1、基本不等式同步练习基本不等式同步练习 一、本节知识点一、本节知识点 （1 1）基本不等式）基本不等式. . （2 2）利用基本不等式求最值）利用基本不等式求最值. . （3 3）基本不等式的拓展）基本不等式的拓展三个正数的基本不等式三个正数的基本不等式. . 二、本节题型二、本节题型 （1 1）利用基本不等式求最值）利用基本不等式求最值. . （2 2）利用基本不等式证明不等式）利用基本不等式证明不等式. . （3 3）基本不等式的实际应用）基本不等式的实际应用. . （4 4）与基本不等式有关的恒成立问题）与基本不等式有关的恒成立问题. . 三、同步练习三、同步练习 1. . 若ba,为正实
2、数,且2ba,则ab的最大值为 【 】 （A）3 （B）1 （C）32 （D）2 2. . 当x4 时, 1 4 x x的最小值为 【 】 （A）5 （B）4 （C） 2 11 （D） 3 16 3. . 已知0, 0ba,且满足1ba,则 ba 41 的最小值为 【 】 （A）7 （B）9 （C）4 （D）224 4. . 设0, 0yx,53 yx,则 yx 3 1 1 的最小值为 【 】 （A） 2 3 （B）2 （C）32 （D）3 5. . 代数式 1 107 2 x xx （1x） 的最小值为 【 】 （A）2 （B）7 （C）9 （D）10 6. . 设 2 1 x,则 12 1
3、 2 x x的最大值是 【 】 （A）2 （B）1 （C）2 （D）1 7. . 已知0, 0ba,1 1 1 1 1 ba ,则ba2的最小值是 【 】 （A）23 （B）22 （C）3 （D）2 8. . 设xR,对于使xx2 2 M 成立的所有常数 M,我们把 M 的最小值叫做 xx2 2 的上确界.若0, 0ba,且1ba,则 ba 2 2 1 的上确界为 【 】 （A）5 （B）4 （C） 2 9 （D） 2 9 以下三题多选以下三题多选 9. . 设0, 0ba,下列不等式恒成立的是 【 】 （A）aa1 2 （B）aa69 2 （C） ba ba 11 4 （D） a a 1 b
4、 b 1 4 10. . 若正实数ba,满足1ba,则下列选项中正确的是 【 】 （A）ab有最大值 4 1 （B）ba 有最小值2 （C） ba 11 有最小值 4 （D） 22 ba 有最小值 2 2 11. . 下列各式中,最大值是 2 1 的是 【 】 （A） 2 2 16 1 x xy （B） 2 1xxy（0 x1） （C） 1 4 2 x x y （D） 2 4 x xy（2x） 12. . 已知实数0, 0yx,且2 14 yx ,则xy的最小值为_,yx的最小 值为_. 13. . 已知ba,是正实数,且032abba,则ab的最小值是_,ba的最 小值是_. 14. . 已
5、知0, 0yx,且32yx,则xy的最大值为_, xy yx 3 的最小值 为_. 15. . 设20 x,求代数式 2 24xx的最大值. 16. . 已知cba,为正实数,求证: c a b c a b 222 cba. 17. . 已知0, 0ba,1ba.求证: 2 1 2 1 ba2. 基本不等式同步练习答案解析基本不等式同步练习答案解析 1. . 若ba,为正实数,且2ba,则ab的最大值为 【 】 （A）3 （B）1 （C）32 （D）2 分析分析: : 本题考查基本不等式（均值不等式）: 2 ba ab,其中0, 0ba. 当两个正数的和为定值时,它们的乘积有最大值,即:和定积
6、最大和定积最大. . 解析解析: : ba,为正实数 ab01 2 ba . 当且仅当ba 时,取等号. ab01,即ab的最大值为 1. 选择答案【 B 】. 点评点评 本题也可由结论ab 2 2 ba 求得结果. 2. . 当x4 时, 1 4 x x的最小值为 【 】 （A）5 （B）4 （C） 2 11 （D） 3 16 分析分析: : 本题为易错题,利用基本不等式求最值时,要注意必须满足的三个条件:一一 正、二定、三相等正、二定、三相等,若不满足其中任何一个条件,将会出错. 错解错解: : x4,01x. 1 1 4 1 1 4 x x x x51 1 4 12 x x. 当且仅当
7、1 4 1 x x,即3x时,等号成立. 1 4 x x的最小值为 5. 选择答案【 A 】. 错因分析错因分析 上面求得最小值为 5 的条件是3x,但是不满足题目条件x4.也就是 说,当x4 时, 1 4 x x的最小值不是 5. 解析解析: : 1 1 4 1 1 4 x x x x. 设1 xt,则1 4 1 4 t t x x. x4,t3,即 , 3t. 1 4 t ttf在, 2上单调递增 当 , 3t时, 3 16 1 3 4 33 min ftf. 当x4 时, 1 4 x x的最小值为 3 16 . 选择答案【 D 】. 3. . 已知0, 0ba,且满足1ba,则 ba 4
8、1 的最小值为 【 】 （A）7 （B）9 （C）4 （D）224 解析解析: : 0, 0ba,1ba ba ba 41 a b b a ba 4 5 41 945 4 25 a b b a . 当且仅当 a b b a 4 ,即 3 2 , 3 1 ,2baab时,等号成立. ba 41 的最小值为 9. 选择答案【 B 】. 4. . 设0, 0yx,53 yx,则 yx 3 1 1 的最小值为 【 】 （A） 2 3 （B）2 （C）32 （D）3 解析解析: : 53 yx,813yx. 0, 0yx yx yx 13 8 13 1 1 1 19 8 1 4 33 1 1 x y y
9、 x yx 2 3 1 19 2 8 1 4 3 x y y x . 当且仅当 1 19 x y y x ,即4, 3 1 ,13yxxy时,等号成立. yx 3 1 1 的最小值为 2 3 . 选择答案【 A 】. 另解另解: : 53 yx,xy35. 0, 0yx 035 0 x x ,解之得: 3 5 0 x. 3 16 3 1 3 8 523 8 3535 8333 1 1 22 x xxxxxyxy yx yx . 令0523 2 xx,解之得: 3 5 1x. 当 3 5 0 x时,0523 2 xx恒成立. 当 3 1 x时, 3 16 523 max 2 xx. 3 16 3
10、 1 3 8 2 x 2 3 3 16 8 . yx 3 1 1 的最小值为 2 3 .此时 3 1 x,4y. 选择答案【 A 】. 5. . 代数式 1 107 2 x xx （1x） 的最小值为 【 】 （A）2 （B）7 （C）9 （D）10 分析分析: : 本题令nxmxxx11107 2 2 ,则有 12107 22 nmxmxxx. 101 72 nm m ,解之得: 4 5 n m . 4151107 2 2 xxxx. 解析解析: : 1x,01x. 5 1 4 1 1 4151 1 107 2 2 x x x xx x xx 95 1 4 12 x x. 当且仅当 1 4
11、1 x x,即1x时,等号成立. 代数式 1 107 2 x xx （1x）的最小值为 9. 选择答案【 C 】. 6. . 设 2 1 x,则 12 1 2 x x的最大值是 【 】 （A）2 （B）1 （C）2 （D）1 解析解析: : 2 1 x,012x,021 x. x x x x x x 21 1 211 12 1 12 12 1 21 11 21 1 212 x x. 当且仅当 x x 21 1 21 ,即0 x时,等号成立. 12 1 2 x x的最大值是1. 选择答案【 D 】. 7. . 已知0, 0ba,1 1 1 1 1 ba ,则ba2的最小值是 【 】 （A）23
12、（B）22 （C）3 （D）2 解析解析: : 0, 0ba,1 1 1 1 1 ba 12131212bababa3 1 1 1 1 ba 1 12 1 1 a b b a 22 1 12 1 1 2 a b b a . 当且仅当 1 12 1 1 a b b a ,即 2 2 ,2,121baba时,等号成立. ba2的最小值是22. 选择答案【 B 】. 另解另解: : 1 1 1 1 1 ba 1 11 11 ba ba ,整理得:1ab. 0, 0ba ba22222ab. 当且仅当 2 2 ,2,2baba时,等号成立. 选择答案【 B 】. 8. . 设xR,对于使xx2 2 M
