1、2020-2021 学年高一数学下学期专项复习（人教 A 版） 知识梳理知识梳理 第八章 立体几何初步 一、常见几何体的面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 圆柱的侧面积 S侧=2rl,表面积 S=2r(r+l). 圆锥的侧面积 S侧=rl,表面积 S=r(r+l). 圆台的侧面积 S侧=(r+r)l,表面积 S=(r2+r2+rl+rl). 球的表面积 S=4R2. 其中 r,r 分别为上、下底面半径,l 为母线长,R 为球的半径. 二、常见几何体的体积 柱体的体积 V=Sh; 锥体的体积 V=1 3Sh; 台体的体积 V=1 3(S+S)h; 球的体积 V=4 3R 3.
2、其中 S,S 分别为上、下底面面积,h 为高,R 为球的半径. 三、平面的基本事实 基本事实 1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 基本事实 2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 基本事实 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 四、空间点、直线、平面之间的位置关系 1.空间中直线与直线的位置关系 共面直线 相交直
3、线:在同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线:在同一平面内,没有公共点 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 2.空间中直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内有无数个公共点; (2)直线与平面相交有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行没有公共点. 当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外. 3.空间中平面与平面的位置关系 (1)两个平面平行没有公共点; (2)两个平面相交有一条公共直线. 五、空间平行关系的判定及性质 1.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平 行. 2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一
4、个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直 线与交线平行. 3.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平 行. 4.平面与平面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 六、空间垂直关系的判定及性质 1.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂 直. 2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 3.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,如果一个平
5、面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么 这条直线与另一个平面垂直. 第八章 立体几何初步专项训练 考点一 基本立体图形 解决空间基本立体图形结构特征问题的三个策略 (1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力 (2)构建几何模型、变换模型中的线面关系 (3)通过反例对结构特征进行辨析 一选择题一选择题 1将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 A一个圆台、两个圆锥 B一个圆柱、两个圆锥 C两个圆台、一个圆柱 D两个圆台、一个圆锥 【答案】B 【解析】设等腰梯形ABCD， 较长的底边为CD， 则绕着底边CD旋转一周可得 一个圆柱和两个圆锥， （如右轴截面图） 故选 B
6、 2某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面 上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样， 则在、处可依次写上 A乐、新、快 B快、新、乐 C新、乐、快 D乐、快、新 【答案】B 【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年， 故选 B 3以下空间几何体是旋转体的是 A圆台 B棱台 C正方体 D三棱锥 【答案】A 【解析】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面； 该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体 所以选项A正确 故选 A 4一个圆锥的母线与其轴所成的角为6
7、0，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 A 2 B C2 D3 【答案】D 【解析】如图所示， 设圆锥的母线为l，底面圆半径为r， 因为60ABO，所以sin60 r l ，解得 3 2 rl， 所以底面圆的周长为2 r， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 3 2 2 2 3 l r ll 故选 D 5用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是 A圆锥 B圆柱 C三棱锥 D正方体 【答案】B 【解析】用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥
