1、章末整合 专题一 共点、共线、共面问题 例1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H 分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12,求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EG与HF的交点在直线AC上. 证明:(1)因为BGGC=DHHC, 所以GHBD. 又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD. 所以EFGH.所以E,F,G,H四点共面. (2)因为G,H不是BC,CD的中点, 所以EFGH,且EFGH. 所以EG与FH必相交,设交点为M. 而EG平面ABC,HF平面ACD, 所以点M平面ABC,且点M平面ACD. 因为平面ABC平面ACD=A
2、C, 所以点MAC,即EG与HF的交点在直线AC上. 专题二 空间中的平行关系 例2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB平面 ABCD,MAPB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面 AFC平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由. 解:当点F是PB的中点时,平面AFC平面PMD.证明如下:如图连接 BD和AC交于点O,连接FO,则PF= PB. 1 2 四边形ABCD是平行四边形, O是BD的中点. OFPD. 又OF平面PMD,PD平面PMD, OF平面PMD. 又 MA1 2PB,PFMA. 四边形AFPM是平行四边形. AFPM.又AF平面PMD,P
3、M平面PMD. AF平面PMD. 又AFOF=F,AF平面AFC,OF平面AFC. 平面AFC平面PMD. 专题三 空间中的垂直关系 例3如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,ACB=90, 点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1. (1)求证:平面ACC1A1平面B1C1CB; (2)求证:BC1AB1. 证明:(1)设BC的中点为M,连接B1M. 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M, B1M平面ABC. AC平面ABC,B1MAC. 又BCAC,B1MBC=M,AC平面B1C1CB. 又AC平面ACC1A1, 平面ACC1A1平面B1C1CB.
4、(2)连接B1C. AC平面B1C1CB, ACBC1. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1. 四边形B1C1CB是菱形,B1CBC1. 又B1CAC=C,BC1平面ACB1,BC1AB1. 专题四 空间角的计算 例4如图,在RtAOB中,OAB=30,斜边AB=4,RtAOC可以通过 RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动 点D在斜边AB上. (1)求证:平面COD平面AOB; (2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值; (3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值. (1)证明:由题意,COAO,BOAO, BOC是二面角B-
5、AO-C的平面角, 又二面角B-AO-C是直二面角.COBO. 又AOBO=O,CO平面AOB. 又CO平面COD,平面COD平面AOB. (2)解:作DEOB,垂足为点E,连接CE(如图),则DEAO. CDE是异面直线AO与CD所成的角. 在 RtOCB 中,CO=BO=2,OE=1 2BO=1, CE= 2+ 2= 5. 又 DE=1 2AO= 3, 在 RtCDE 中,tanCDE= = 5 3 = 15 3 . 即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是 15 3 . (3)解:由(1)知,CO平面AOB, CDO是CD与平面AOB所成的角, 且 tanCDO= = 2 . 当
6、OD 最小时,tanCDO 最大, 这时,ODAB,垂足为点 D, OD= = 3,tanCDO=2 3 3 , 即 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值是2 3 3 . 例5在九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直 的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑. 如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的 中点E,作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出 其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由. (2)若平面 DEF 与平面 ABCD 所
7、成二面角的大小为 3,求 的值. 解:(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,有 BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.而DE平面PCD,所以 BCDE. 又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC. 而PCBC=C,所以DE平面PBC. 而PB平面PBC,所以PBDE. 又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF. 又DE平面PBC,PB平面DEF, 可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB,DEF,EFB,DFB. (2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平
8、 面ABCD的交线. 由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG. 又因为PD底面ABCD,所以PDDG. 而PDPB=P,所以DG平面PBD. 故BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面 角的平面角,设 PD=DC=1,BC=,有 BD= 1 + 2, 在 RtPDB 中,由 DFPB, 得DPF=FDB= 3, 则 tan 3=tanDPF= = 1 + 2= 3, 解得 = 2.所以 = 1 = 2 2 . 故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 3时, = 2 2 . 专题五 逻辑推理的核心素养 例6如图所示,AB为O的直径,C为O上一点,AD平面 ABC,AEBD于点E
9、,AFCD于点F. 求证:BD平面AEF. 证明:AB为O直径,C为O上一点,BCAC, 平面 平面 = 平面 平面 = 平面 平面 = BD平面AEF. 专题六 函数与方程思想 例7如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平 面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若 CM=BN=a(0a ). (1)求MN的长; (2)求当a为何值时,MN的长度取最小值. 2 解:(1)如图所示,作MPAB交BC于点P, NQAB交BE于点Q,连接PQ, 依题意可得四边形MNQP是平行四边形, MN=PQ. CM=BN=a,CB=AB=BE=1,AC=BF= 2, 由 MPAB,NQEF 得, 1 = 2 , 1 = 2,即 CP=BQ= 2. MN=PQ= 2+ 2= (1-)2+ 2 = 1- 2 2 + 2 2 = - 2 2 2 + 1 2(0a 2). (2)由(1)得 MN= - 2 2 2 + 1 2, 又 0a 2,所以当 a= 2 2 时,MNmin= 2 2 . 故 M,N 分别移动到 AC,BF 的中点时,MN 的长度取最小值,为 2 2 .
