面 ABCE 内的直线 l 与平面 PAE 平行的充要条件是 lAE，据此可判断结论正确；直接判 断 PE 与 AB 能否垂直有困难，用反证法分析较方便 【解析】在 AB 上取点 F，使 AFEC，则四边形 AECF 为平行四边形，得 CFAE，从而 CF平面 PAE， 结论正确； 作 PMAE，垂足为 M，因为平面 PAE平面 ABCE，则 PM平面 ABCE，所以 PMAB 假设 PEAB，则 AB平面 PAE，从而 ABAE，这与BAE 为锐角矛盾，所以假设不成立，结论错误，选 A 4【答案】D 【考点范围】古典概型，条件概率，渗透数学文化 【思路点拨】所求的概率为条件概率，用字母 A，B 表示相关事件，利用条件概率公式求解 【解析】由八卦图可知，八卦中有 1 卦有三个阳爻，有 3 卦恰有一个阳爻，有 3 卦恰有两个阳爻，有 1 卦没有 阳爻 设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件 A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件 B 解法一：解法一：因为，所以，选 D 2 5 2 8 9 ( )1( )1 14 C P AP A C 11 34 2 8 3 () 7 C C P AB C ()2 (|) ( )3 P AB P B A P A 解法二：解法二：因为，所以，选 D 112 353 ( )18n AC CC 11 34 ()12n ABC C ()122 (|) ( )183 n AB P B A n A 5【答案】C 【考点范围】椭圆的定义，标准方程，椭圆的几何性质 【思路点拨】利用椭圆定义及焦半径的范围，找出 a，c 所满足的关系，检验出符合要求的椭圆 【解析】设点 P 到椭圆两个焦点的距离分别为 m 和 2m，则 2mm2a，即 2 3 a m 因为 mac，则ac，即 a3c 经检验，椭圆满足要求，选 C 2 3 a 22 1 2521 xy 6【答案】B 【考点范围】指数的运算，函数的奇偶性，图象的平移变换 【思路点拨】将 f(x)的解析式变形，找一个与 f(x)相关联的奇函数或偶函数，利用图象变换得出 f(x)的对称性 【解析】 设，则 f(x)g(x2) 24 42 2 2111 ( )24(2) 222 x xx xxx f x 1 ( )4(2) 2 x x g x 因为，则 g(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，所以 f(x)的图象关于直线 x2 对称，选 B()( )gxg x 7【答案】D 【考点范围】正弦定理，两角差的正弦函数公式，商数关系，正切函数的单调性 【思路点拨】利用正弦定理，结合 AC120，将目标变量表示成角 C 的三角函数，并确定其定义域，再求 值域 【解析】因为 B60，则 AC120，所以 sinsin(120)3cossin31 sinsin2sin2tan2 aACCC cCCCC 因为 abc，则 A 为钝角，从而 C(0，30)，得，所以，选 D 3 tan(0,) 3 C(2,) a c 8【答案】A 【考点范围】二项式定理，二项展开式的系数性质 【思路点拨】利用二项式定理求出 x2的系数，再求 a 的值，通过赋值法求展开式中各项的系数和，及常数项， 再求其差 【解析】因为，则，即，所以 02211202 2646464 62415aC C aC C aC Caa 2 624159aa 2 440aa a2 在中，令 x0，则 64210 01210 (1) (12 )xxaa xa xa xL 0 1a 第 3 页（共 12 页） 第 4 页（共 12 页） 令 x1，则，所以，选 A 6 01210 264aaaaL 123100 6463aaaaaL 9【答案】B 【考点范围】二元一次不等式组表示的平面区域，线性规划 【思路点拨】将目标变量变形为，则问题转化为在约束条件下求 2xy 的极差， 2211 2(2)zxyxy 即 2xy 的最大值与最小值的差 【解析】因为， 21212211 2()2(2)zxxyyxyxy 设，则 作可行域，如图2bxy maxminmax zbb 平移直线 l：，当直线 l 过点 C(2，1)时，b 取最大值 5；2yxb 当直线 l 过点 D(0，1)时，b 取最小值 1，所以 z 的最大值为 514， 选 B 10【答案】A 【考点范围】复合型正弦函数的图象和性质，平面向量数量积的坐标运算 【思路点拨】根据图象求出 f(x)的解析式，再求出 A，B，C 的坐标，利用图象的对称性得出 A 为线段 CD 的中 点，将转化为，再用数量积的坐标运算公式求解BCBD 2BA 【解析】设 f(x)的最小正周期为 T，由图知，则 T2，所以 31113 4632 T 2 T 因为，则，即，所以 1 ( )1 3 f 32 6 ( )sin() 6 f xx 由题设，点，则， 因为 f(x)的图象关于点 