8、时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件 故选 B 6用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是 A圆锥 B圆柱 C球体 D以上都有可能 【答案】D 【解析】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面， 则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体 故选 D 7下列说法正确的是 A通过圆台侧面一点，有无数条母线 B棱柱的底面一定是平行四边形 C圆锥的轴截面是等腰三角形 D用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】对于A，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，
9、所以选项A错误； 对于B，棱柱的底面不一定是平行四边形，所以选项B错误； 对于C，圆锥的轴截面是腰长等于母线的等腰三角形，所以选项C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，所以选项D错误 故选 C 8下列说法正确的是 A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 C棱锥的所有侧面都是三角形 D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】对于A，棱台的上下底面互相平行，侧面都是四边形，但棱台不是棱柱，故A错误； 对于B，当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，
10、当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B错误； 对于C，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故C正确； 对于D，当平面与棱锥的底面不平行时，截面与棱锥底面间的几何体不是棱台，故D错误 故选 C 二填空题二填空题 9圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角 【答案】 【解析】圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm， 则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为212 ()cm ； 所以扇形的圆心角为 2 2 故答案为： 10一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径为15cm，则下底面半径为 ，圆台的 高为 【答案】25cm，10
11、3cm 【解析】如图所示， 圆台的母线长为20lcm，母线与轴的夹角为30，上底面的半径为15rcm， 所以圆台的高为 3 cos302010 3() 2 hlcm ， 则 1 sin302010 2 Rrl ， 所以底面圆的半径为15 1025()Rcm 故答案为：25cm，10 3cm 三解答题三解答题 11已知正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求它的斜高 【答案】5 【解析】如图所示，在正四棱锥SABCD中，连结AC，BD交于点O，连结OS， 因为正四棱锥的高为3，侧棱长为7，所以3OS ，7SA ， 在Rt SOA中， 22 2OASAOS， 所以22 2ABOA， 作OEBC于点E，则E
12、为BC的中点，连结SE，则SE为该正四棱锥的斜高， 在Rt SOE中，因为 1 2,3 2 OEABSO， 所以 22 5SESOOE 12一个正四棱台的高是17cm，上、下底面边长分别为4cm和16cm求这个棱台的侧棱长和斜高 【答案】侧棱长为19cm，斜高为5 13cm 【解析】如图所示，设棱台的两底面的中心分别是 1 O、O， 11 BC和BC的中点分别是 1 E和E， 连接 1 O O、 1 E E、 11 O B、OB、 11 O E、OE， 则四边形 11 OBB O和 11 OEE O都是直角梯形 11 4A B cm，16AB cm， 11 2O Ecm，8OE cm， 11
13、2 2O Bcm，8 2OBcm， 222 1111 ()361BBOOOBOB 2 cm， 2222 1111 ()325E EOOOEOEcm， 1 19B Bcm， 1 5 13E Ecm 这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5 13cm 考点三 立体图形的直观图 斜二测画法的步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成 x 轴和 y 轴，两 轴相交于点 O,且使xO y=45 (或 135)，它们确定的平面表示水平面。 (2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴或 y 轴的线段。 (3)已知图形
14、中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原 来的一半(横不变,纵减半)。 规律:两变半(坐标轴夹角，平行于 y 轴的线段) 两不变(平行于 x 轴的线段，平行关系不改变) 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图 2 4 S原图形 一选择题一选择题 1如图，ABC 是水平放置的ABC的斜二测直观图，其中2OCO AO B ，则以下说法正确的 是 AABC是钝角三角形 BABC是等腰三角形，但不是直角三角形 CABC是等腰直角三角形 DABC是等边三角形 【答案】C 【解析】由斜二测画法的直观图知，2OCOAOB， 所以
