1、第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第1课时 勾股定 理 RR 八年级数学下册八年级数学下册 新课导入 你知道在古代，人们你知道在古代，人们 如何称呼直角三角形的三如何称呼直角三角形的三 边吗？边吗？ 提问 那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。就是我们今天要探究的问题。 勾勾 股股 弦弦 学习目标 1. 1.了解勾股定理的文化背景，了解常见的利了解勾股定理的文化背景，了解常见的利 用拼图验证勾股定理的方法用拼图验证勾股定理的方法. . 2. 2.知道勾股定理的内容知道勾股定理的内容. . 推进新课 知识点知识点 1 1 勾股定理的
2、发现勾股定理的发现 毕达哥拉斯在朋友家里做客毕达哥拉斯在朋友家里做客 时时，从砖铺成的地面中发现了直从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系角三角形三边的数量关系 观察 你从图片中发现了什么你从图片中发现了什么？ 思考 三个正方形的面积有什么关系？ 三个正方形的面积有什么关系？ 发现 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. . 思考 等腰直角三角形三条边长度等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？之间有怎样的特殊关系？ S S1 S2 小结 等腰直角三角形等腰直角三角形斜边的平斜边的平 方等于两直角边的平方和方等于两直角边的平方和.
3、. S=S1+S2， 即c2=a2+b2. a b c 观察并填写下表观察并填写下表: : A B C 面积/格 A B C 面积/格 A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？ SA+SB=SC 9 25 34 4 9 13 探究 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜，斜 边长为边长为c，那么，那么a2+b2=c2 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形通过前面的探究活动，你发现了直角三角形 三边之间的关系规律了吗？三边之间的关系规律了吗？ 提问 规律 练习 1.设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b， 斜边长为斜边长为
4、c. （1）已知）已知a=6，c=10，求，求b； （2）已知）已知a=5，b=12，求，求c； （3）已知）已知c=25，b=15，求，求a. b=8 c=13 a=20 2.如图如图，图中所有的三角图中所有的三角 形都是直角三角形形都是直角三角形，四边四边 形都是正方形形都是正方形.已知正方已知正方 形形A,B,C,D的边长分别是的边长分别是 12，16，9，12，求最大求最大 正方形正方形E的面积的面积. 解：根据图形正方形解：根据图形正方形E 的边长为的边长为: 2222 1216912 =25， 故故E的面积为的面积为:252=625. 知识点知识点 2 2 勾股定理的证明勾股定理的
5、证明 命题命题 如果直角三角形两直角边如果直角三角形两直角边 长分别为长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那，那 么么a2+b2=c2 如何证明呢？如何证明呢？ 如图我国古代证明该命题如图我国古代证明该命题 的的“赵爽弦图”“赵爽弦图”. 赵爽弦图赵爽弦图 赵爽指出：按弦图，又可 以勾股相乘为朱实二，倍之为 朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实. 思考 你是如何理解的？ 你是如何理解的？你会证明吗？你会证明吗？ 证明 b b a a S=a2+b2 a c b a c b 小正方形的面积小正方形的面积= (b-a)2 即即c2=a2+b2. =c2-4 ab 1 2 原命题是
6、正确的，又因为该命题与直角原命题是正确的，又因为该命题与直角 三角形的边有关，我国把它称为三角形的边有关，我国把它称为勾股定理勾股定理. . 你理解了吗？原命题是否正确？你理解了吗？原命题是否正确？ 提问 小结 世界上几个文明古国相继发现和研究过世界上几个文明古国相继发现和研究过 勾股定理，勾股定理，据说其证明方法多达据说其证明方法多达400 多种，有多种，有 兴趣的同学可以继续研究兴趣的同学可以继续研究. 1 1. .作作 8 8 个全等的直角三角形个全等的直角三角形( (2 2 条直角边长分别为条直角边长分别为 a a、b b斜边长为斜边长为 c c) )再作再作3 3个边长分别为个边长分
