1、4 3 CB A 课题名称：课题名称：17.117.1 勾股定理的证明勾股定理的证明 创新整合点创新整合点 本节课采用探究发现式教学，借助几何画板及多媒体动态教学，由浅入深， 由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习 方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程. 教材分析教材分析 这节课是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级（下）教材勾股 定理第一节的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用 体现在以下三个方面： 1.勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础， 学生只有正确掌握 了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题. 2.
2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三 角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生 学习奠定良好的基础. 3.解直角三角形内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各 个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关. 学情分析学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思 维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决 问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们 进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会； 更希望教师满足他们的创造
3、愿望. 教学目标：教学目标： 知识与技能：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用. 过程与方法： 经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合 和由特殊到一般的数学思想. 情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理 的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心. 教学重点：教学重点：勾股定理的内容及证明 教学难点：教学难点：勾股定理的探究与证明 教学方法：教学方法：创设情景-观察思考-分析讨论-归纳总结-得出结论 课时安排：课时安排：一课时 教学过程：教学过程： 一导入新课一导入新课 这节课，我将与你们一起探究人教版八年级下
4、册第十七章第 一节勾股定理的相关知识。 问题 1：如图，校园里有一块长方形草坪（尺寸如图所示） ， 大部分学生为了避开草坪，均沿 A 到 C 再到 B 的路线行走，而也 有小部分同学为了走捷径，直接从 A 穿过草坪到，请问，这小 部分同学少走了多长的路呢？ 数学教育家波利亚说过：如果我们不能解决像问题这样的 a ac C B A 一般问题，能不能先解决一个特殊问题呢？ 二合作二合作探究探究 探究一：探究一： 问题：已知ABC为等腰直角三角形， 0 90C=，两条直角边长为a，求 其斜边c的长. 我们可以利用等面积法，过点 C 作斜边 AB 的高，因为ABC 是等腰直角三角形，所以高为斜边 AB
5、 的一半，那么ABC的面积 可以表示为ACBC 2 1 ，也可以表示为 2 AB AB 2 1 ，代值，求出 ac2=. 请大家观察 22 2ca =，可以变形为 222 caa=+.对这个等式，大家能够联想到 什么呢？ 2 a可以理解为边长为a的正方形的面积， 2 c可以理解为边长为c的正方 形的面积.如图所示，则 222 caa=+可以理解为以等腰直角三角形的两条直角边 a为边长的两个正方形面积之和等于以其斜边c为边长的正方形面积.记作 CBASSS=+.等腰三角形有这样的一种关系，一般地直角三角形有这样的关系 吗？ 设计意图：让学生直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平设计意图
6、：让学生直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平 方，有一定的难度方，有一定的难度. .从特殊到一般也是初中数学很重要的一个思想，探究一的设从特殊到一般也是初中数学很重要的一个思想，探究一的设 计让学生在特殊的情况下通过等面积法而得到以等腰直角三角形三边为边长的计让学生在特殊的情况下通过等面积法而得到以等腰直角三角形三边为边长的 正方形面积之间的关系，由此很自然猜想以一般直角三角形三边为边长的正方正方形面积之间的关系，由此很自然猜想以一般直角三角形三边为边长的正方 形面积之间的关系形面积之间的关系. . 探究二：探究二： 问题 3：这是一个由边长为 1 的小正方形组成的网格图， 在网格
7、图上画一个顶点都在格点上的直角三角形，现在分别以 直角三角形的三边为边长向外做三个正方形，正方形 A，B，C 的面积各是多少呢？ 正方形 A 中有 9 个小方格，即 A 的面积是 9，而 B 的面积 是 16，正方形 C 中含有多少个小方格呢？能不能马上数出来呢？不能.那你有什 么办法计算正方形 C 的面积呢？ 第一种 补全法 在 C 的周围补上四个全等的直角三角形，形成边长为 7 的大正方形.正方形 C 的面积可以看成大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，等于 25. 第二种 切割法 把正方形 C 分割成一个小正方形和四个全等的直角三角形， 正方形 C 的面积 就等于它们的和，等于 25.