15、原图形ABC中，OCOAOB， 所以点B在以AC为直径的圆上， 所以ABC是等腰直角三角形 故选 C 2如图，ABC是ABC的直观图，其中ABAC ，/ABx 轴，/ /ACy 轴，那么ABC是 A等腰三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 【答案】D 【解析】根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变， 且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半， 直观图A B C 的原来图形ABC是直角三角形，且2ACAB，不是等腰直角三角形 故选 D 3如图所示，正方形O ABC 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 A6 B8
16、C23 2 D22 3 【答案】B 【解析】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段/ /C Bx 轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C 和B在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O B 的 2 倍，则 2 2OB ，所以3OC ，则四边形OABC的长度为 8 故选 B 4如图，正方形 OABC的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 A8cm B6cm C2(13)cm D2(12)cm 【答案】A 【解析】由斜二测画法的规则知与 x 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对 角线在 y 轴上， 可求得其长度为2，故在平面图中其在
17、y轴上，且其长度变为原来的 2 倍，长度为 2 2，其原来的图 形如图所示， 则原图形的周长是：8 观察四个选项，A选项符合题意 故选 A 5如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 A B C D 【答案】C 【解析】设直观图中与x轴和y轴的交点分别为A和B， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点， 再由平行与x轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变， 作出原图可知选C 故选 C 6用斜二测画法画一个水平放置的边长为2 6的等边ABC得到的直观图ABC，则ABC的面积为 A16 6 B16 3 C 3 6 2 D 3 3 2 【答案】C 【解析】由直观图与原图形的面积
18、之比为1:2 2可得， 1 2 2 A B C ABC S S ； 而 2 3 (2 6)6 3 4 ABC S， 所以A B C 的面积为 13 6 6 3 22 2 A B C S 故选 C 7一水平放置的平面四边形 OABC 用斜二测画法绘制的直观图O A BC 如图所示，其中OCx ， ABx ，/ /B Cy ，四边形 OABC 的面积为 A 3 2 2 B3 2 C3 D 3 2 【答案】B 【解析】平面四边形OABC的直观图O A B C 是直角梯形， 其面积为 13 (12) 1 22 ； 根据平面图形与它的直观图面积比为 2 1: 4 ，计算四边形OABC的面积为 3 2 3
19、 2 2 4 ， 故选 B 8 已知水平放置的ABC是按 “斜二测画法” 得到如图所示的直观图， 其中1BOCO ， 3 2 AO ， 那么原ABC的面积是 A3 B2 2 C 3 2 D 3 4 【答案】A 【解析】因为 2 4 S S 直 原图 ， 且若A B C 的面积为 1326 2 2224 ， 那么ABC的面积为3 故选 A 二填空题二填空题 9一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积等于 【答案】 2 6 2 a 【解析】三角形在其直观图中对应一个边长为a正三角形， 直观图的面积是 2 13 sin60 24 aaa ； 由斜二测画法中直观图和原图
20、的面积的关系：2 2SS 原直观图， 原三角形的面积为： 22 36 2 2 42 Saa 故答案为： 2 6 2 a 10如图所示，RtA B C 为水平放置的ABC的直观图，其中A CB C ，2B OO C ，则ABC的 面积是 【答案】8 2 【解析】把直观图还原为原图形，如图所示： 由题意知，4BCB C ，22 224 2OAO A ， 所以ABC的面积是 11 44 28 2 22 ABC SBC OA 故答案为：8 2 三解答题三解答题 11如图，矩形O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6O Acm ，2O Ccm ，则原图形的 形状是什么？面积是多少？ 【答
21、案】原图形OABC是平行四边形，如图所示， 2 24 2Scm. 【解析】在直观图中，设 O y 与B C 交于点 P ， 则2C Pcm ，4P Bcm ，2 2O Pcm ， 在原图形中，6OAcm，2CPcm，24 2OPO Pcm ， 因为/ /BCOA，6BCOAcm， 所以原图形OABC是平行四边形，如图所示， 其面积为 2 24 2SOA OPcm 12如图，正方形O A B C 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图请画出原来的平面图形 的形状，并求原图形的周长与面积 【答案】8cm， 2 2 2cm 【解析】正方形O A B C 的边长为1cm，它是水平放置的一个