7、别为 a a、b b、c c 的正的正 方形把它们拼成两个正方形方形把它们拼成两个正方形( (如图如图) )你能利用这两个你能利用这两个 图形验证勾股定理吗图形验证勾股定理吗? ? 写出你的验证过程写出你的验证过程. . 练习 解解:由图可知大正方形的边长为：由图可知大正方形的边长为：a+b则面积为则面积为 (a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部分，图中把大正方形的面积分成了四部分， 分别是：边长为分别是：边长为a的正方形，边长为的正方形，边长为b的正方形，的正方形， 还有两个长为还有两个长为b，宽为，宽为a的长方形的长方形. 根据同一个图形面积相等，由左图可得根据同一个图形面积相等，由
8、左图可得 (a+b)2=a2+b2+4 ab， 由右图可得由右图可得(a+b)2=c2+4 ab. 所以所以a2+b2=c2. 1 2 1 2 随堂演练 基础巩固 1. 1.在在RtRtABCABC中，两直角边长分别为中，两直角边长分别为3 3和和 ，则，则 斜边长为斜边长为 . . 5 14 2 2. .在在RtRtABCABC中，若斜边长为中，若斜边长为 ，一条直角，一条直角 边的长为边的长为2 2，则另一条直角边的长为，则另一条直角边的长为 . . 5 1 3. 3.在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90，a a=6=6，c c=10=10，则，则 b b= = . . 8
9、4.在在RtABC中，中，C=90. (1)已知已知c=25，b=15，求，求a； (2)已知已知a= ，A=60，求，求b，c. 6 2222 222 1251520 260 ,90 , 2, 2,22 2. acb AC cbabc bcb ：； ， ： Q 解解 代代入入 得得 综合应用 5. 5.已知直角三角形的两边长分别为已知直角三角形的两边长分别为3 3，2 2，求，求 另一条边长另一条边长. . 解：当斜边的长为解：当斜边的长为3时，另一条时，另一条 边长边长 22 325， 当两条直角边长分别为当两条直角边长分别为3、2时，时， 斜边长斜边长 22 3213. 误 区 诊 断
10、已知已知a a，b b是直角三角形的两条边是直角三角形的两条边，且已且已 知知a a=3=3，b b=4=4，求第三边求第三边c c的长度的长度. . 错解：错解： 在直角三角形中在直角三角形中a=3，b=4， 根据根据a2+b2=c2，可得可得:32+42=c2，即即c=5. 误误 区区 不能正确地确定斜边不能正确地确定斜边 错因分析：错因分析：出错主要原因是没有认真审题出错主要原因是没有认真审题， 凭经验认为凭经验认为c c 一定是斜边一定是斜边，事实上事实上，题目并无明确题目并无明确 c c 是斜边还是直角边是斜边还是直角边，故需要分类讨论故需要分类讨论. . 正解：正解：(1)若若c为
11、斜边，则由为斜边，则由a2+b2=c2，可得：可得： 32+42=c2，c=5.(2)若若c为直角边，则由为直角边，则由34，即即 ab，可知可知b=4为斜边，为斜边， 32 +c2=42，即即c= ，综综 上所述，三角形第三边为上所述，三角形第三边为c= 或或c=5. 7 7 课堂小结 即即c2=a2+b2. 拓展延伸 如图，已知长方形如图，已知长方形ABCDABCD沿直线沿直线BDBD折叠，使点折叠，使点C C落落 在在C C处，处，BCBC交交ADAD于于E E，ADAD=8=8，ABAB=4=4，求，求DEDE的长的长. . 解：解：A A= =C C= =C C=90=90, , AEBAEB= =CEDCED，ABAB= =CDCD, , AEBAEBCEDCED. .AEAE= =CECE, , CE=AD-ED=8-ED.又在又在ECD中，中， 222 .EDC EC D 2 22 845.EDEDED，解解得得 1. 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2. 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业