13、 成立的所有常数 M,我们把 M 的最小值叫做 xx2 2 的上确界.若0, 0ba,且1ba,则 ba 2 2 1 的上确界为 【 】 （A）5 （B）4 （C） 2 9 （D） 2 9 解析解析: : 0, 0ba,1ba a b b a ba ba ba2 2 2 52 2 12 2 1 2 9 2 2 2 2 5 a b b a . 当且仅当 a b b a 2 2 ,即 3 2 , 3 1 ba时,等号成立. 2 92 2 1 min ba . ba 2 2 1 2 9 . ba 2 2 1 的上确界为 2 9 . 选择答案【 D 】. 以下三题多选以下三题多选 9. . 设0, 0
14、ba,下列不等式恒成立的是 【 】 （A）aa1 2 （B）aa69 2 （C） ba ba 11 4 （D） a a 1 b b 1 4 解析解析: : 对于（A）,0 4 3 2 1 11 2 22 aaaaa aa1 2 恒成立,故（A）正确; 对于（B）, 2 22 39669aaaaa0 9 2 aa6恒成立,故（B）错误; 对于（C）,0, 0ba a b b a ba ba 2 11 422 a b b a . 当且仅当 a b b a ,即ba 时,等号成立. 当0, 0ba时, ba ba 11 4 恒成立,故（C）正确; 对于（D）,0, 0ba a a 1 2 1 2 a
15、 a, b b 1 2 1 2 b b. 当且仅当 b b a a 1 , 1 ,即1, 1ba时,上面两个等号成立. a a 1 b b 1 4.（同向同正可乘性同向同正可乘性） 故（D）正确. 综上,恒成立的是【 ACD 】. 10. . 若正实数ba,满足1ba,则下列选项中正确的是 【 】 （A）ab有最大值 4 1 （B）ba 有最小值2 （C） ba 11 有最小值 4 （D） 22 ba 有最小值 2 2 解析解析: : 对于（A）,ba,为正实数,1ba baab2,ab21. ab0 2 1 ,ab0 4 1 . ab有最大值 4 1 ,无最小值,故（A）正确; 对于（B）,
16、ababbaba212 2 21ba. 当且仅当 2 1 ba时,等号成立. ba 02. ba 有最大值2,无最小值,故（B）错误; 对于（C）, a b b a ba ba ba 2 1111 422 a b b a . 当且仅当 a b b a ,即 2 1 ba时,等号成立. ba 11 的最小值为 4,故（C）正确; 对于（D）, 22 ba ab2 22 2ba 2 22 2bababa 22 ba 2 1 2 2 ba . 当且仅当 2 1 ba时,等号成立. 22 ba 的最小值为 2 1 ,故（D）错误. 综上,选择答案【 AC 】. 11. . 下列各式中,最大值是 2 1
17、 的是 【 】 （A） 2 2 16 1 x xy （B） 2 1xxy（0 x1） （C） 1 4 2 x x y （D） 2 4 x xy（2x） 解析解析: : 对于（A）, 2 2 16 1 x xy 2 1 4 1 2 16 1 2 2 2 x x. 当且仅当 2 2 16 1 x x ,即 2 1 x时,等号成立. 2 2 16 1 x xy有最小值 2 1 ,无最大值; 对于（B）,0 x1 222 11xxxxy 2 1 2 1 22 xx . （根据关于两个正数的不等式链: ba 11 2 ab 2 ba 2 22 ba 得到） 当且仅当 22 1xx,即 2 2 x时,等号
18、成立. 2 1xxy（0 x1）的最大值为 2 1 ,最小值为 0; 对于（C）, 2 2 4 2 1 1 1 x x x x y 2 1 1 2 1 2 2 x x . 当且仅当 2 2 1 x x ,即1x时,等号成立. 0y 2 1 ,即 1 4 2 x x y有最小值 0,最大值 2 1 ; 对于（D）,2x,02x. 2 2 4 2 2 4 x x x xy22 2 4 22 x x. 当且仅当 2 4 2 x x,即0 x时,等号成立. 2 4 x xy（2x）的最小值为 2,无最大值. 综上,选择答案【 BC 】. 12. . 已知实数0, 0yx,且2 14 yx ,则xy的最