22、平面图形的直观图， 则原图是平行四边形，相邻边长为：1 和 22 (2 2)13， 原图的周长是：8 故周长为：8，面积为1 2 22 2； 故答案为：8cm， 2 2 2cm 考点四 简单几何体的表面积与体积 几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和 对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的 平面图形的特点来求解相关问题 组合体的表面积应注意重合部分的处理 求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决 5根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积： 求多面体的侧面积时，应对
23、每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体 展开为平面图形后再求面积. 对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定 义，以确保不重复、不遗漏. 一选择题一选择题 1埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥现已知该四棱锥的高与斜高 的比值为 4 ? 5 ，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是 A 4 ? 5 B 3 ? 5 C 12 ? 5 D 5 ?12 【答案】B 【解析】设该正四棱锥底面的边长为2a，高为h，斜高为 h ， 则有 222 4 5 h h hah ，解得 3 5 a h ， 所以该正四棱锥的
24、底面面积为 22 36 4 25 a h ， 侧面面积为 22 1312 424 255 ahhh， 故该正四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是 22 36123 2555 hh 故选 B 2现有橡皮泥制作的底面半径为 4，高为 3 的圆锥一个若将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的 圆柱（橡皮泥没有浪费） ，则该圆柱表面积的最小值为 A20 B24 C28 D32 【答案】B 【解析】橡皮泥制作的底面半径为 4，高为 3 的圆锥一个， 将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的圆柱（橡皮泥没有浪费） ， 则 22 1 43 3 r h，解得 2 16hr ， 该圆柱表面积 222 1688 2
25、22 ()2 ()Srhrrr rrr 2 3 88 2324r rr 当且仅当 2 8 r r ，即2r ，4h 时，取等号 该圆柱表面积的最小值为24 故选 B 3圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是 A 3 4 B 1 2 C 3 4 D 3 3 4 【答案】C 【解析】设球的直径为2R，则圆锥的底面半径为R，母线长为2R， 因为圆锥的侧面展开图是扇形， 故扇形的半径为母线长2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为2 R， 故扇形的面积为 2 1 222 2 RRR， 即圆锥的侧面积为 2 2 R， 所以圆锥的表面积为 222 23RRR， 球的表面积为 2 4 R
26、， 所以圆锥与球的表面积之比是 2 2 33 44 R R 故选 C 4棱长为 2 的正四面体的表面积是 A3 B2 3 C3 3 D4 3 【答案】D 【解析】棱长为 2 的正四面体的表面积是四个边长为 2 的正三角形面积之和， 所以表面积为 22 1 42214 3 2 S 故选 D 5如图，长方体 1111 ABCDABC D中，3AB， 1 2BCCC，三棱锥 1 BDCD的体积为 A1 B2 C3 D6 【答案】B 【解析】长方体 1111 ABCDABC D中， 1 DD 平面ABCD， 11 1 111 2322 332 B DCDDBCDBCD VVDDS 故选 B 6 在三棱
27、锥SABC中，SASBSC，ABBC，O为 AC 中点1OSOC， 则三棱锥SABC 体积最大值为 A 1 2 B 3 4 C 1 3 D 1 6 【答案】C 【解析】如图， O为AC中点，1OC ，2AC， 又ABBC， 222 42ACABBCAB BC， 即2AB BC，当且仅当2ABBC时上式取等号， SASBSC，且OAOBOC，SAOSOBSOC ， 可得SOOA，SOOB，又OAOBO，OA，OB 平面ABC， SO平面ABC， 又1SO ，三棱锥SABC体积最大值为 11111 12 1 32323 VAB BC 故选 C 7如图，已知底面边长为a的正四棱锥PABCD的侧棱长为
28、 2a，若截面 PAC 的面积为8 7，则正四棱 锥PABCD的体积等于 A12 14 B 32 14 3 C 32 7 3 D108 3 【答案】B 【解析】作PO 底面ABCD于点O，则O是AC中点， 22 2ACaaa， 2222 214 ()(2 )() 222 AC POPCaaa， 截面PAC的面积为8 7， 114 28 7 22 PAC Saa ， 解得4a ， 正四棱锥PABCD的体积为： 1 3 PABCDABCD VSPO 正方形 2 114 32 aa 3 14 6 a 3 14 4 6 32 14 3 故选 B 8在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中
