1、专题专题 27 排列与组合排列与组合 一、单选题一、单选题 1 （2020 山东省高二期中）若 33 2 10 nn AA，则n（ ） A6 B7 C8 D9 2 （2020 山东省高二期中）若 32 12 nn n AC ，则n（ ） A4 B6 C7 D8 3 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从 4名男士、2 名女生中选派 4人参加某次社区服务，如果要 求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A14 B24 C28 D48 4 （2020 山东省高二期中）从 6 男 2女共 8 名学生中选出队长 1人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4人 服务队，要求服务队中
2、至少有 1 名女生，共有不同的选法种数为（ ） A420 B660 C840 D880 5 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）用 0，1，2，3，4，5 这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的 个数是( ) A360 B300 C240 D180 6 （2020 北京大峪中学高二期中）5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数 为( ) A240 种 B120 种 C96 种 D480 种 7 （2020 福建省高三二模（理） ）在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前 5 名的决赛（获奖名次不重复） 甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者
3、说：“第一名和第五名恰好都在你 们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5 人的名次排列的所有可能情况有（ ） A18种 B24种 C36种 D48种 8 （2019 佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某 6 个班级从“照母山”等 6 个不同的景点中任意选取 一个进行郊游活动，其中 1 班、2 班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A 24 54 C A B 24 56 C C 24 54 A A D 24 56 A 二、多选二、多选题题 9 （2020 南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于!n的是（ ） A 1n n A B 1 n n A C 1 1
4、 n n nA D! m n m C 10 （2020 江苏省高二期中）下列等式中，正确的是（ ） A 1 1 mmm nnn AmAA B 1 1 rr nn rCnC C 111 111 mmmm nnnn CCCC D 1 1 mm nn m CC nm 11 （2020 山东省潍坊一中高二月考）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车 4辆工程车，将它们 全部派往 3 个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ） A18 B 1111 3213 C C C C C 122 342 C C A D 23 43 C A 12 （2020 临淄区英才中学
5、高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24 种 B最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42 种 C甲乙不相邻的排法种数为 72 种 D甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 20种 三、填空题三、填空题 13 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有_种（用数字作答） 14 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用 数字作答） 15 （2020 山东省高二期中）用 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成的没有重复数
6、字的四位数中，能被 5整除的 数的个数为_.（用数字作答） 16 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字, 可以组成_个无重复数字的 三位数, 也可以组成_个能被 5整除且无重复数字的五位数. 四、解答题四、解答题 17 （2020 江苏省扬州中学高二期中）有 5名男生，4名女生排成一排. （1）从中选出 3人排成一排，有多少种排法？ （2）若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 18 （2020 黑龙江省铁人中学高二期中（理） ）从6名运动员中选出4人参加4 100接力赛，分别求满足下 列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中
7、间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒. 19 （2020 江苏省泰州中学高二期中）从 5名男生和 4名女生中选出 4人参加辩论比赛 （1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种不同选法？ （2）如果 4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？ 20 （2019 佛山市顺德区容山中学高二开学考试）以下问题最终结果用数字表示 (1)由 0、1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由 1、2、3、4、5 组成多少个无重复数字且 2、3 不相邻的五位数？ (3)由 1、2、3、4、5 组成多少个无重复数字且数字 1,2,3 必须按由大到小顺序排列的五