A 对称，则 A 5 ( ,0) 6 A 1 (0, ) 2 B 1 ( ,1) 3 E 51 ( ,) 62 BA 1 ( ,1) 3 OE 为线段 CD 的中点，所以，选 A 514 ()22() 1829 BCBDOEBA OE 【命题意图命题意图】2020 年全国 I 卷中出现了以余弦函数图象为载体，考查三角函数有关性质的试题，本题取意如此， 主考正弦函数的图象和性质，渗透平面向量，注重考查基础知识和基本技能，体现一定的综合性，题型新颖别 致 11【答案】C 【考点范围】圆的标准方程，几何性质，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式 【思路点拨】根据的几何意义，找出圆心 C 到直线 AB 的距离 d 与圆半径 r 之间的关系，利用直线2PAAB AB 与圆 C 相交，得出 0dr，再解不等式求 r 的取值范围 【解析】取 AB 的中点 D，则 CDAB 因为，则|PD|5|AD|，设|CD|d，则2PAAB 因为点 P(2，2)，C(5，6)，则， 2222 |5PCdrd 222 |(52)(62)25PC 所以，得 因为 0dr，则，解得 1r5，选 C 222 255drd 22 25 (1) 24 dr 22 25 0(1) 24 rr 【命题意图命题意图】2020 年全国 I 卷中突出了对直线与圆的位置关系的考查，注重分析与综合，强调转化思想，具有 一定的思维难度 参照这一考向，本题用向量语言阐述直线与圆的位置关系，通过寻找相关变量的内在联系 来分析和解决问题，体现出了一种新的解题策略 12【答案】B 【考点范围】对数的运算性质，对数函数的性质，二次函数的图象和性质 【思路点拨】将已知等式变形为关于 lga 的一元二次方程，由方程有实根得出 b，c 的大小关系 再构造一个二次函数 f(x)，根据 f(lga)，f(lgb)，f(lgc)的大小关系确定 lga，lgb，lgc 的大小关系 【解析】由已知，即lg (lglg )lg (lglg )aaccab 2 lg2lglglglg0aacbc 则关于 x 的方程有实根，所以 2 2 lglglg0 xxccb 2 4lg4lglg4lg (lglg )0ccbccb 因为 bc，b1，c1，则 lgclgb，所以 cb 设，则二次函数 f(x)的图象关于直线 xlg c 对称，且 2 ( )2 lglglgf xxxccb 若 xlga 是 f(x)的一个较大零点，则 lgblgclga， 2 (lg )lglglglg (lglg )0fbbbcbbc 即 bca；若 xlga 是 f(x)的一个较小零点，则 lgalgblgc，即 abc，选 B 【命题意图命题意图】分析多元指对数不定方程中未知数的大小关系，在 2017 年，2020 年全国 I 卷中都有考查 以指、 对数运算，指、对数函数性质为知识载体，重点考查运用方程与函数思想分析和解决问题的能力，以及数学抽 象，逻辑推理，数学建模等核心素养本题以三元对数不定方程为基点，通过构造二次函数，分析三个未知数 之间的可能大小关系，体现了一定的开放性和探索性，并达成上述考查目标 本题还可设计成多选题，与新 高考接轨 二、填空题：二、填空题： 13【答案】120 【考点范围】向量的模，夹角，数量积定义及运算性质 【思路点拨】利用数量积定义及运算性质，将已知条件转化为关于向量夹角的三角方程求解 【解析】设向量 a 与 b 的夹角为 ，因为|a|1，|b|2，则(a2b)aa22ab14cos 由已知，14cos3，则 又 0，所以 120 1 cos 2 14【答案】 3 3 5 【考点范围】三角函数的诱导公式，商数关系，两角差的正切公式 【思路点拨】利用诱导公式及商数关系，将已知条件转化为 tan 的值，再用两角差的正切公式求解 x y O xy10 xy30 y1 C D 第 5 页（共 12 页） 第 6 页（共 12 页） 【解析】由已知，则，所以sin2 3costan2 3 tan33 33 3 tan() 316513tan 15【答案】3 【考点范围】双曲线的标准方程，对称性，离心率，直线的斜率 【思路点拨】点 A，B 关于原点对称，设 P，A，B 三点的坐标，通过“点差法”求 k1k2与离心率的关系 【解析】据题意，点 A，B 关于原点对称，设点 A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，则 ， 两式相减，得，则 22 22 1 xy ab 22 00 22 1 xy ab 2222 00 22 xxyy ab 222 0 222 0 yyb xxa 因为 e2，所以 22222 2000 12 2222 000 13 yyyyyybca kke xxxxxxaa 16【答案】52 【考点范围】球的截面性质、表面积，二面角，直线、平面垂直 【思路点拨】因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，其中ABC 