1、第七讲第七讲 对数与对数函数对数与对数函数 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 对数与对数运算 1对数的概念 (1)对数的定义：如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作_x logaN_，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0，且 a1) _logaN_ 常用对数 底数为_10_ _lg N_ 自然对数 底数为_e_ _ln N_ 2对数的性质与运算法则 (1)对数的性质： loga1_0_； logaa_1(其中 a0 且 a1)_. (2)对数恒等式： alogaN_N_
2、.(其中 a0 且 a1，N0) (3)对数的换底公式： logbN_logaN logab_(a，b 均大于零且不等于 1，N0) (4)对数的运算法则： 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)_logaMlogaN_； logaM N_logaMlogaN_； logaMn_nlogaM_(nR) 知识点二 对数函数的图象与性质 1对数函数的定义、图象和性质 定义 函数_ylogax(a0，且 a1)_叫做对数函数 图象 a1 0a1 性质 定义域：_(0，)_ 值域：_(，)_ 当 x1 时，y0，即过定点_(1,0)_ 当 0 x1 时，y0 且 a1)与对数函数_y
3、logax_(a0 且 a1)互为反函数，它们的图 象关于直线_yx_对称 归 纳 拓 展 1指数式与对数式互化 2换底公式的两个重要结论 logab 1 logba； logambnn mlogab. 其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR. 3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数故 0cd1a0，a1)( ) (2)若 MN0，则 loga(MN)logaMlogaN.( ) (3)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (4)ylog2x2不是对数函数，而 ylog2(x)是对数函数( )
4、(5)函数 yln 1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (6)2lg 33lg 2.( ) 解析 (4)ylog2(x)不是对数函数 (6)设 2lg 3M,3lg 2N，则 lg Mlg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg N，MN. 题组二 走进教材 2(必修 1P75T11 改编)写出下列各式的值： (1)log2 2 2 _1 2_； (2)log53log51 3_0_； (3)lg 5 22lg 2 1 2 1_1_； (4)(log29) (log34)_4_. 解析 (1)log2 2 2 log22 1 2 1 2； (2)log53log
5、51 3log510； (3)lg 5 22lg 2 1 2 1lg 5 2lg 4 1 2 1lg 1021； (4)解法一：原式lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 3 2lg 2 lg 2 lg 3 4. 解法二：原式2log23 log24 log23224. 3(必修 1P74AT4 改编)若 lg 2a，lg 3b，则 lg 12 的值为( C ) Aa Bb C2ab D2ab 解析 因为 lg 2a，lg 3b，所以 lg 12lg(43)2lg 2lg 32ab.故选 C 4(必修 1P74AT7 改编)函数 ylog2 3 2x1的定义域是_ 1 2，1 _. 解
6、析 log2 3 (2x1)0，即 02x11， 解得1 21 时，图象越 靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2对应的 a 值分虽为 2,3.又因为 C3，C4为减函数，可知它们 的底数都小于 1，此时 x1 时，图象越靠近 x 轴，其底数越小，所以 C3，C4对应的 a 分别1 3， 1 2.综上可得 C1，C2，C3，C4的 a 值依次为 2,3， 1 3， 1 2. 解法二：可以画直线 y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大 题组三 走向高考 6(2020 课标，10,5 分) 设 alog32，blog53，c2 3，则( A ) Aacb Babc Cbca Dcab 解析 因
7、为 alog32log338log53252 3c，所以 ac0， 得 x4.因此， 函数 f(x)ln(x22x8)的定义域是(， 2)(4，)注意到函数 yx22x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知， f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)，选 D 考点突破 互动探究 考点一 对数与对数运算自主练透 例 1 (1)lg 27lg 83lg 10 lg 1.2 _3 2_. (2)(log32log92) (log43log83)_5 4_. (3)(2021 保定模拟)设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m_ 10_. (4)若 loga2m，loga3n，则
8、a2m n_12_，用 m，n 表示 log 46 为_mn 2m _. 解析 (1)解法一：原式lg3 31 2 lg 233lg 10 1 2 lg 322 10 3 2lg 33lg 2 3 2lg 10 lg 32lg 21 3 2lg 32lg 21 lg 32lg 21 3 2. 解法二：原式 3 2lg 3 3 2lg 4 3 2 lg 1.2 3 2lg 1.2 lg 1.2 3 2. (2)原式 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2 3lg 2 2l
9、g 3 5lg 3 6lg 2 5 4. (3)因为 2a5bm，所以 alog2m，blog5m， 所以1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlogm2logm5logm102，所以 m 210，m 10. (4)因为 loga2m， loga3n， 所以 am2， an3， a2m n(am)2an22312， log 46log a6 loga4 loga2loga3 2loga2 mn 2m .故填 12；mn 2m . 考点二 对数函数的图象与性质 考向 1 对数函数的图象及其应用师生共研 例 2 (1)(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，yloga
10、 x1 2 (a0，且 a1)的图象可能是( D ) (2)(2020 合肥月考)当 0 x1 2时，4 x0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是( B ) A 0， 2 2 B 2 2 ，1 C(1， 2) D( 2，2) 解析 (1)解法一：当 a1 时，函数 yax的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递增， 于是函数 y 1 ax的图象过定点(0,1)，在 R 上单调递减， 函数 yloga x1 2 的图象过定点 1 2，0 ，在 1 2， 上单调递增 显然 A、B、C、D 四个选项都不符合 当 0a1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在 (0，1 2上的图象，可知，f