8、位数？ 21 （2020 浙江省效实中学高二期中） （1）由 0，1，2，9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中， 十位数字与千位数字之差的绝对值等于 7 的四位数的个数共有几种？ （2）我校高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现在从中任选 3 人，要 求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 1人，求不同的选取法的种数. 22 （2020 北京大峪中学高二期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单 （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？ （3）第一个节目和最后一个节目都是
9、唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 专题专题 27 排列与组合排列与组合 一、单选题一、单选题 1 （2020 山东省高二期中）若 33 2 10 nn AA，则n（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】C 【解析】 因为 33 2 10 nn AA，所以 * 3,nnN， 所以有 221221012nnnnnn， 即2 2152nn，解得：8n . 故选：C. 2 （2020 山东省高二期中）若 32 12 nn n AC ，则n（ ） A4 B6 C7 D8 【答案】D 【解析】 322 1212 n
10、 nnn ACC ， 1 1212 2 n n n nn ，即26n， 8n ， 故选：D 3 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从 4名男士、2 名女生中选派 4人参加某次社区服务，如果要 求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A14 B24 C28 D48 【答案】A 【解析】 法一：4人中至少有 1名女生包括 1女 3 男及 2女 2男两种情况， 故不同的选派方案种数为故选 A. 法二：从 4 男 2女中选 4人共有种选法，4名都是男生的选法有种， 故至少有 1 名女生的选派方案种数为-=15-1=14故选 A 4 （2020 山东省高二期中）从 6 男 2女共
11、 8 名学生中选出队长 1人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有不同的选法种数为（ ） A420 B660 C840 D880 【答案】B 【解析】 从 6男 2 女共 8名学生中选出队长 1 人，副队长 1人，普通队员 2 人组成 4人服务队， 共有 22 86 840AC种选法， 其中不含女生的有 22 64 180A C 种选法， 所以服务队中至少有 1名女生的选法种数为840 180660. 故选：B 5 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）用 0，1，2，3，4，5 这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的 个数是( ) A360
12、 B300 C240 D180 【答案】B 【解析】 当四个数字中没有 0 时，没有重复数字的四位数有： 4 5 120A 种； 当四个数字中有 0 时，没有重复数字的四位数有： 13 35 180A A 种, 两类相加一共有 300 种，故选 B. 6 （2020 北京大峪中学高二期中）5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数 为( ) A240 种 B120 种 C96 种 D480 种 【答案】A 【解析】 由题先把 5 本书的两本捆起来看作一个元素共有 2 5 10C 种可能， 这一个元素和其他的三个元素在四个位置 全排列共有 4 4 24A 种可能，所以不
13、同的分法种数为10 24240种，故选 A. 7 （2020 福建省高三二模（理） ）在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前 5 名的决赛（获奖名次不重复） 甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你 们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5 人的名次排列的所有可能情况有（ ） A18种 B24种 C36种 D48种 【答案】A 【解析】 （1）当甲排第 1名时，则第 5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列， 3 13 212NA； （2）当甲排第 2，3，4 名时，则第 5 名必排丙，第 1 名排乙，其它三名任意排列， 3 23 6
14、NA； 12 6 18N ， 故选：A. 8 （2019 佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某 6 个班级从“照母山”等 6 个不同的景点中任意选取 一个进行郊游活动，其中 1 班、2 班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A 24 54 C A B 24 56 C C 24 54 A A D 24 56 A 【答案】D 【解析】 1 班、2 班的安排方式有 2 5 A种，剩余 4 个班的安排方式有 4 6种，所以共有 24 56 A各安排方式，故选 D 二、多选题二、多选题 9 （2020 南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于!n的是（ ） A 1n n A
15、 B 1 n n A C 1 1 n n nA D! m n m C 【答案】AC 【解析】 根据题意，依次分选项： 对于A， 1 (1)2! n n Annn ，故A正确； 对于B， 1 (1)(1)2(1)! n n Annnn ，故B错误； 对于C， 1 1 (1)1! n n nAnnn ，故C正确； 对于D，! ! m mm n nn A m CmA m ，故D错误； 故选：AC 10 （2020 江苏省高二期中）下列等式中，正确的是（ ） A 1 1 mmm nnn AmAA B 1 1 rr nn rCnC C 111 111 mmmm nnnn CCCC D 1 1 mm nn