29、，O为正方形 1111 ABC D的中心，P，M，N分别为 1 DD， AB，BC 的中点，则四面体 OPMN 的体积为 A 5 12 B 5 6 C 5 2 12 D 5 2 6 【答案】B 【解析】如图， 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中， 求得 222 1216PMPN， 22 125OMON， 22 1( 2)3OP ，2MN ， 取MN的中点Q，连接PQ，OQ，可得PQMN，OQMN， 22 122 6 22 PQPNNQ， 22 13 2 5 22 OQONNQ， 在OQP中，由余弦定理可得， 119 3 7 22 cos 3 2223 11 2 22 OQP
30、 ， 2 5 2 sin1 3 11 OQPcosOQP， 则O到平面PMN的距离 3 25 25 sin 23 1111 hOQOQP 112255 2 322611 O PMN V 故选 B 二填空题二填空题 9已知三棱锥ABCD中，2?2ABACADBCBD，侧棱AB与底面BCD所成的角为45，则 该三棱锥的体积为 【答案】 8 3 【解析】如图，三棱锥ABCD中，2?2ABACADBCBD，侧棱AB与底面BCD所成的角为 45， A射影在底面BCD上的射影在CBD的平分线上， 可得棱锥的高为：2 2sin452 ， 所以AD，AC与 底面所成角也是45，A在底面的射影是底面三角形的外心
31、， 外接圆的半径为 2， 所以射影点为E， 是CD 的中点，则CBD是等腰直角三角形， 所以该三棱锥的体积为： 118 2 22 22 323 故答案为： 8 3 10直三棱柱 111 ABCA BC内有一个体积为V的球，若ABC是两直角边长分别为 6，8 的直角三角形，侧 棱 1 6AA ，则V的最大值为 【答案】 32 3 【解析】若ABC是两直角边长分别为 6，8 的直角三角形， 不妨设6BA ，8BC ，90ABC， 则 22 10ACBABC， 三角形ABC的内切圆的半径为 6810 2 2 r ， 因为 1 6AA ，所以 1 32 2 AA r， 所以球与直三棱柱侧面相切时，直三
32、棱柱 111 ABCA BC的内切球半径最大取 2， 则V的最大值为 3 432 2 33 故答案为： 32 3 三解答题三解答题 11如图，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PAD是边长为 2 的等边三角形，点E是线段PD的 中点，平面PAD 平面ABCD （1）证明：/ /PB平面AEC； （2）求三棱锥PAEC的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 . 【解析】 （1）证明：连接BD，设BDACO，连接OE， 因为底面ABCD是矩形， 所以O为BD的中点， 又因为E是PD的中点， 所以OE为PBD的中位线， 所以/ /OEPB， 因为PB平面AEC，OE 平面AEC，
33、 所以/ /PB平面AEC； （2）解：在正方形ABCD中，CDAD， 又因为平面PAD平面ABCDAD， 且平面PAD 平面ABCD，所以CD 平面PAD， 因为PAD为等边三角形，且E为线段PD的中点， 所以 11133 22 22222 PAEPAD SS ， 所以 1133 2 3323 P AECC PAEPAE VVSCD 12在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，三角形APB为等腰直角三角形，PAPB，已 知2AD ，2AB ，PDAB，5PC （1）求证：BDAD； （2）求四棱锥PABCD的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 . 【解析】 （1）证
34、明：设AB的中点为E，连接PE，DE， PAB是等腰三角形，PAPB，PEAB， 又ABPD，PDPEP，AB平面PED， 则ABDE，2BDAD， 2AB ，ABD是等腰直角三角形，且BDAD； （2）解：由（1）可知AB 平面PED，而AB平面ABD， 平面PED 平面ABD， 又5PC ，/ /CDAB，CDPD，得1PD 又1PEDE，PDE为正三角形， 设DE的中点为O，则PO 平面ABCD，且 3 2 PO ， 2 ABCD SAB DE 四边形 ， 四棱锥PABCD的体积 133 2 323 V 考点五 空间点、直线、平面的位置关系 证明线共面或点共面的三种常用方法 (1)直接法
35、：证明直线平行或相交，从而证明线共面 (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 、 重 合 判断空间两直线位置关系的三种策略 (1)对于异面直线，可采用直接法或反证法进行判定 (2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判 断 (3)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直 一选择题一选择题 1已知平面与互相垂直，与交于l，m和n分别是平面，上的直线若m，n均与l既不平 行也不垂直，则m与n的位置关系是 A可能垂直，
36、但不可能平行 B可能平行，但不可能垂直 C可能垂直，也可能平行 D既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【解析】假设mn，因为n与l既不垂直，也不平行，所以nlO， 过O在内作直线cl，如图所示， 因为，所以c，又因为m，所以cm， 又因为mn，cnO，所以m，l，所以ml， 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立， 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； 假设/ /mn，则/ /m，m，l， 所以/ /ml，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行 故选 D 2设，是两个不同平面，m，n是两条直线，