19、小值为_,yx的最小 值为_. 解析解析: : 0, 0yx yx 14 xyxy 1 4 4 2 xy 1 42,xy4. 当且仅当 yx 14 ,即1, 4yx时,等号成立. xy的最小值为 4. 2 14 yx ,1 2 12 yx . y x x y yx yx yx 2 2 2 5 2 12 2 9 2 2 2 2 5 y x x y . 当且仅当 y x x y 2 2 ,即 2 3 , 3,2yxyx时,等号成立. yx的最小值为 2 9 . 另解另解: : 2 14 yx , 12 4 y y x. 0, 0yx, 2 1 0 y. 2 12 1 12 12 112212 12
20、 112 12 4 22 2 y y y yy y y y y xy 42 12 1 122 y y. 当且仅当 12 1 12 y y,即1y时,等号成立,此时4x. xy的最小值为 4. 2 5 12 2 2 12 12 212 2 5 12 2 1 12 32 12 4 2 2 y y y yy y yy y y y yx 2 9 2 5 2 2 5 12 2 2 12 2 y y . 当且仅当 12 2 2 12 y y ,即 2 3 y时,等号成立,此时3x. yx的最小值为 2 9 . 13. . 已知ba,是正实数,且032abba,则ab的最小值是_,ba的最 小值是_. 解析
21、解析: : 032abba,abba32 . ba,是正实数 ba2ab22,即ab3ab22. 解之得:ab 9 8 . 当且仅当ba2,即 3 2 , 3 4 ba时,等号成立. ab的最小值是 9 8 . abba32 ,1 12 3 1 ba . a b b a ba baba 2 3 1 1 12 3 1 3 22 1 2 2 3 1 1 a b b a . 当且仅当 a b b a2 ,即 3 12 , 3 22 ba时,等号成立. ba的最小值是 3 22 1. 14. . 已知0, 0yx,且32yx,则xy的最大值为_, xy yx 3 的最小值 为_. 解析解析: : 0,
22、 0yx 32yxxy22,解之得:xy 8 9 . 当且仅当yx2,即 4 3 , 2 3 yx时,等号成立. xy的最大值为 8 9 . x y y x xy yx xyxy yx23 3 1 3 713 2 3 1133 3 62723 3 2 3 7 x y y x . 当且仅当 x y y x23 ,即 10 6318 , 5 363 yx时,等号成立. xy yx 3 的最小值为 3 627 . 另解另解: : 0, 0yx,且32yx 023yx, 2 3 0 y. 8 9 4 3 23223 2 2 yyyyyxy. 2 3 , 0y 当 4 3 y时, 8 9 max xy,
23、此时 2 3 x. 15. . 设20 x,求代数式 2 24xx的最大值. 解析解析: : xxxxxx222224 2 . 20 x,02x. xxxx2224 2 2 2 2 2 xx . 当且仅当xx 2,即1x时,等号成立. 代数式 2 24xx的最大值为2. 16. . 已知cba,为正实数,求证: c a b c a b 222 cba. 证明证明: : cba,为正实数 a b a 2 b a b a22 2 , b c b 2 c2, c a c 2 a2. 当且仅当cba时,上面所有的等号成立. 由不等式的同向可加性得: c a b c a b cba 222 cba222. c a b c a b 222 cba. 17. . 已知0, 0ba,1ba.求证: 2 1 2 1 ba2. 证明证明: : 0, 0ba,0 2 1 2 1 ba. 1ba 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 babababa 412 2 1 2 1 2 baba. 当且仅当 2 1 2 1 ba,即 2 1 ba时,等号成立. 0 2 1 2 1 ba 2 1 2 1 ba2.