16、 m CC nm 【答案】ABD 【解析】 选项 A， 左边= 1!1! !1 !1 !1 !1 ! nmnnnnnn mm nmnmnmnmnm 1 ! 1 ! n nm = 右边，正确； 选项 B，右边 1 ! 1 !11 !1 ! nrnn nr rnrrrnrrnr 左边，正确； 选项 C，右边 1 1 mmm nnn CCC 左边，错误； 选项 D，右边 1!1! 1 !1 !1!1 ! mnmnn nmmnmmmnmnmmnm 左边，正 确. 故选：ABD 11 （2020 山东省潍坊一中高二月考）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车 4辆工程车，将它们 全部派往 3 个工地
17、进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ） A18 B 1111 3213 C C C C C 122 342 C C A D 23 43 C A 【答案】CD 【解析】 根据捆绑法得到共有 23 43 36CA， 先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有 122 342 C C A36. 1111 3213 C C C C1836. 故选：CD. 12 （2020 临淄区英才中学高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24 种 B最左端只能排甲或乙，最右端不
18、能排甲，则不同的排法共有 42 种 C甲乙不相邻的排法种数为 72 种 D甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 20种 【答案】ACD 【解析】 A. 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有 4 4 24A 种，故A正确. B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 13113 33323 +=54A AA A A种，故B不正确. C.甲乙不相邻的排法种数为 32 34=72 A A种，故C正确. D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 5 5 3 3 =20 A A 种,故D正确. 故选：ACD. 点睛： 排列组合中的排序问题，常见类型有： （1）
19、相邻问题捆绑法； （2）不相邻问题插空排； （3）定序问题缩倍法(插空法)； （4）定位问题优先法. 三、填空题三、填空题 13 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有_种（用数字作答） 【答案】48 【解析】 因为甲、乙相邻，则利用捆绑法，看作一个人，则有 2 2 2A 种， 再与其余 3 人看作 4人全排列有 4 4 24A 种， 所以5人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有 24 24 48AA种， 故答案为：48 14 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用 数字作答） 【答案】72 【解析】 可分两个步
20、骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 3 3 A种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个 空隙中，有 2 4 A种，则甲、乙两不相邻的排法有 32 34 A A72种 15 （2020 山东省高二期中）用 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被 5整除的 数的个数为_.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 由题意知，能被 5 整除的四位数末位必为 5，只有 1 种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排 列有 3 4=4 3 2=24 A ， 故答案为：24 16 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数
21、字, 可以组成_个无重复数字的 三位数, 也可以组成_个能被 5整除且无重复数字的五位数. 【答案】100 216 【解析】 第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有 1 5 5C 种方法； 第二步，确定另外二个数位上的数，有 2 5 5 420A 种方法， 所以可以组成5 20100个无重复数字的三位数； 第二个空：被 5 整除且无重复数字的五位数的个数上的数有 2 种情况： 当个数上的数字是 0 时，其他数位上的数有 4 5 5 4 3 2120A 个； 当个数上的数字是 5 时，先确定最高数位上的数，有 1 4 C4种方法，而后确定其他三个数位上的数有 3 4 4 3 224A
22、 种方法，所以共有24 496 个数， 根据分类计算原理共有120 96216个数 四四、解答题、解答题 17 （2020 江苏省扬州中学高二期中）有 5名男生，4名女生排成一排. （1）从中选出 3人排成一排，有多少种排法？ （2）若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】 （1）504 （2）43200 【解析】 （1）由题意，有 5 名男生，4名女生排成一排，共 9人 从中选出 3 人排成一排，共有 3 9 504A 种排法； （2）可用插空法求解，先排 5名男生有 5 5 A种方法， 5 个男生可形成 6个空，将 4个女生插入空中，有 4 6 A种方法 故共有 54 56