的外心就是其中心，PAC 的外心是 AC 的中点，由此可构造直角三角形求球半径 OA 的长 【解析】取 AC 的中点 D，连 BD 设 E 为ABC 的外心，则点 E 在 BD 上，且 BE2ED 因为 PAPC，则 D 为 RtAPC 的外心 根据球的几何性质，有 OE平面 ABC，OD平面 PAC 因为二面角 PACB 大小为 120，平面 OAC平面 PAC，则 二面角 OACB 大小为 30，所以ODE30 因为ABC 是边长为 6 的正三角形，则，6sin603 3BD 所以 在 RtOED 中， 3 3 BD ED 2 cos30 ED OD 在 RtADO 中，因为 AD3，则，所以球 O 的半径， 22 13OAADOD13R 表面积 S球4R241352 【命题意图命题意图】有关多面体的外接球及球的截面问题，是近两年高考全国 I 卷的一个热点，对逻辑推理，直观想 象，数学运算等核心素养有较高要求本题要求考生根据球的截面性质，寻找球心位置，并合理利用二面角大 小进行计算，有一定的思维难度 三、解答题：三、解答题： （一）必考题：（一）必考题： 17【考点范围】等差数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，等比中项，裂项求和 【思路点拨】（1）由已知可得an为等差数列，利用等比中项条件建立关于 a1的方程，再解方程可求 a1的值， 但要注意 a30 这一隐含条件，防止增根 （2）根据数列an的通项公式写出数列bn的通项公式，用“裂项法”求其前 n 项和 【解析】（1）因为，则数列an是公差为 2 的等差数列 （1 分） 1 2(2) nn aan 则， （4 分） 311 224aaa 411 43 424(3) 2 Saa 511 54 525(4) 2 Saa 由已知，则，即，即 2 453 160S Sa 2 111 5(3)(4)4(4)aaa 2 11 340aa 11 (4)(1)0aa 因为 a30，则，所以 a11 （6 分） 1 40a （2）因为数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 （8 分）12(1)21 n ann 由题设， （10 分） 1 232(21)(21)11 (21)(21) 2(21)(21) 2(21) 2(21) 2 n nnnn nnn b nnnnnn 所以 （12 分） 21 111111 (1)()1 3 23 25 2(21) 2(21) 2(21) 2 n nnn T nnn L 18【考点范围】直线、平面垂直的判断与性质，二面角及其平面角，余弦定理， 空间向量，函数值域 【思路点拨】（1）几何法：取 BC 的中点 M，然后证明 CD平面 AMC1 向量法：通过几何或坐标运算，证明 1 0CD AC （2）几何函数法：分别延长 CB，C1D 相交于 E，连结 AE，则二面角 DAEB 的平面角为 适当选取一个 自变量 x，建立 的三角函数与 x 的函数关系，然后求值域 向量函数法：建立空间直角坐标系，取点 D 的竖坐标 t 为自变量，通过法向量建立 cos 与 t 的函数关系，然后 求值域 【解析】解法一：解法一：（1）取 BC 的中点 M，连接 AM，C1M 因为ABC 为正三角形，则 AMBC 由已知 BB1AM，则 AM平面 BB1C1C， 所以 AMCD （2 分） 因为 BDCM1，BCCC12，则 RtDBCRtMCC1， 所以BCDCC1M，从而DCC1与CC1M 互余，所以 C1MCD 结合知，CD平面 AMC1，所以 CDAC1 （5 分） （2）分别延长 CB，C1D 相交于 E，连结 AE，则二面角 DAEB 的平面角为 作 BFAE，垂足为 F，连结 DF，则 DFAE，所以BFD （6 分） 设 BEx(x0)，由余弦定理可得，由等面积可得， 2 24AExx 2 3 24 x BF xx 由相似三角形性质可得 （9 分） 2 2 x BD x 在 RtDBF 中， （10 分） 2 2 2242222 tan11 4 244333 4 BDxxx BFxxx x x B A C P O D E B AC A1 B1 C1 D E F M 第 7 页（共 12 页） 第 8 页（共 12 页） 因为，则，所以 （12 分） 44 24xx xx 2 1tan 3 2 1212 cos(, 1tan72 解法二：解法二：（1）分别取 AB、A1B1的中点 O、E，以 O 为原点， 直线 AB，OC，OE 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 （1 分） 因为直三棱柱 ABCA1B1C1的底边长和侧棱长都为 2，D 为 BB1的中点， 则点 A(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，1)，C1(0，2)（3 分）33 从而，则，(1,3,1)CD 1 (1, 3,2)AC 1 1320CD AC 所以 CDAC1 （5 分） （2）设 BDt(0t2)，则点 D(1，0，t)， （6 分）(2,0, )ADt uuu r 设为平面 AC1D 的法向量，由，得，( , , )nx y z r 1 0 0 n AC n AD r uuu r r uuu r 320 20 xyz xtz 取 z2，则 xt，所以 （9 分） 4 3 t y 4 (,2) 3 t nt r 又平面 ABC 的法向量，则(0,0,1)m u r 222 2 |233 cos | |(4)27(1)6 4 3 m n mntttt t u r r u rr 因为 0t2，则，所以 （12 分） 2 6(1)67t 212 cos(, 72 19【考点范围】频率分布直方图，散点图，古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，由直方图估计 平均数，回归直线方程 【思路点拨】（1）根据频率分布求出样本中自身免疫力指标在(40，60，(40，50内的人数，用古典概型求 X 的分布列，再求数学期望； （2）先由散点图样本数据求回归直线方程，再由直方图估计普通人群免疫力指标的平均值，然后由 y 的取值 估计 x 的取值 【解析】（1）由直方图知，自身免疫力指标在(40，50内的人数为 0008101008，在(50，60内的人数 为 0002101002，则 X 的可能取值为 1，2，3 （1 分） 其中， （4 分） 12 82 3 10 1 (1) 15 C C P X C 21 82 3 10 7 (2) 15 C C P X C 30 82 3 10 7 (3) 15 C C P X C 所以 X 的分布列为 （5 分） （6 分） 17712 123 1515155 EX （2）由散点图知，5 组样本数据(x，y)分别为(10，30)，(30，50)，(50，60)，(70，70)，(90，90)，且 x 与 y 具 有线性相关关系 （7 分） 因为50，60，则 b，xy 10 3030 5050 6070 7090 905 50 60 1023025027029025 502 7 10 a605025，所以回归直线方程为07x25 （10 分） 7 10 y 由直方图知，免疫力指标的平均值为 152535455527 （11 分） 26 100 40 100 24 100 8 100 2 100 由27381，得 07x2581，解得 x80 y 据此估计，疫苗注射量不应超过 80 个单位 （12 分） 20【考点范围】抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，两直线 的位置关系 【思路点拨】（1）设点 M(x0，y0)，根据已知条件建立关于 x0，y0，p 的方程组，再解方程组求 p 的值即得抛 物线方程； （2）设直线 l 的带参方程，联立抛物线的准线方程求出 D，E 两点的坐标，再设定点 N(a，0)，由于线段 DE 为圆的直径，则 DNEN，由此求出 a 的值也可以由 D，E 两点的坐标求出以线段 DE 为直径的圆方程，再 证明该圆与 x 轴的交点为定点 【解析】（1）设点 M(x0，y0)，因为点 M 在抛物线 C 上，则| 2 3OM 2 00 22 00 2 12 ypx xy 得，即 因为 x00，则 （3 分） 2 00 212xpx 22 0 ()12xpp 2 0 12xpp 因为|MF|3，则，即，所以，化简得， 0 3 2 p x 2 123 2 p p 22 12(3) 2 p p 2 440pp 解得 p2，所以抛物线 C 的方程是 y24x （5 分） （2）设直线 l 的方程为，代入，得1xty 2 4yx 2 440yty 设点，则， （6 分） 2 1 1 (,) 4 y Ay 2 2 2 (,) 4 y By 12 4yyt 12 4y y 设点，则，直线 PA 的方程为 2 (,) 4 m Pm 1 22 11 4 44 PA ym k yymm 2 1 4 () 4 m ymx ym B A C A1 B1 C1 D O x y z E 第 9 页（共 12 页） 第 10 页（共 12 页） 令 x1，得，所以点 （8 分） 2 1 11 44 (1) 4 mym ym ymym 1 1 4 ( 1,) my D ym 同理，点 （9 分） 2 2 4 ( 1,) my E ym 设以线段 DE 为直径的圆与 x 轴的交点为 N(a，0)，则 ， （10 分） 1 1 4 (1,) my DNa ym uuu r 2 2 4 (1,) my ENa ym uuu r 因为 DNEN，则，即，则0DN EN 212 12 44 (1)0 mymy a ymym ，得 a1 或3 22 2121212 22 121212 (4)(4)4 ()1641616 (1)4 ()()()44 mymym y ym yymmt a ym ymy ym yymmmt 故以线段 DE 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点(1，0)和(3，0) （12 分） 【命题意图命题意图】解析几何有两条主线，一是求曲线的方程，二是根据曲线方程分析有关性质 高考全国 I 卷解 析几何解答题基本以此设问，第一问都是求背景中的直线或圆锥曲线的方程，第二问近几年多是证明某性质 其中 2017 年和 2020 年都是证明直线过定点，2018 年证明两个角相等，试题整体难度有所降低 由于课标对 双曲线要求较低，所以高考解答题一般以直线与椭圆或直线与抛物线为背景 考虑到历年高考中以直线与椭 圆为背景的情形居多，考生易形成认知定式，所以本题以直线与抛物线为背景，第二问设计了一个以往没有考 过的问题，即证明动圆过两定点，这样既传承了全国 I 卷的命题特点，又能帮助考生打破思维习惯，适用命题 变化 21【考点范围】导数与函数的单调性，函数最值，函数极值，函数零点，函数图象 【思路点拨】（1）将 f(x)是减函数转化为恒成立，再分离参数求函数的最值( )0fx （2）在 0a1 的条件下分析函数 f(x)的单调性，结合 f(x)的极值和极限值，考察 f(x)的图象在各单调区间内 是否与 x 轴相交，由此确定其零点个数 【解析】（1）因为 f(x)在(0，)内是减函数，则当 x0 时，恒成立，即( )ln1fxxax ( )0fx ，即恒成立 （2 分）ln10 xax ln1x a x 设，则 （3 分） ln1 ( ) x g x x 22 1(ln1)ln ( ) xx g x xx 由，得 lnx0，即 0 x1，所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而( )0g x 因为 ag(x)恒成立，所以 a 的取值范围是1，) （5 分） max ( )(1)1g xg （2）由（1）知，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 又当时，g(x)0；当时， 1 0 x e 1 x e g(x)0，则函数 yg(x)的大致图象如图所示 （6 分） 因为 0a1，则直线 ya 与函数 yg(x)的图象有两个不同的交点， 从而有两个变号零点，所以 f(x)有两个不同的极值点 ( )fx 设 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2 则 （7 分） 12 1 1xx e 当或时，因为，则，所以 f(x)在(0，x1)， 1 0 xx 2 xx ln1 ( ) x ag x x ( )ln10fxxax (x2，)上单调递减；当时，因为，则，所以 f(x)在(x1，x2) 12 xxx ln1 ( ) x ag x x ( )ln10fxxax 上单调递增，从而 f(x)的极小值点为 x1，极大值点为 x2 （9 分） 因为 x11x2，则 f(x1)f(1)0，f(x2)f(1)0，所以 f(x)在(x1，x2)内有一个零点 （10 分） 因为，则当 x时，f(x)， ln lim0 x x x 2 ln ( )() 22 xaa f xx x 所以 f(x)在(x2，)内有一个零点 （11 分） 因为，则当 x0 时，所以 f(x)在内有一个零点综 00 1 ln ln lim( ln )limlim0 1 xxt t x xx t x ( )0 2 a f x 1 (0,)x 上分析，f(x)有 3 个零点 （12 分） 【命题意图命题意图】除 2019 年外，高考全国 I 卷解答题中最难的一个压轴题都是函数与导数的应用 其命题形式一 般是给出一个含参数的超越函数，第一问大都是讨论函数的单调性，强调导数的基本应用；第二问每年都有所 变化，注重导数的综合应用 其中 2015 年讨论函数的零点个数，2016 年证明有关函数零点的不等式，2017 年求函数有零点的条件，2018 年证明与函数极值点(导函数的零点)有关的不等式，2019 年证明函数零点的存 在性，2020 年求不等式恒成立的条件 不难看出，全国 I 卷特别青睐对函数单调性和函数零点的考查 基于 此，本题从这两方面立意，但设问方式与往年高考都有所不同，追求一点变化 判断带参函数的图象是否穿越 x 轴是一个难点，常用的方法是找特殊点，利用函数零点存在性定理说明 本 题第二问很难找点，需通过极限说明 考虑到“洛必达法则”不是考点，题设中就给出一个结论，要求考生 直接或变通运用该性质解决问题，尝试命题形式上的一点突破与创新 （二）选考题：（二）选考题： 22【考点范围】参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程 【思路点拨】（1）利用三角恒等变换消参，将参数方程化为普通方程；利用极坐标与直角坐标的互化公式， 将极坐标方程化直角坐标方程 （2）利用直线参数方程中参数的几何意义，将|PA|PB|转化为 A，B 两点对应的参数之积 【解析】（1）因为，xtan，则 yx1 2sin() sincos 4 tan1 coscos y 所以曲线 C1的普通方程是 yx1 （3 分） x y ya O11 e 第 11 页（共 12 页） 第 12 页（共 12 页） 由，得 将，代入得， 2 2 4 2cos 222 2cos4 222 xyr+=cosxrq= 22 24xy 所以曲线 C2的直角坐标方程是 （5 分） 22 1 42 xy （2）因为直线 C1过点 P(0，1)，倾斜角为 45，则直线 C1的参数方程为(t 为参数) 2 2 2 1 2 xt yt （8 分） 代入，得，即 22 24xy 2 2 2 2(1)4 22 t t 2 34 240tt 设方程的两根为 t1，t2，由参数 t 的几何意义知，|PA|PB|t1t2| （10 分） 4 3 23【考点范围】绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质 【思路点拨】（1）分区间讨论，去掉 f(x)解析式中的绝对值符号，再解不等式 （2）利用绝对值不等式的性质求 f(x)的最小值，再解不等式求 a 的取值范围 【解析】（1）当 a1 时， （1 分）( ) |1| 2|3|f xxx 当 x1 时，此时原不等式无解； （2 分）( )(1)2(3)358,)f xxxx 当3x1 时，此时原不等式恒成立； （3 分）( )(1)2(3)74,8)f xxxx 当 x3 时，由，得 （4 分）( )(1)2(3)35f xxxx 3 358 x x 13 3 3 x 综上分析，原不等式解集是 （5 分） 13 (,1) 3 （2）因为，( ) |3|3| |3| |()(3)| |3|f xxaxxxaxxaxa 当 x30 且，即 x3 时取等号，则 （7 分）()(3)0 xa x min ( )|3|f xa 因为对任意 xR，f(x)2a1 恒成立，则，即 （8 分） min ( )21f xa|3| 21aa 所以或，解得3a2 或 a3，即 a2 30 321 a aa 30 (3)21 a aa 所以 a 的取值范围是(，2 （10 分）线订装 班级： 姓名： 学校： 2020-2021 学年全国 I 卷区优生联赛试卷 理科数学答题卡理科数学答题卡 注注 意意 事事 项项 1、考生务必正确书写班级、姓名、学校，请请 填涂系统准考证号填涂系统准考证号。 2、考生务必用 2B 铅笔填涂。 3、考生务必在答题卡指定位置作答，并保持 卷面整洁。 4、如需要条形码，则考生务必要在指定位置 正确贴好条形码。 缺考标记缺考标记 考生禁止填涂缺 考标记！只能由 监考老师负责填 涂。 准考证号 00 00 00 00 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11 11 11 22 22 22 22 22 22 22 22 22 33 33 33 33 33 33 33 33 33 44 44 44 44 44 44 44 44 44 55 55 55 55 55 55 55 55 55 66 66 66 66 66 66 66 66 66 77 77 77 77 77 77 77 77 77 88 88 88 88 88 88 88 88 88 99 99 99 99 99 99 99 99 99 条形码 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1 ABCD 2 ABCD 3 ABCD 4 ABCD 第第 I II I 卷卷 非非选选择择题题 第第 I I 卷卷 选选择择题题 5 ABCD 6 ABCD 7 ABCD 8 ABCD 9 ABCD 10 ABCD 11 ABCD 12 ABCD 18.（12 分） 19.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13、_____________________ 14、_____________________ 15、_____________________ 16、_____________________ 17.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.（12 分） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分（10 分） 21.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 我所选的题号是 22 3 23第 1 页（共 6 页） 第 2 页（共 6 页） 绝绝密密启启用用前前 2020-2021 学年全国 I 卷区优生联赛试卷 理理 科科 数数 学学 注注意意事事项项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.