1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本（A 版） 第五章的 5.4.1 正弦函数、 余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、 指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数 y=sinx 的图象， 为今后正弦函数的性质、 余弦函数、 正切函数的图象与性质， 函数 y=Asin(x+) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学 生数学直观、数学抽象、逻辑
2、推理的核心素养。 课程目标 学科素养 1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余 弦函数的图象的方法。 2.利用单位圆中的三角函数线作出 y=sinx, x R 的图象，明确函数的图象；根据关系 cosx=sin(x+2)作出 y=cosx,xR 的图象。 渗透数形结合和化归的数学思想。 3.通过作正弦函数与余弦函数的图象， 培养认 真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索， 勤于思考的科学素养。 a.数学抽象：由五点作图法； b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像； c.数学运算：特殊三角函数的求解； d.直观想象：运用函数图像分析问题； e.数学建模：正弦函数图像及其变换； 教学重点：理
3、解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。 教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一）创设问题情境 下面先研究函数 ， R 的图象，从画函数 ， ，的图象开始在，上任取一个值 ，如何利用正 弦函数的定义，确定正弦函数值 并画出点 T（ ， ）？ （二）问题探究 如图 5.4.1，在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆，O 与 x 轴正半轴的交点为 A（，）在单位圆上，将点 A 绕着点 O 旋 转 弧度至点 B， 根据正弦函数的定义， 点 B 的纵坐标 由此， 以 为横坐标， 为纵坐标画点， 即得到函数图象上的点 T （ ， ）
4、. 若把 x 轴上从到 这一段分成等份，使 的值分别为 , , ,2，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分，再按上 述画点 T（ ， ）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数 图象上的点（图 5.4.2） 事实上，利用信息技术，可使 在区间0,2上取到足够多的值而 画出足够多的点 T（ ， ）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得 到比较精确的函数 ， 0,2的图象. 通过对三角函 数定义的回顾， 提出新的问题， 提出运用三角函 数定义做正弦函 数图像的方法， 培养和发展数学 抽象、直观想象 的核心素养。 通过对正弦 函 数 图 像 的 分 析，归纳总结五 点作图法，发展 学
5、生， 直观想象、 数学抽象、数学 运 算 等 核 心 素 养； ( )，( ， )，( ， )( ， )，（ ， ） 根据函数 ， 0,2的图象，你能想象函数 ， R 的图象吗？ 由诱导公式一可知，函数 ， k，（k） ， kZ 且 k的图象与 ， 0,2的图象形状完全一致因 此将函数 ， 0,2的图象不断向左、向右平移（每次移动 2个单位长度） ， 就可以得到正弦函数 ， R 的图象 （图 5.4.4） 正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光 滑曲线 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 观察图 5.4.3，在函数 ， 0,2的图象上，以
6、下五个点： 在确定图象形状时起关键作用 描出这五个点， 函数 ， 0,2 的图象形状就基本确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五 个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图这 种近似的“五点（画图）法”是非常实用的由三角函数的定义可知，正 弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数下面我们利用这种关系，借 助正弦函数的图象画出余弦函数的图象 思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图 形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 对于函数 ， 由诱导公式 ( ) 得， ( ) R 而函数 ( ) R 的图象可以通过正弦函数 ， R 的图象向左平移 个单
7、位长度而得到所以，将正弦函数的图象向左平移 通过对正弦 函数图像，推导 出余弦函数图像 的方法，发展学 生，逻辑推理、 直观想象、数学 抽象、数学运算 等核心素养； 通过对典型 问 题 的 分 析 解 决，发展学生数 学建模、逻辑推 理，直观想象、 数学抽象、数学 运 算 等 核 心 素 养； 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图 5.4.5 所示你能说明理由 吗？ 余弦函数 ， R 的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）它是 与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线 类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间， 上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表 5.4.1，
8、然后画出 ， ，的简图 （三）典例解析 例 1、用“五点法”作出下列函数的简图 (1)y1sin x，x0,2； (2)y-cos x，x0,2. 【精彩点拨】 在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可 在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到 y1 sin x，x0,2的图象 x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 2 1 0 1 【解析】 (1)列表： (2)列表： x 0 2 3 2 2 cos x 1 0 1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点连线，如图 你能利用函数 ysin x，x0,2的图象，通过图象变换得
9、到 y1 sin x，x0,2的图象吗？同样地，利用函数 ycosx，x0,2 图象， 通过怎样的图象变换就能得到函数 y-cosx，x0,2 的图象？ 方法与规律方法与规律 1“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、 最低点与 x 轴的交点 2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光 滑的曲线连接五个关键点 三、当堂达标 1以下对于正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( ) A在 x2k，2k2，kZ 上的图象形状相同，只是位置不同 B关于 x 轴对称 C介于直线 y1 和 y1 之间 D与 y 轴仅有一个交点 【解析】 观察 ysin
10、x 的图象可知 A，C，D 正确，且关于原点中心对 称，故选 B. 【答案】 B 2用“五点法”作函数 ycos 2x，xR 的图象时，首先应描出的五个点 的横坐标是( ) A0， 2， 3 2 ，2 B0， 4， 2， 3 4 ， C0，2，3，4 D0， 6， 3， 2， 2 3 【解析】 令 2x0， 2， 3 2 和 2，得 x0， 4， 2， 3 4 ，故选 B. 【答案】 B 3点 M 2，m 在函数 ysin x 的图象上，则 m 等于( ) A0 B1C1 D2 【解析】 由题意msin 2，m1，m1. 【答案】 C 4函数 ycos x 与函数 ycos x 的图象( )
11、A关于直线 x1 对称 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 【解析】 作出函数 ycos x 与函数 ycos x 的简图(略)，易知它们关 于 x 轴对称，故选 C. 【答案】 C 5方程 x2cos x0 的实数解的个数是_ 【解析】 作函数 ycos x 与 yx2的图象，如图所示， 通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对正余弦函图 像的理解，增强 学生的直观想 象、数学抽象、 数学运算、逻辑 推理的核心素 养。 由图象，可知原方程有两个实数解 【答案】 2 6用“五点法”画出 ycos 7 2 x ，x0,2的简图 【解】 由诱导公式得 ycos 7 2 x sin x， (1)列表： x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 1 0 (2)描点：在坐标系内描出点(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来 四、小结 1.正、余弦函数的图象每相隔 2个单位重复出现，因此，只要记住它们 在0，2内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法” 作图是常用的方法. 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点；
