1、题型二题型二、 圆与椭圆圆与椭圆参数方程参数方程 1 圆: 以 O(a，b)为圆心，r 为半径的 圆的参数方程： 0 0 cos sin xxr yyr （ 是参数） 2 椭圆: x2 a2 y2 b21(ab0)的参数方程： cos sin xa yb （ 是参数） 距离的最值：距离的最值： -用“参数法”用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 例题分析例题分析、 在平面直角坐标系xOy中， 点()P xy，是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一个动点， （1）求Sxy的最大值 （2）求点 P 到直线03 yx 的距离的最小值 P 题型二题型二、 圆与椭圆圆与
2、椭圆参数方程参数方程的的运用：运用： 处理关于圆或者椭圆上动点的最值问题，可以利用处理关于圆或者椭圆上动点的最值问题，可以利用 圆与椭圆的参数圆与椭圆的参数 设点的坐标，从而把最值问题转化为三角函数的最值问题。设点的坐标，从而把最值问题转化为三角函数的最值问题。 3cossinxy， 3cossin2sin() 3 xy 3cossin3 2 d 2sin()3 3 2 1 1、 （2016 全国新课标卷文理） 直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 sin cos3 y x （ 为参数） ， 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为22)
3、4 sin( （I）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （II）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求PQ的最小值 及此时 P 的直角坐标 C1的普通方程为的普通方程为1y 3 x 2 2 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为04-yx P （2） （参数方程法）设椭圆 C1上一点 P sincos3，到 直线 C2：04-yx的距离为 d，则 d 就是点P在C1上， 点 Q 在 C2上，PQ的最小值.由点到直线的距离公式得 6 -cos2-4 2 1 4- 6 -cos2 2 1 4-sincos3 2 1 d 当zk 6 k2， 时2dPQ min min 此时 P 的直角
4、坐标是 2 1 2 3 ，。 练习 2、 （2016 深圳二模）在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程 为 2cos ( 3sin x y 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线l过极坐标系内的两点(2 2,) 4 A 和(3,) 2 B . （1）写出曲线C和直线l的直角坐标系中的普通方程； （2）若P是曲线C上任意一点，求ABP面积的最小值. （1） 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy ， (2,2)A，(0,3)B，直线的方程为260 xy B A P （2）由题意可设(2cos , 3sin )P，则点P到直线AB的距离 2cos2 3sin6 5
5、 d 4sin()6 26 55 ， 当sin()1 6 时取得最小值， 5AB ， ABP面积的最小值为 12 51 25 3. 已知曲线已知曲线 （ 为参数） ，为参数） ， （ 为参数）为参数） （）将）将的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （）若）若上的点上的点 P P 对应的参数为对应的参数为， 为为上的动点，求上的动点，求中点中点到直线到直线 （ 为参数）为参数）距离的最小值距离的最小值. . （）当时， 到的距离， 从而当时， 取得最小值. 故, 为直线， （2017 全国新课标文、理）全国新课标文、理）在直角坐标系
6、xOy 中，曲线 C 的参数方程 为 3cos , sin , x y （ 为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数） （1）若1a，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为17，求a 【解析】 （1）曲线C普通方程为 2 2 1 9 x y 当1a时，直线l普通方程为430 xy 由 2 2 430, 1 9 xy x y 解得 3, 0 x y 或 21 , 25 24 . 25 x y 从而C与l的交点坐标为(3,0)， 21 24 (,) 25 25 （2）直线l的普通方程为440 xya ，故C上的点(3cos ,s
7、in )到l的 距离为 |3cos4sin4|5sin()+4 | 1717 aa d （） （2017 全国新课标文、理）全国新课标文、理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 为 3cos , sin , x y （ 为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数） （1）若1a，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为17，求a 当4a时，d的最大值为 9 17 a 由题设得 9 17 17 a ，所以8a ； 当4a时，d的最大值为 1 17 a 由题设得 1 17 17 a ，所以16a 综上，8a 或16a 2
8、020 江门调研： 15已知实数 、 满足 ( 1)2+ 2 1，则 z = 3 4 + 2 的最大值为 【解析】：设1cosxr ，sinyr，(0,2 ),01)r 342zxy 3 cos34 sin2rr 5 sin()55sin()510r 其中 3 sin 5 ， 4 cos 5 ； 当1r ，且 2 时，z取最大值 （2019 全国 1 理 6）设cba,是单位向量，且ba ， 则)()(cbca的最小值为（ ） （A）2 （B）22 （C）1 (D)12 【思路与解析思路与解析】由于由于ba ，可先固定可先固定, a b，以以a为为 x 轴的正半轴，轴的正半轴， b为为 y 轴
9、的正半轴，轴的正半轴，建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系。 由于cba,是单位单位向量，则(1,0),(0,1)ab，设(cos ,sin)c 则(1 cos ,sin)ac ，( cos ,1 sin)bc 所以() ()(1 cos )( cos )sin(1 sin)acbc 1 (sincos)12sin() 4 则)()(cbca的最小值为12 点与点的最值问题 例: 平面直角坐标系xOy中，点()P xy，是椭圆1 3 2 2 y x 上的一个动点， （1）求Sxy的最大值 （2）求点P到直线03 yx的距离d的最小值 (3)已知点)01(Q，求则QP,两点距离的最大值 （3）
10、 22 3cos(sin1)PQ 222 19 33sinsin2sin12(sin) 22 当 2 1 sin时，PQ取最大值 2 23 2017 届广州调研 15 题： （15）设,P Q分别是圆 2 2 13xy和椭圆 2 2 1 4 x y上的点， 则,P Q两点间的最大距离是 . 【解答】【解答】如图，圆的圆心为如图，圆的圆心为) 1 , 0(C QPCQPCPQ 当,P Q经过圆心 C 时，PQ取最大。由于3PC 是定值，故只需求CQ的最大值。 由由上上题，题，可求得可求得 3 34 CQ，故故 3 37 3 3 34 PQ 3（全国大纲） 、已知曲线 1 C的参数方程是 x2co
11、s , y3sin ()为参数，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 2 C的坐标系方程是2， 正方形ABCD的顶点都在 2 C上，且, ,A B C D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,) 3 ； （）求点, ,A B C D的直角坐标； （）设P为 1 C上任意一点，求 2222 PAPBPCPD的取值范围。 2 22 =2cos1) +(3sin3)PA（ 1 ( 1 xt t t yt t 为参数）化为普通方程为_ 2019 全国 1 文理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数），
12、 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 22解： （1）因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ， 所以C的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx .l的直角坐标方程为23110 xy. （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ）. C上的点到l的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 . 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