37、下列命题中正确的是 A如果mn，m，/ /n，那么 B如果mn，m，n，那么/ / C如果/ /mn，m，n，那么/ / D如果/ /，m与所成的角和n与所成的角相等，那么/ /mn 【答案】C 【解析】由，是两个不同平面，m，n是两条直线，知： 对于A，如果mn，m，/ /n，那么与相交或平行，故A错误； 对于B，如果mn，m，n，那么与相交或平行，故B错误； 对于C，如果/ /mn，m，n，那么由面面平行的判定定理得/ /，故C正确； 对于D，如果/ /，m与所成的角和n与所成的角相等，那么m与n相交、平行或异面，故D错 误 故选 C 3平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 A平行或相交
38、或异面 B相交 C异面 D平行 【答案】A 【解析】如图，正方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别是棱 1 BB、 1 CC的中点， 11/ / A D平面ABCD， 11/ / BC平面ABCD， 1111 / /A DBC， 由此得到平行于同一平面的两条直线可能平行； 11/ / A D平面ABCD， 11/ / A B平面ABCD， 11111 ADABA， 由此得到平行于同一平面的两条直线可能相交； 11/ / A D平面ABCD，/ /EF平面ABCD， 11 AD与EF是异面直线， 由此得到平行于同一平面的两条直线可能异面 综上：平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行
39、或相交或异面 故选 A 4若直线l与平面不平行，且直线l也不在平面内，则 A内不存在与l异面的直线 B内存在与l平行的直线 C内存在唯一的直线与l相交 D内存在无数条与l垂直的直线 【答案】D 【解析】由直线l与平面不平行，且直线l也不在平面内，可得直线l与平面相交，设交点为O， 则内不过O的直线都有直线l异面，故A错误； 若内存在与l平行的直线，由直线与平面平行的判定，可得/ /l，与已知矛盾，故B错误； 内所有过O的直线都有直线l相交，故C错误； 若l，则内的所有直线都与l垂直，若l与不存在，则内所有与l在内的射影垂直的直线都与 l垂直， 故D正确 故选 D 5平面/平面，a，b，则直线a
40、和b的位置关系 A平行 B平行或异面 C平行或相交 D平行或相交或异面 【答案】B 【解析】平面/ /平面，平面与平面无公共点， a，b，直线a和b的位置关系是平行或异面， 故选 B 6在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取点E、F、G、H，若直线 EF、GH 相交于点 P，则 A点P必在直线AC上 B点P必在直线BD上 C点P必在平面ABD内 D点P必在平面BCD内 【答案】A 【解析】作图如下： 因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P， 所以P在两面的交线上， 因为AC是两平面的交线， 所以点P必在直线AC上 故选 A 7下列命题中正确的是
41、 A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线l与平面上的无数条直线都垂直，则直线l D若a、b、c是三条直线，/ /ab且与c都相交，则直线a、b、c共面 【答案】D 【解析】对于选项A：不共线的三点确定一个平面，故A错误， 对于选项B：由墙角模型可知，显然B错误， 对于选项C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则直线l与平面垂 直，若直线l与平面内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面不垂直，故C错误， 对于选项D：因为/ /ab，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面，又c与a和b都相交，所以c也在 平面内，即直线a、b、c共面，故选项 D 正确，
42、故选 D 8设m，n是不同的直线，是不同的平面，则 A若/ /m，n，则/ /mn B若m，n，nm，则n C若/ /m，/ /n，/ /mn，则/ / D若m，n，nm，则 【答案】D 【解析】由m，n是不同的直线，是不同的平面，知： 在A中，若/ /m，n，则m与n平行或异面，故A错误； 在B中，若m，n，nm，则n与相交但不一定垂直，故B错误； 在C中，若/ /m，/ /n，/ /mn，则与相交或平行，故C错误； 在D中，若m，n，nm，则由面面垂直的判定理得，故D正确 故选 D 二填空题二填空题 9在正方体 1111 ABCDABC D中，下列说法正确的是 1/ / AD平面 1 BC
43、； AC与 1 BC相交； 点 1 A、 1 D到平面 11 BCC B的距离相等； 与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个 【答案】 【解析】对于，因为平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B， 1 AD 平面 11 ADD A， 所以 1/ / AD平面 11 BCC B，故正确； 对于，AC与 1 BC是异面直线，故错误； 对于，因为直线 11/ / A D平面 11 BCC B，所以点 1 A、 1 D到平面 11 BCC B的距离相等，故正确； 对于，与AB平行的面有两个，分别为平面 1111 A BC D，平面 11 DCC D 故正确的是 故答案为： 10已知a，