8、 通过补全法和切割法， 我们都可以得到正方形 C 的面积为 25， 那么正方形 A， B，C 的面积之间有什么关系呢？ 发现25169=+，所以 A,B 的面积之和等于 C 的面积. 至此，我们在网格中验证了在直角三角形中，两条直角边上的正方形面积之 C A B b a c 和等于斜边上的正方形面积，即CBASSS=+这个结论仍然成立. 设计意图：计算正方形设计意图：计算正方形 C C 的面积是一个难点，因此鼓励学生尝试从不同角的面积是一个难点，因此鼓励学生尝试从不同角 度去解决问题，通过探索，使教学从封闭走向开放，给学生以主动思考的空间，度去解决问题，通过探索，使教学从封闭走向开放，给学生以
9、主动思考的空间， 使学生使学生享受主动探索的乐趣享受主动探索的乐趣. . 问题 4：去掉网格结论会改变吗？我们可以借助几何画板来动态演示. 我们发现，当直角三角形两条直角边的长度发生变化时，正方形 A 与正方 形 B 的面积之和始终等于正方形 C. 的面积. 问题 5：请继续观察，如果我们把直角三角形的两条直角边设为a，b，斜 边设为c，式子CBASSS=+能用直角三角形的三边a，b，c来表示吗？ 会发现，正方形 A 的面积等于边a的平方，同样,S 22 BcSbC=所以 222 cba=+. 问题 6：去掉正方形结论会改变吗？ 通过多媒体动态演示，发现去掉正方形结论不会改变. 由以上探究可以
10、发现，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a，b，斜边为c，那么一定有 222 cba=+. 有位同学为了此项研究，还发明了一个小工具呢，我们一起去看看吧. 我们通过实验猜想得到了命题 1：如果直角三角形的两条 直角边分别为a，b，斜边为c，那么 222 cba=+.是否具有普 遍的意义，还需要加以论证. 设计意图：通过学生间的画图、计算、讨论，调动学生的设计意图：通过学生间的画图、计算、讨论，调动学生的 积极性，给学生充分的时间交流，培养学生的探索习惯，同时增强学生的合作积极性，给学生充分的时间交流，培养学生的探索习惯，同时增强学生的合作 意识。同时，几何画板中对三边关系的测量和
11、计算的展示也很好地揭示直角三意识。同时，几何画板中对三边关系的测量和计算的展示也很好地揭示直角三 角形的三边关系。角形的三边关系。 探究三：探究三： 问题 7：请写出命题 1 的已知，求证，画出图形. 已知：在 RtABC 中，C=90，a、b、c分别为A、B、C 的对边. 求证： 222 cba=+ 好，现在我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命 题的.赵爽准备了边长分别为a，b的两个正方形，把这两个正方形如图 1 连在 一起，通过剪拼把它拼成图 2 的样子，你能做到吗？试试看.让我们通过动画展 示了解一下赵爽拼图的过程吧.把边长为a，b的两个正方形连在一起，令以a， b
12、为直角边的直角三角形的斜边长为c.接下来， 我们可以观察到， 这个连体正方 形底边长为ba+，在底边 MN 上截取 MP=a，则 PN=b，此时，连体正方形可以被 分成四个全等的直角三角形和和一个黄色的正方形，而黄色正方形的边长为 图图 ab 黄黄 朱朱 朱朱 朱朱 朱朱 图图 2 2 c c C A B b a c （b-a） ， 用剪刀沿黑色粗线剪两刀， 将左右的两个三角形移到图中所示的位置， 就拼成了图 2 的样子. 问题 8:拼接后的图形是否是由原先的连体正方形没有重叠、没有空隙地拼 成的？ 是的. 问题 9:拼接后的图形是什么图形？面积是多少？ 拼接后的图形是正方形，面积是 2 c.
13、 问题 10:拼接前的连体正方形面积是多少？ 拼接前的连体正方形面积是 22 ba +. 问题 11:图形剪拼后没有重叠、没有空隙，面积不会改变，可以得到什么？ 222 cba=+ “赵爽弦图”通过对图形的切割，拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定 理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。 因此，当 2002 年第 24 届国际数学家大会在北京召开时， “赵爽弦图”被选作 大会会徽. 现在，我们已经证明了命题 1 的正确性，如果直角三角形的两条直角边分别 为a，b，斜边为c，那么 222 cba=+；用文字表述就是直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方，称之为
14、勾股定理。 在中国古代， 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾， 下半部分称为股。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” ，较长的直角边称为“股” ， 斜边称为“弦”. 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出， 将一根直尺折成一个直角， 如果勾等于三， 股等于四， 那么弦就等于五， 即“勾三、股四、弦五” ，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。 在西方一般认为这个定理是毕达哥拉斯 （古希腊数学家， 比商高晚出生 500 多年）最先发现的，因而称为“毕达哥拉斯定理”.为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 几何语言
15、：RtABC 中，C=90 222 cba=+（勾股定理） 图形语言： 这个勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系， 我们可以用勾股定理来求 直角三角形中已知任意两边的长度，求第三边的长度，在这个计算过程中，可以 根据题目的需求，对公式 222 cba=+变形. 4 3 CB A 在应用勾股定理时，需注意以下几点： 1.勾股定理存在于直角三角形中，运用勾股定理必须具备“直角”的条件； 2.运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜边 的平方等于两直角边的平方和” ； 3.无论求斜边， 还是求直角边， 最后都要开平方. 开平方时， 由于边长为正， 所以取算术平方根； 4.勾股
