1、2021 年兰州市高三诊断考试数学（文科）参考答案及评分标准 1A 2B 3A 4C 5C 6D 7B 8C 9D 10D 11D 12B 12 【解析】反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则过(4, 5)P另一条椭圆的切线斜率不存在，则 4=a，所以离心率为 7 4 133 14 3 10 154 1623 16 【解析】如图所示虚线即为截面图形，根据边长可得周长为23 17 【解析】 （）等差数列 n a的前n项和 2 )( 1n n aan S + =，得9 3 2 12 2 63 11 32 211 631 21 63 = + + = a a aa aa S S ）（ ）（ 由题21
2、 11= a可得63 32 =a ，等差数列 n a的公差2=d,1 1= a, 所以通项公式12 = nan.6 分 （）由()可知 ()()()()12 1 12 1 ( 2 1 1212 1 + = + = nnnn bn的前n项和 ) 12 1 12 1 (.) 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 + += nn Tn， 则. 12 ) 12 1 1 ( 2 1 + = + = n n n Tn.12 分 18 【解析】 （） 由题可知A是CD的中点，ACAB =，BCD中ADACAB= 所以CBD为直角三角形，=90CBD即BDBC 由题可知36=PB，12=PC,6=BC,
3、 则有 222 BCPBPC+=,PBBC ,BBDPB= 则BC平面PBD.6 分 （）由（）可知BC平面PBD，设点D到平面PBC的距离为d ，由PBDCPBCD VV =可得 6 3 1 3 1 = PBDPBC SdS， 因为 PBD S为等边三角形，所以327= PBD S， PBC S为直角三角形，所以318= PBC S 代入上式可知9=d，因为A是CD的中点，所以点A到平面PBC的距离 2 9 .12 分 19【解析】 （）乙同学模型的相关指数 2 R更接近 1.4 分 （）根据（1）的结论，应选择zdxc做为回归方程，根据公式， 8 1 2 2 2 1 7578 26 3.3
4、 0.22 5722 8 26 ii i n i i x znxz d xnx ，3.3 0.22 262.42czdx 0.222.42zx，故y关于x的回归方程为 0.222.42x ye.8 分 （）当25x时， 3.084 yee，因此，近期当地不会发生虫害.12 分 20 【解析】 （）由已知得(1,0)F，所以圆F的方程为 22 (1)9xy 由 22 2 (1)9 4 xy yx 得 2 280 xx 解得：2x或4x，由于0 x，所以2x.5 分 （）设弦AB的中点为M， 2 1 1 (,) 4 y Ay， 2 2 2 (,) 4 y By， 00 (,)M xy 则 22 1
5、2 0 8 yy x， 22 0 2 yy y，设中垂线的方程为 00 (4)(0)yk xk， 则直线AB的斜率 12 22 12120 421 44 AB yy k yyyyyk 0 2yk 00 (4)(0)yk xk 0 2x 则直线AB的方程为 0 ()2k yyx 由 0 2 ()2 4 k yyx yx 得 2 0 2 4 y kyky，即 22 4880ykyk 222 16323216320kkk 2 02k 12 4yyk 2 12 88y yk 22 12 12 (1)(1) 44 yy FA FBy y 222 12 1212 1 ()() 1 44 y y yyy y
6、 2222 3 4(1)4(88) 1 2 kkk 4 47kFA FB的范围是( 7,9).12 分 21 【解析】 （）当1a时， 2 1 ( )2ln 2 f xxxx， 2 121 ( )2 xx fxx xx 3 (1),(1)0 2 ff 函数图象在点(1,(1)f处的切线方程为 3 2 y.5 分 （）可知0 x, 232 1 ( )(2)(2)fxxaaaa x 2232 (2)(2)xaaxaa x 2 ()(2)xaxa x 令( )0fx，得 2 xa或2xa ，由 22 (2)20aaaa得，2a或1a 因此当2a时， 2 20aa ，由于(0,2)xa和 2 (,)x
7、a时( )0fx， 2 (2,)xa a时 ( )0fx,因此，函数在(0,)内有两个极值点，不满足条件； 当2a时，( )0fx，函数为(0,)上的增函数，无极值，不满足条件； 当20a或01a时， 2 20aa ，可知函数在(0,)内有两个极值点，不满足条件； 当12a时， 2 20aa，可知函数在(0, )内有两个极值点，不满足条件； 当2a时， 2 02aa，可知函数在(0, )内有且只有一个极值 2 ()f a 242232222 11 ()(2)(2)ln22(2)ln 22 f aaaaaaaaaaaaa 2 2 1 2 2 () 2 aa g a a 2 124 22 aa a
8、 14 (22) 22 a a 14 2 (2)23 22 a a 当且仅当4a时“”成立因此， 0 0 0 () ()2ln (2) f x g xa ax 的最大值是3.12 分 22 【解析】 （）若3=r，曲线 2 C的直角坐标方程为：9)4( 22 =+yx，双曲线 1 C：4 22 = xy，一条渐近线方程 为:0= yx,圆心()04，到直线的距离22 2 04 = =d，189) 2 ( 2 = AB ，则2=AB.5 分 另解：可知双曲线 1 C：4 22 = xy，一条渐近线方程为:0= yx，其极坐标方程为() 4 R 由 2 8 cos70 4 得 2 4 270，故
9、12 4 2， 12 7 2 121212 | |()42AB （）若1=r ，曲线 2 C的直角坐标方程为：1)4( 22 =+yx，圆心()04，半径1=R， 设双曲线 1 C上任取点),( 00 yxP ，则 20824)4()4( 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 02 +=+=+=xxxxyxPC， 当2 0 =x时， 2min 2 3PC， 2 minmin 2 3 1PQPCR.10 分 23 【解析】 （）当 1a 时，函数的解析式可化为： + + = , 2, 32 , 2, 32 )( 2 2 xxx xxx xf故函数图象如图 .5 分 （）当0a时，( )23f xxx在0 x时显然成立； 当0a时，由于0 x，20ax，故 2 ( )23f xaxx 2 ( )30f xxaxx，此式显然在0 x时成立； 当0a时， 当 2 0 x a 时， 2 ( )23f xaxx，当 1 (0,)x a 时函数增，当 1 2 (,x a a 时函数减， 当 2 x a 时， 2 ( )23f xaxx，函数为增函数 因此，当0 x时， 2 ( )( )(0)3f xff a 令( )g xx，若要( )f xx恒成立，只需 22 ( )3g aa ，所以 2 3 a 综上可知，当0a或 2 3 a时，满足条件.10 分