23、43200A A 种方法 18 （2020 黑龙江省铁人中学高二期中（理） ）从6名运动员中选出4人参加4 100接力赛，分别求满足下 列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒. 【答案】 （1）144（2）336 【解析】 （1）先选跑中间的两人有 2 4 A种，再从余下的 4人中选跑1、4棒的有 2 4 A，则共有 22 44 144A A 种. （2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法 4 6 A，再去掉甲、乙跑中间的安排方法 22 24 A A种， 故满足条件的安排方法有 2 4 6 22 4 336A AA种. 19
24、（2020 江苏省泰州中学高二期中）从 5名男生和 4名女生中选出 4人参加辩论比赛 （1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种不同选法？ （2）如果 4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？ 【答案】 （1）91 种； （2）120种 【解析】 分析: （1）用间接法分析，先计算在 9 人中任选 4 人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得 答案； （2）用间接法分析，先计算在 9 人中任选 4 人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数， 即可得答案. 详解: （1）先在 9人中任选 4 人，有 4 9 126C 种选法, 其中
25、甲乙都没有入选，即从其他 7 人中任选 4 人的选法有 4 7 35C 种, 则甲与女姓中的乙至少要有 1 人在内的选法有126 3591种. （2） 先在 9人中任选 4 人， 有 4 9 126C 种选法， 其中只有男生的选法有 4 5 5C 种， 只有女生的选法有 4 4 1C 种，则 4人中必须既有男生又有女生的选法有126 5 1 120 种. 20 （2019 佛山市顺德区容山中学高二开学考试）以下问题最终结果用数字表示 (1)由 0、1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由 1、2、3、4、5 组成多少个无重复数字且 2、3 不相邻的五位数？ (3)由 1、
26、2、3、4、5 组成多少个无重复数字且数字 1,2,3 必须按由大到小顺序排列的五位数？ 【答案】 （1）60 （2）72 （3）20 【解析】 （1）偶数末位必须为 0，2，4 对此进行以下分类： 当末位是 0 时，剩下 1，2，3，4 进行全排列， 4 4 A=24 当末位是 2 时，注意 0 不能排在首位，首位从 1，3，4 选出有 1 3 A种方法排在首位，剩下的三个数可以进行 全排列有 3 3 A种排法，所以当末位数字是 2 时有 13 33 A A=18 个数 同理当末位数字是 4 时也有 18 个数， 所以由 0、1、2、3、4 可以组成无重复数字的五位偶数有 24+18+18=
27、60 个. （2）由 1、2、3、4、5 组成五位数一共有 5 5 5 4 3 2 1120A 个 第一步，把 2.3 捆定，有 1 2 2A 种排法； 第二步，捆定的 2，3 与 1，4，5 一起全排列，共有 4 4 4 3 2 124A 个数， 根据分步计数原理，2，3 相邻的五位数共有 1 2 A 4 4 A=48 个数， 因此由 1、2、3、4、5 组成无重复数字且 2、3 不相邻的五位数共有 120 4872个数 （3）把五位数每个数位看成五个空，数字 4，5 共有 2 5 5 420A 个， 然后把数字 1，2，3 按照 3，2，1 的顺序插入，只有一种方式， 根据分步计数原理，可
28、知 由 1、2、3、4、5 组成无重复数字且数字 1,2,3 必须按由大到小顺序排列的五位数 为 2 5 120A 个 21 （2020 浙江省效实中学高二期中） （1）由 0，1，2，9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中， 十位数字与千位数字之差的绝对值等于 7 的四位数的个数共有几种？ （2）我校高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现在从中任选 3 人，要 求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 1人，求不同的选取法的种数. 【答案】 （1）280种； （2）472 种. 【解析】 （1）十位数字与千位数字之差的绝对值等于 7， 可得千位数
29、字和十位数字的组合有(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)五种， 每种组合中百位和个位的数共有 2 8 56A 种组合，所以符合条件的四位数共有 2 8 5280A 种. （2）情形一：不选三班的同学，从 12个人中选出 3人，有 3 12 C种选取方法，其中来自同一个班级的情况有 3 4 3C种，则此时有 33 124 3220 12208CC种选取方法； 情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有 4种，剩下的两位同学从剩下的 12人中任选 2 人，有 2 12 C种选取方法，则此时有 2 12 4264C种选取方法. 根据分类计数原理，共有208 264472种选
30、取方法. 22 （2020 北京大峪中学高二期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单 （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？ （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 【答案】 （1）48； （2）72； （3）36； （4）108. 【解析】 （1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为 24 24 48A A 种； （2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为 32 34 72A A 种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为 23 33 36A A 种； （4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为 532 532 120 12108AA A.