16、定理不仅是最古老的数学定理之一， 也是数学中证法最多的一个定理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第 20 届总统加菲尔德也提供了一种面积 证法.请同学们自学相关内容. 设计意图：通过严谨的论证，由学生总结出定理的内容，既培养了学生的设计意图：通过严谨的论证，由学生总结出定理的内容，既培养了学生的 数学语言表达能力，又能让学生更好地加深对定理的理解数学语言表达能力，又能让学生更好地加深对定理的理解. .此环节还了解了勾股此环节还了解了勾股 史话，增强学生的民族自豪感史话，增强学生的民族自豪感. . 三达标检测三达标检测 让我们回到开头的问题 1，你能解决了吗？因为它是实际问题，先转化为数 学
17、问题，请同学写出已知求证并画出图形. 已知：在 RtABC 中，C=90，AC = 4, BC = 3, 求 AB 的长 解：RtABC 中，C=90 222 BCACAB+= （勾股定理） AC = 4, BC = 3, 52534BCACAB 2222 =+=+= AC+BC-AB=3+4-5=2 显然，走捷径的同学并没有少走多少路，反而践踏了草坪，破坏了环境，是 不可取的。 四拓展提升四拓展提升 1.请你试一试求下图中求下列图中未知数 x、y、z 的值. 设计意图：本题是在本节课重点探索的图形基础上演变而来的，既巩固了所设计意图：本题是在本节课重点探索的图形基础上演变而来的，既巩固了所
18、学知识，又加深了对于直角三角形三边和正方形面积关系学知识，又加深了对于直角三角形三边和正方形面积关系的认识，延伸了课堂的认识，延伸了课堂 知识知识. . 2填空题 在 RtABC，C=90，a=8，b=15，则 c= . 在 RtABC，B=90，a=3，b=4，则 c= . 在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= . 设计意图：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的设计意图：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的 关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理. .已知斜边和一直角边，求另已知
19、斜边和一直角边，求另 一直角边，用勾股定理的变形一直角边，用勾股定理的变形. .已知一边和两边比，求未知边已知一边和两边比，求未知边. .通过前两道题通过前两道题 让学生明确在直角让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边三角形中，已知任意两边都可以求出第三边. .第三题让学生明第三题让学生明 确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会 由角转化为边的关系的转化思想由角转化为边的关系的转化思想. . 3.图中所有的三角形都是直角三角形， 四边形都是正方形。 已知正方形 A、 B、 C、D
20、的面积分别是 3、4、1、3，求最大正方形 E 的面积. E D C B A 根据勾股定理分别求出两个红色正方形的面积， 继续由勾股定理得到 E 的面 积.现在把该图继续向外层扩展，一而再再而三，不停地向外扩展，你发现形成 了一棵美丽的勾股树. 设计意图：数学来源于生活，生活离不开数学。在生活中有许多美丽的图设计意图：数学来源于生活，生活离不开数学。在生活中有许多美丽的图 案案是由几何图形构成的，通过用几何画板制作的一棵美丽的勾股树，调动学生是由几何图形构成的，通过用几何画板制作的一棵美丽的勾股树，调动学生 的积极主动性，激发学生的学习愿望。的积极主动性，激发学生的学习愿望。 五反思小结五反思
21、小结 引导学生总结本节课的学习感受 设计意图：教师与学生共同回顾和反思，把知识纳入系统，促进学生理解、设计意图：教师与学生共同回顾和反思，把知识纳入系统，促进学生理解、 提高自己的认识水平，同时为下一节课的学习打下基础提高自己的认识水平，同时为下一节课的学习打下基础. . 六布置作业六布置作业 书本第 47 页：习题 2.1 的 1、2、3 题 七教学反思七教学反思 新课程标准要求我们： 将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活 动中； 将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生 探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识，为学生的终身学习及可持 续发展奠定坚实
22、的基础。本堂课基本达到了我的预期目标，在教学中注重了以下 几点： 1.重视知识过程和思想方法的教学 本节课是公式课，因此，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出 问题实验操作归纳验证-问题解决课堂小结布置作业六部分，在这一 过程中， 让学生经历了知识的发生、 形成和发展过程， 让学生体会到观察、 猜想、 归纳、 验证的思想和数形结合的思想， 从而更好地理解勾股定理， 应用勾股定理， 发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学号数学的愿望和信心。探索定理 时采用了面积法， 引导学生由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的 研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学
23、让学生初 步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发 展也有一定的作用. 2.鼓励学生自主探究和合作交流 课程标准明确指出： 有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿和记忆， 动手 实践、 自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。在本节课中努力为学生 提供充分的数学活动机会，让学生在自主探究和合作交流的过程中，去理解和掌 握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，从而形成自己对数学知识的理解和 有效地学习策略. 3.重视学生的表达和交流 数学课程标准指出， 要让学生经历使用各种数学语言、 符号表达和交流的过 程，以促进其形成对数学较为积极的态度。本节课谈对直角三角形的认识，表达 概括自己的发现，自我小结等，都让学生充分的表达和交流，发展了语言表达和 概括能力，增强了合作意识. 4.充分发挥多媒体的辅助作用 在本节课的设计中，大量的运用了现代信息技术，比如几何画板，多媒体动 态演示，直观形象的呈现方式，有助于激发学习兴趣，有助于对数学知识的理解 和掌握.