已知实数满足( 为虚数单位)，设复数，则下列结论错误的是 （ ）a 3 2 1 ai i i i(1)(1)zaai A.为纯虚数 B. C.的虚部小于 0 D.z| 2z z0zz 2.设全集 UxN*|1x6，集合 A1，2，3，5，则满足1，2的集合 B 共有 （ ）() U AB I A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 CD 边上一动点(不包括端点)，将ADE 沿 AE 翻折成PAE，使得平面 PAE平面 ABCE. 给出下列两个结论： 在平面 ABCE 内过点 C 有且只有一条直线与平面 PAE 平行； 在 CD 边上存在点 E 使得 PEAB. 则下列判断正确的是（ ） A. 正确， 错误 B. 错误， 正确 C. ， 都正确 D. ， 都错误 4.宋代著名类书太平御览记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷， 坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情. 如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为 除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中 “ ”为阳爻，“ ”为阴爻. 现从八卦中任取两卦，已知取出的 两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A. B. C. D. 4 7 3 7 5 6 2 3 5.若椭圆上存在点 P，使得点 P 到椭圆的两个焦点的距离之比为 21，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭 圆中为“倍径椭圆”的是 （ ） A. B. C. D. 22 1 1615 xy 22 1 910 xy 22 1 2521 xy 22 1 3336 xy 6.函数的图象关于 （ ） 2 41 ( ) 2 x x f x A.点(2，0)对称 B.直线 x2 对称 C.点(2，0)对称 D.直线 x2 对称 7.在钝角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 abc，且 B60，则的取值范围是（ a c ） A.(，) B.(1，) C.(，) D.(2，) 1 2 3 2 8.设，若，则的值为 （ ） 64210 01210 (1) (1)xaxaa xa xa x 2 9a 12310 aaaaL A. 63 B. 64 C. 65 D.65 9.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在不等式组表示的平面区域内运动，则 的最大 10 30 1 xy xy y 2121 2()zxxyy 值为 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10.如图，函数(0，)在一个周期内的图象(不包括端点)与 x 轴，y 轴的交点分( )sin()f xx0 2 别为 A，B，与过点 A 的直线另相交于 C，D 两点，E 为图象的最高点，O 为坐标原点，则 ()BCBDOE （ ） A. B. 4 9 14 9 C. D. 2 9 4 9 11.已知点 P(2，2)，若圆 C：上存在两点 A，B，使得，则 r 的取值范围 222 (5)(6)(0)xyrr2PAAB 是（ ） A. (0，5) B. (0，) C. 1，5) D. 5 2 5 5, ) 2 12.已知互不相等的三个实数 a，b，c 都大于 1，且满足，则 a，b，c 的大小关系可能是lglglglg aa ac cb （ ） B A E D C O x y 1 3 11 6 D AB C P E 第 3 页（共 6 页） 第 4 页（共 6 页） A. cba B. bca C. cab D. bac 第第卷卷 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知|a|1，|b|2，且(a2b)a3，则向量 a 与 b 的夹角为 . 14.已知，则的值为 .sin()2 3sin() 2 tan() 3 15.设直线 ykx 与双曲线 C：相交于 A，B 两点，P 为 C 上不同于 A，B 的一点， 22 22 1(0,0) xy ab ab 直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，若 C 的离心率为 2，则 k1k2 . 16.如图，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，PAPC， ABC