1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本 （A 版） 第五章的5.5.1 两 角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱 导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数 形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心 素养。 课程目标 学科素养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程 2 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 3 熟悉两角和与
2、差的正弦、余弦、正切公 式 的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角 的 变换的常用方法 4.通过正切函数图像与性质的探究， 培养学生 数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：公式的推导； b.逻辑推理：公式之间的联系； c.数学运算：运用和差角角公式求值； d.直观想象：两角差的余弦公式的推导； e.数学建模：公式的灵活运用； 教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一）创设问题情境 提出问题提出问题 .两角差的余弦公式两角差的余弦公式 如果已
3、知任意角，的正弦、余弦，能由此推出， 的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究 cos()与角，的正弦、 余弦之间的关系 不妨令 k，kZ 如图 5.5.1，设单位圆与 轴的正半轴 相交于点 A（，），以 轴非负半轴 为始边作角， 它们的终 边分别与单位圆相交于点 （cos， sin）， （cos，sin），P(cos()， sin()任意一个圆绕着其圆心旋转 任意角后都与原来的圆重合，这一性质 叫做圆的旋转对称性 连接 ， AP 若 把扇形 OAP,绕着点 O 旋转角，则点 A，P 分别与点 重合根据 圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而， 所以 AP 根据两点间的距离公式，得 ( ) + ( )
4、 =( ) +( ) ， 化简得: ( )= + 当 k （kZ）时，容易证明上式仍然成立 所以，对于任意角 ， 有 ( )= + （） 此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦与其差角 的余弦之间的关 系， 称为差角的余弦公式，简记作(). 典例解析典例解析 例 利用公式 ( )证明： 通 过 开 门 见 山，提出问题， 利用坐标法，推 导两角差的余弦 公式，培养和发 展数学抽象、直 观想象的核心素 养。 （） ( - )= ; （） ( - )= 证明: (1) ( - )= + =01 = (2) ( - )= + =(-1) 例例 已知 ， ( , ), ， 是第三象限角，求 ( )的值
5、解：由 ， ( , ),得 ( ) 又由 ， 是第三象限角，得 ( ) 所以 ( )= + =( ) ( )+( ) ( )= 由公式 ( )出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公 式吗？ 下面以公式 ( )为基础来推导其他公式 例如 ， 比较 ( ) 与 ( ) ，并注意到 与 之间的联系 ： （ ）则由公式 ( ) ， 有 ( )= ( ) ( )+ ( )= 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（ ） ( )= 问题探究问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 你能根据 （ ） ， （ ） 及诱导公式
6、五 （ 或六 ） ， 推导出用任意角 ， 的 正弦 、 余弦表示 sin （ ）， sin（ ） 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： ( ) ，（ S（ ） ） ( ) ; （ S（ ） ） 通过对两角 差的余弦公式的 运用， 发展学生， 直观想象、数学 抽象、数学运算 等核心素养； 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 ( ) ， ( ) 出发 ， 推导出用任意角 ， 的正切表示 ( ) ， ( ) 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： ( ) T( + ) ( ) T( ) 和 （ 差 ） 角公式中 ， ， 都是任意角 如果令 为某些特 殊角 ， 就能得到许多有
7、用的公式 你能从和 （ 差 ） 角公式出发 推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 公式 ( ) ， ( ) ， ( ) 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为 方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 类似地 ， ( ) ， ( ) ， ( )都叫做 差角公 式 典例解析典例解析 例 3. 已知 ， 是第四象限角，求 ( ) ( ) ( )的值 解 ： 由 ， 是第四象限角， 得 ( ) 所以 = = - 于是有 ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( ) 7 由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有 ( ) ( ) 那么对于任意角 ， 此等式成立吗
8、 ？ 若成立 ， 你会用几种方 法予以证明? 通过其它和 差角公式的推导 和应用，发展学 生，直观想象、 数学抽象、数学 运 算 等 核 心 素 养； 通过对典型 问 题 的 分 析 解 决，发展学生数 学建模、逻辑推 理，直观想象、 数学抽象、数学 运 算 等 核 心 素 养； 例 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ： （ ）sin72 cos42 cos72 sin42 ; （ ） cos20 cos70 sin20 sin70 ; （ 3 ） ; 分析 ： 和 、 差角公式把 的三角函数式转化成了 ， 的三 角函数式 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角 函数
9、式化简 解 ：（ ） 由公式 S（ ） ， 得 sin72 cos42 cos72 sin42 =Sin(72 42 )=sin30 = （2） 由公式 C（ + ） ， 得 cos20 cos70 sin20 sin70 = cos(20 +70 )=cos90 =0 （3） 由公式 T（ + ）及 ， 得 = = ( )= = 三、当堂达标 1 cos 65 cos 35 sin 65 sin 35 等于( ) Acos 100 Bsin 100 C 3 2 D1 2 【解析】 原式cos(65 35 )cos 30 3 2 . 【答案】 C 2.已知 是锐角，sin 3 5，则 cos
10、4 等于( ) A 2 10 B 2 10 C 2 5 D 2 5 【解析】 因为 是锐角，sin 3 5， 所以 cos 4 5，所以 cos 4 2 2 4 5 2 2 3 5 2 10.故选 B 【答案】 B 3已知锐角 ， 满足 cos 3 5，cos() 5 13，则 cos 等于( ) A33 65 B 33 65 C 54 75 D 54 75 通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对和差和差距 角公式的运用， 增强学生的直观 想象、 数学抽象、 数学运算、逻辑 推理的核心素 养。 【解析】 因为 ， 为锐角，cos 3 5，cos() 5 13， 所以 sin 4 5，sin()
11、12 13. 所以 cos cos()cos() cos sin() sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65.故选 A 【答案】 A 4计算 3tan 15 1 3tan 15 _. 【解析】 3tan 15 1 3tan 15 tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan 45 1. 【答案】 1 5已知 ， 均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ，求 . 【解】 ， 均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ， sin 3 10 10 ，cos 2 5 5 . sin sin ， 20， sin()sin cos cos sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 ， 4. 四、小结 让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：两角和差的公式 思想方法上：整体代换思想，转化思想。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点；
