1、必备知识 整合 关键能力 突破 第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数 必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求: 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特 殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.指数幂的概念指数幂的概念 (1)根式的概念: 必备知识 整合 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn=a(aR,n1,nN*) ,那么x叫做a的n 次方根 n1且nN* 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 , 负
2、数的n次方根是一个 负数 0的n次方根是0 当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 ,它们 互为 相反数 负数没有偶次方根 n a n a 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)两个重要公式: = ()n= a (注意:a必须使有意义). nn a n a n a 2.有理数指数幂有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示: (i)正数的正分数指数幂: = (a0,m,nN*,n1); m n a mn a 必备知识 整合 关键能力 突破 (ii)正数的负分数指数幂: = =(a0,m,nN*,n1); (iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. m n a 1 m n a 1 mn
3、 a (2)有理数指数幂的运算性质: (i)aras= ar+s (a0,r,sQ); (ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ); (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ). 必备知识 整合 关键能力 突破 3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 a1 0a0时, y1 ; 当x0时, 0y0时, 0y1 ; 当x1 在(-,+)上是 单调增函数 在(-,+)上是 单调减函数 必备知识 整合 关键能力 突破 知识拓展知识拓展 指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之
4、间的大小关系为cd1ab0.由此我们可 以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底 数越大. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)与()n都等于a(nN*).( ) (2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数.( ) (3)若am0,且a1),则mn.( ) (4)当a0,且a1)的图象必经过点( ) A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2) D 解析解析 令x-2=0得x=2,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2). 必备知识 整合 关键能力 突破 3.某种产品
5、的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增 加p%,则该产品的年产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A.y=a(1+p%)x(0 xm,xN) B.y=a(1+p%)x(0 xm,xN) C.y=a(1+xp%)(0 xm,xN) D.y=a(1+xp%)(0 xm,xN) B 解析解析 设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a (1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3, 则y=a(1+p%)x(0 xm且xN). 必备知识 整合 关键能力 突破 4.,三个数从小到大的
6、排列顺序是 . 3 2 5 4 8 8 3 2 8 8 5 4 解析解析 =,=,=,所以0时, f(x)0时,(a-1)x1恒成立,所以0a-11,所以1a0)的值是( ) A.1 B.a C. D. (2)+= . 3 45 a aa 1 5 a 17 10 a 32 2 3 3 (12) 4 4 (12)52 6 考点一考点一 指数幂的运算指数幂的运算 关键能力 突破 D -1 3 必备知识 整合 关键能力 突破 角度二角度二 化简求值化简求值 典例典例2 化简下列各式: (1)+2-2-(0.01)0.5; (2)b-2 (-3b-1)(4b-3. 0 3 2 5 1 2 1 2 4
7、5 6 1 3 a 1 2 a 2 3 a 1 2 ) 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)原式=1+-=1+-=1+-=. (2)原式=-b-3(4 b-3 =-b-3() =- =-=-. 1 4 1 2 4 9 1 2 1 100 1 4 2 3 1 10 1 6 1 10 16 15 5 2 1 6 a 2 3 a 1 2 ) 5 4 1 6 a 1 3 a 3 2 b 5 4 1 2 a 3 2 b 5 4 3 1 ab 2 5 4 ab ab 必备知识 整合 关键能力 突破 规律总结规律总结 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (
8、2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先 化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算 性质来解答. 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负 指数,形式力求统一. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.= . 2111 1 3322 56 ()a ba b ab 1 a 解析解析 原式=. 1111 3322 15 66 a b a b a b 1 1 1 3 2 6 a 1 1 5 2 3 6 b 1 a 必备知识 整合 关键能力 突破 2.+
9、-= . 1 3 3 2 0 7 6 1 4 8 4 2 2 3 2 3 2 解析解析 原式=1+-=2. 1 3 2 3 3 4 2 1 4 2 1 3 2 3 必备知识 整合 关键能力 突破 典例典例3 (1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是( ) (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 . 考点二考点二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用 A -1,1 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)因为函数f(x)=-3|x|+1, 所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x), 即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排
10、除B,D. 当x=0时, f(0)=-30+1=0,即函数f(x)的图象过原点,故排除C.故选A. (2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1. 必备知识 整合 关键能力 突破 变式探究 本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值 范围. 解析解析 作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1). 必备知识 整合 关键能力 突破 方法技巧方法技巧 应用指数函数图象的4个技巧 (1)画指数函数y=ax(a0,a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. (2)已知函数解析式判断
11、其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些 点,若不满足,则排除. (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定 时,应注意分类讨论. (4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 1 1, a 必备知识 整合 关键能力 突破 1.函数y=ax-(a0,且a1)的图象可能是( ) 1 a D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 a0,0,函数y=ax需向下平移个单位长度,不过(0,1)点,所 以排除A, 当a1时,01,所以排除B, 当0a1,所以排除C,故选
12、D. 1 a 1 a 1 a 1 a 必备知识 整合 关键能力 突破 2.已知函数f(x)=ax-2+7(a0,且a1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的 图象上,则幂函数g(x)的图象是( ) D 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=x, 将P(2,8)代入得2=8,故=3,即g(x)=x3,故选D. 必备知识 整合 关键能力 突破 3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不相等的实数根,则a的取值范 围是 . 1 0, 2 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 方程|a
13、x-1|=2a(a0,a1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-1|的 图象与y=2a的图象有两个交点. 当0a1时,如图,所以02a1,即0a1时,如图,而y=2a1,不符合题意. 所以0a. 1 2 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 角度一角度一 比较指数幂的大小比较指数幂的大小 典例典例4 (1)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( ) A.cab B.bac C.acb D.abc (2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c的大小关系为 . 2 3 1 2 4 3 2 1 2 1 2 考点三考点三 指数函数的性质及应用指数函数
14、的性质及应用 B ac,所以 ,即bac. (2)0.230.320.230.230.320.23120.01,所以acf(3a)的解集为( ) A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4) 1 2 x (2)已知91-x,则x的取值范围是 . (3)已知4x-2x+1-80,所以ex+11,所以-20,所以-11+ m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围. 2 e1 x 典例典例7 (1)函数f(x)=的单调减区间为 . 2 21 1 2 xx (-,1 必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 (1)令u=-x2+2x+1, y=为减函数,函数y=的单调减区间即函数
15、u=-x2+2x+1的单 调增区间. 又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-,1, 函数f(x)的单调减区间为(-,1. (2)f(x)是R上的单调递增函数. f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), a-=-a+,2a=2,a=1, 1 2 u 2 21 1 2 xx 2 e1 x 2 e1 x 必备知识 整合 关键能力 突破 f(x)=1-,令t=ex+1,ex0, t1,又g(t)=1-在(1,+)上为增函数, -1g(t)1,即-1f(x)m2-4m+2对任意的实数x恒成立,m2-4m+2 -1,即m2-4m+30,1m3,故实数m的取值范围是1,3. 2 e1 x 2 t 必备知
16、识 整合 关键能力 突破 规律总结规律总结 1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则. 2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、 单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 必备知识 整合 关键能力 突破 1.不等式0,a1,x0)的图象经 过点(3,0.5). (1)求a的值; (2)求函数f(x)=ax-2(x0)的值域. 解析解析 (1)函数f(x)=ax-2的图象经过点(3,0.5),a3-2=0.5,a=. (2)由(1)可知f(x)=(x0),00,函数f(x)的值域为(0,4. 1 2 2 1 2 x 1 2 2 1 2