44、b，c是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中： 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac； 若a 平面，b 平面，则a，b一定是异面直线； 若a，b与c成等角，则/ /ab 真命题是 .（填序号） 【答案】 【解析】由a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，知： 对于，在正方体 1111 ABCDABC D中， ABBCB，ABADA，/ /BCAD， ABBCB， 1 ABAAA，BC与 1 AA是异面直线， ABBCB， 1 ABBBB， 1 BCBBB， a与b相交，b与c相交，则a与c相交、平行或异面，故错误； 对于，若/ /ab，/ /b
45、c，则由平行公理得/ /ac，故正确； 对于，若a 平面，b 平面，则a，b有可能是共面直线，故错误； 对于，若a，b与c成等角，则a与b相交、平行或异面，故错误 故答案为： 三解答题三解答题 11如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且 :1:2BG GCDH HC （1）求证：E、F、G、H四点共面； （2）设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】证明： （1）ABD中，E、F为AD、AB中点，/ /EFBD CBD中，:1:2BG GCDH HC， / /GHBD，/ /EFG
46、H（平行线公理） ， E、F、G、H四点共面 （2）FGHEP，PFG，PHE， P平面ABC，P平面ADC， 又平面ABC平面ADCAC， P直线AC P、A、C三点共线 12如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且 :1:2BG GCDH HC （1）求证：E、F、G、H四点共面； （2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】证明： （1），E、F分别是AB、AD的中点 / /EFBD :1:2BG GCDH HC / /GHBD / /EFGH E、F、G、H四点共面 （2）
47、EG与HF交于点P EG 面ABC P在面ABC内， 同理P在面DAC 又面ABC面DACAC P在直线AC上 P、A、C三点共线 考点六 直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用三种方法 (1)利用线面平行的定义(常用反证法) (2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已 有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知 平面相交找它们的交线 (3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面 一选择题一选择题 1如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F
48、分别为 AB，AD 上的点，且:1:4AE EBAF FD， 又H，G分别为 BC，CD 的中点，则 A/ /BD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B/ /EF平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C/ /HG平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D/ /EH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【解析】在平面ABD内，:1:4AE EBAF FD， / /EFBD 又BD平面BCD，EF 平面BCD， / /EF平面BCD 又在平面BCD内， H，G分别是BC，CD的中点， / /HGBD/ /HGEF 又 1 5 EFAE BDAB ， 1 2 HGCH BDBC ，EFH
49、G 在四边形EFGH中，/ /EFHG且EFHG， 四边形EFGH为梯形 故选 B 2一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为M，GH 的中点 为N，下列结论正确的是 A/ /MN平面ABE B/ /MN平面ADE C/ /MN平面BDH D/ /MN平面CDE 【答案】C 【解析】连结BD，设O为BD的中点，连结OM，OH，AC，BH，MN， 因为M，N是BC，GH的中点， 所以/ /OMCD，且 1 2 OMCD，/ /NHCD，且 1 2 NHCD， 所以/ /OMNH且OMNH， 则四边形MNHO是平行四边形， 所以/ /OMNH，又MN 平面B
50、DH，OH 平面BDH， 所以/ /MN平面BDH 故选 C 3已知正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足 1 / /AF平面 1 BD E的 图形个数为 A0 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】中，平移 1 A F至 1 D F，可知 1 D F与面 1 BD E只有一个交点 1 D，则 1 A F与平面 1 BD E不平行； 中，由于/ /AFDE，而AF 平面BDE，DE 平面BDE，故 1 / /A F平面 1 BD E； 中，平移 1 A F至 1 D F，可知 1 D F与面 1 BD E只有一个交点 1 D，则 1 A F与平面 1 B