11、1 2 g 1 2 ，即 2 2 2 ，所以 a 的取值范围为 2 2 ，1 . 本题还有以下解法： 因为 0 x1 2，所以 14x1， 所以 0a1，排除选项 C，D；取 a1 2，x 1 2， 则有 4 1 2 2，log1 2 1 21，显然 4 xlog ax 不成立，排除选项 A故选 B 名师点拨 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 变式训练 1 (1)函数 f(x)loga|x
12、|1(0a1)的图象大致为( A ) (2)若不等式 x2logax0 时， g(x)的图象， 然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x0 时 g(x)的图象， 最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A (2)由 x2logax0 得 x2logax， 设 f1(x)x2，f2(x)logax， 要使 x 0，1 2 时，不等式 x21 时，显然不成立； 当 0a1 时，如图所示， 要使 x2logax 在 x 0，1 2 上恒成立， 需 f1 1 2 f2 1 2 ， 所以有 1 2 2log a1 2，解得 a 1 16，所以 1 16a
13、1. 即实数 a 的取值范围是 1 16，1 . 考向 2 对数函数的性质及其应用多维探究 角度 1 比较对数值的大小 例 3 (2020 课标，12,5 分)已知 5584,13485.设 alog53，blog85，clog138，则 ( A ) Aabc Bbac Cbca Dcab 解析 alog53(0,1)，blog85(0,1)，则a b log53 log85log53 log58 log53log58 2 2 log524 2 21，ab. 又13485，1351385，两边同取以 13 为底的对数得 log131354 5，c 4 5. 又5584，85585，两边同取以
14、8 为底的对数得 log8(855)log885，即 log854 5， bba，故选 A 角度 2 利用对数函数单调性求参数的取值范围 例 4 (理)(2021 华南师大附中模拟)已知函数 f(x)log0.5(x2ax3a)在2， )上单 调递减，则实数 a 的取值范围是( D ) A(，4 B4，) C4,4 D(4,4 (文)函数 yloga(2ax)在区间0,1上是减函数，则 a 的取值范围是( C ) A(0,1) B(0,2) C(1,2) D(2，) 分析 函数 f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，说明在2，)上，函数 t x2ax3a0 成立，且为增函数
15、解析 (理)函数 f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减函数 tx2ax3a 在 2，)上单调递增，且 t0 222a3a0， a 22 40，2ax 在区间0,1上是减函数ylogau 应为增函数，且 u2 ax 在区间0,1上应恒大于零， a1， 2a0， 1a0， log1 2x，xf(a)， 则实数 a 的取值范围是( C ) A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 解析 由题意得 a0， log2alog2a 或 alog2a， 解得 a1 或1af(2)1，排除 A、D 令 a2，由 f(2)1f(2)1，排除 B，选
16、 C 名师点拨 1比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行 判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以 先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行 比较 2解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 变式训练 2 (1)(角度 1)(2020 天津，6,5 分)设 a30.7，b 1 3 0.8，clog 0.70.8，则 a，b，c 的大小关 系为( D ) Aabc Bbac Cbca Dca0)单调递减，可知 a30.7301，b 1 3 0.830.830.
17、7a，clog 0.70.8log0.70.71，即 c1ab，故选 D (2)由题意得：ylog1 2 (x24x5)增区间为(2,5)， 所以 3m22 m25 3m2m2 ，解得 m 4 3，2 ，故选 C (3)log0.25alog1 4 alog4a 且 f(x)为偶函数， f(log4a)f(log0.25a)2f(1)可化为 f(log4a)f(1)， 又 f(x)在0，)内单调递增，|log4a|1， log41 41log4a1log44， 1 4a4，故选 B 名师讲坛 素养提升 有关对数运算的创新应用问题 例 6 (2020 全国新高考， 6)基本再生数 R0与世代间隔
18、 T 是新冠肺炎的流行病学基 本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均 时间 在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型： I(t)ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单 位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 1rT 有学者基于已有数据估计出 R03.28， T6.据此， 在新冠肺炎疫情初始阶段， 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)( B ) A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 解析 因为 R03.28，T6，T01rT， 所以 r3.281 6 0.38， 所以 I(t)e
19、rte0.38t， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1天， 则 e0.38(tt1)2e0.38t，所以 e0.38t12， 所以 0.38t1ln 2， 所以 t1ln 2 0.38 0.69 0.381.8 天故选 B 名师点拨 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对 数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化， 有助于提升学生的转化能力和数学运算能力 变式训练 3 里氏震级 M 的计算公式为 Mlg Alg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时 标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_6_级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最 大振幅的_10 000_倍 解析 根据题意，由 lg 1 000lg 0.0016 得此次地震的震级为 6 级，因为标准地震 的振幅为 0.001，设 9 级地震的最大振幅为 A9，则 lg A9lg 0.0019，解得 A9106，同理 5 级地震的最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍
