1、第四讲第四讲 基本不等式基本不等式 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 重要不等式 a2b2_2ab_(a，bR)(当且仅当_ab_时等号成立) 知识点二 基本不等式 abab 2 (均值定理) (1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_； (2)等号成立的条件：当且仅当_ab_时等号成立； (3)其中ab 2 叫做正数 a，b 的_算术平均数_， ab叫做正数 a，b 的_几何平均数_. 知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)， 那么当_xy_时，xy 有最小值 2 P.(简记：“积定和最小”) (2)如果 x，y(0，)，且 x
2、yS(定值)， 那么当 xy 时，xy 有最大值S 2 4 .(简记：“和定积最大”) 归 纳 拓 展 常用的几个重要不等式 (1)ab2 ab(a0，b0)(当且仅当 ab 时取等号) (2)ab ab 2 2(a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) (3) ab 2 2a 2b2 2 (a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) (4)b a a b2(a，b 同号)(当且仅当 ab 时取等号) (5) 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a，b0 当且仅当 ab 时取等号) 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 f(x)
3、cos x 4 cos x，x 0， 2 的最小值等于 4.( ) (2)“x0 且 y0”是“x y y x2”的充要条件( ) (3)(ab)24ab(a，bR)( ) (4)若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) (5)不等式 a2b22ab 与ab 2 ab有相同的成立条件( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( ) 题组二 走进教材 2(必修 5P100练习 T1 改编)若 x0，则 x1 x( D ) A有最小值，且最小值为 2 B有最大值，且最大值为 2 C有最小值，且最小值为2 D有最大值，且最大值为2 解析 因为 x0，x 1 x2，当且仅当 x
4、1 时，等号成立，所以 x 1 x2. 3(必修 5P100练习 T3 改编)设 0ab，则下列不等式中正确的是( B ) Aab abab 2 Ba abab 2 b Ca abbab 2 D abaab 2 b 解析 解法一(特值法)：代入 a1，b2，则有 0a1 ab 2ab 2 1.5b2. 解法二(直接法)：我们知道算术平均数ab 2 与几何平均数 ab的大小关系，其余各式作 差(作商)比较即可，答案为 B 4(必修 5P100A 组 T2 改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的 最大面积是_25_m2. 解析 设矩形的一边为 x m，面积为 y m2，
5、则另一边为1 2(202x)(10 x)m，其中 0 x0，y0，x2y4，则x12y1 xy 的最小值为_9 2_. 解析 x12y1 xy 2xyx2y1 xy 2xy5 xy 2 5 xy. x0，y0，4x2y2 x 2y，解得 00，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小 值为_4_. (2)(2021 吉林模拟)已知 x2，若 f(x)x 1 x2在 xn 处取得最小值，则 n( B ) A5 2 B3 C7 2 D4 (3)(2021 重庆南开中学质检)已知实数 a，b1，且满足 abab5，则 2a3b 的最小 值为_17_. 解析 (1) 1 2a 1 2b
6、 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab2 ab 2 8 ab4，当且仅当 ab 2 8 ab，即(ab) 216，也即 ab4 时取等号又ab1， a2 3， b2 3 或 a2 3， b2 3 时取等号， 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. (2)由 f(x)x 1 x2(x2) 1 x224，当且仅当 x2 1 x20，即 x3 时，取得 等号，故选 B (3)由 abab56(a1)(b1) 36(2a2)(3b3) 2a23b3 2 2 则 2a3b17，当且仅当 a4，b3 取最小值 引申f(x)x 1 x2的值域为_(，04，)_. 解析 f(x)(x2)
7、 1 x22， |(x2) 1 x2|x2| 1 |x2|2 (当且仅当|x2|1 即 x3 或 1 时取等号) (x2) 1 x22 或 x2 1 x22， f(x)4 或 f(x)0， 即 f(x)的值域为(，04，) 名师点拨 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等“一正”不满足时，需 提负号或加以讨论， “二定”不满足时， 需变形， “三相等”不满足时， 可利用函数单调性 (2)求乘积的最值同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出 积为常数 角度 2 换元法求最值 例 2 (1)已知 x5 4，求函数 y 16x228x11
8、4x5 的最小值； (2)(2021 百校联盟尖子生联考)已知 a，bR ，且 a2bab16，则 ab 的最小值为 ( B ) A16 B32 C64 D128 思路 (1)通过换元转化为形如 AxB xC 形式的函数 解析 (1)设 4x5t，则 xt5 4 .x5 4，t0. y 16 t5 4 228 t5 4 11 t t 23t1 t t1 t3235. 当且仅当 t1 即 x3 2时，上式取“”号 x3 2时，ymin5. (2)ab16a2b2 2ab，令 abt， 则 t22 2t160t2 2 72 2 4 2， 故 ab32，即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a8，b
9、4 时取等号)故选 B 答案 (1)5 角度 3 常数代换法求最值 例 3 (1)已知正数 x，y 满足 x2y4，则2 x 1 y最小值为_2_； (2)已知正数 x，y 满足8 x 1 y1，则 x2y 的最小值为_18_. 思路 (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值 解析 (1)2 x 1 y 2 x 1 y (x2y)1 4 1 4 4x y 4y x 1 4 42 x y 4y x 2. 当且仅当x y 4y x ，即 4y2x2， x2y4 x2， y1 时取等号 (2)解法一：x2y 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x
10、 18，当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x 即 x12， y3 时“”成立，故 x2y 的最小值是 18. 解法二(消元法)：由8 x 1 y1，得 y x x8，由 y0 x x80，又 x0 x8，则 x2yx 2x x8x 2x816 x8 x2 16 x8(x8) 16 x8102 x816 x81018， 当且 仅当 x8 16 x8，即 x12(x4 舍去)，y3 时，“”成立，故 x2y 的最小值为 18. 名师点拨 常数代换法的技巧 (1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过 代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等
11、式求最值 (2)利用常数代换法求解最值应注意：条件的灵活变形，常数化成 1 是代数式等价变 形的基础； 利用基本不等式求最值时“一正、 二定、 三相等”的检验， 否则容易出现错解 变式训练 1 (1)(角度 1)(2021 宁夏银川一中月考)已知正数 x、 y 满足 xy1， 则1 x 4 1y的最小值为 ( B ) A2 B9 2 C14 3 D5 (2)(角度 2)(2021 山东师大附中模拟)若正数 x，y 满足 x5y3xy，则 5xy 的最小值为 _12_； (3)(角度 3)(2020 天津七校期中联考)已知 a0，b0，且 1 a1 1 b1，求 ab 的最小值 _3_. 解析
12、(1)xy1，所以 x(1y)2， 则 2 1 x 4 1y x(1y) 1 x 4 1y 4x 1y 1y x 52 4x 1y 1y x 59， 所以1 x 4 1y 9 2， 当且仅当 4x 1y 1y x xy1 ，即当 x2 3 y1 3 时取等号 1 x 4 1y的最小值为 9 2，故选 B (2)x0，y0，x5y3xy，即5 x 1 y3， 5xy1 3 5 x 1 y (5xy) 1 3 265y x 5x y 1 3 262 5y x 5x y 12， (当且仅当 xy2 时取等号) 5xy 的最小值为 12， 另解：x0，y0，x5y3xy，即 x 5y 3y1， 令 3
13、y1t，则 yt1 3 ，(t0)， 5xy 25y 3y1y 25 3 11 t t1 3 26 3 1 3 25 t t 26 3 2 3 25 t t12. (当且仅当 t5，即 xy2 时取等号) 5xy 的最小值为 12. (3)a0，b0，且 1 a1 1 b1， ab(a1)b1 1 a1 1 b (a1)b1 b a1 a1 b 12 b a1 a1 b 13， 当且仅当 a1b，即 a1，b2 时取等号， ab 的最小值为 3， 另解：(换元法)由 1 a1 1 b1 得 b1 1 a，(a0)， aba1 a12 a 1 a13， 当且仅当 a1，b2 时取等号， ab 的
14、最小值为 3. 考点二 利用基本不等式求参数的范围师生共研 例 4 若正数 a，b 满足 abab3，则 (1)ab 的取值范围是_9，)_； (2)ab 的取值范围是_6，)_. 解析 (1)abab32 ab3， 令 t ab0，t22t30，(t3)(t1)0. t3 即 ab3，ab9，当且仅当 ab3 时取等号 (2)abab3，ab3 ab 2 2. 今 tab0，t24t120，(t6)(t2)0. t6 即 ab6，当且仅当 ab3 时取等号 名师点拨 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法 另外， 本例第二问也可用如下方法求解： 由已知 ba3 a10， a10， aba a
15、3 a1 aa14 a1 a1 4 a1(a1) 4 a126.当且仅当 ab3 时取等号 变式训练 2 (2020 黑龙江哈尔滨三中期中)已知 x0， y0， x2y2xy8， 则 x2y的最小值是_4_. 解析 解法一：x0，y0，x2y2xy8. (2y1)(x1)9 且 x10,2y10 x2y(2y1)(x1)22 2y1 x124.(当且仅当x2， y1时取等号) x2y 的最小值为 4. 解法二：x0，y0，2xy 2yx 2 22yx 4 2(当且仅当 x2，y1 时取等号) 又 x2y2xy8， x2yx2y 4 28， (x2y4)(x2y8)0， x2y40，即 x2y4
16、 (当且仅当 x2，y1 时取等号) x2y 的最小值为 4. 解法三：x0，y0，x2y2xy8， x82y 12y 9 2y11， x2y 9 2y1(2y1)22 9 2y1 2y124(当且仅当 y1 时取等号) x2y 的最小值为 4. 秒杀解法：x2y2xy8，即 x2yx 2y8.由条件及结论关于 x、2y 的对称性知当 x 2y2 时 x2y 取最小值为 4. 考点三 利用基本不等式解决实际问题师生共研 例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚， 大棚周围均是宽为 1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为 S m2，其中 ab12，则
17、S 的最大值为_1 568_. 解析 由题意可得 xy1 800，b2a，x3，y3， 则 yab33a3， 所以 S(x2)a(x3)b(3x8)a (3x 8)y3 3 1 8083x8 3y 1 8083x8 3 1 800 x 1 808 3x4 800 x 1 80823x4 800 x 1 8082401 568， 当且仅当 3x4 800 x ，即 x40，y45 时等号成立，S 取得最大值， 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值为 1 568. 名师点拨 应用基本不等式解决实际问题的步骤：仔细阅读题目，深刻理解题意；找出题目中 的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量
18、，把要求最值的量设为函数；利用基本 不等式求出最值；再还原成实际问题，作出解答 变式训练 3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池， 其容积为 4 800 m3， 深度为 3 m 如果池底每 1 m2 的造价为 150 元，池壁每 1 m2的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周 长为_160_m. 解析 设水池底面一边的长度为 x m，则另一边的长度为4 800 3x m， 由题意可得水池总造价 f(x)1504 800 3 120 23x234 800 3x 240 000720 x1 600 x (x0)， 则 f(x)720 x1 600 x 240 000 7202x
19、1 600 x 240 000 720240240 000297 600， 当且仅当 x1 600 x ，即 x40 时，f(x)有最小值 297 600， 此时另一边的长度为4 800 3x 40(m)， 因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为 160 m. 名师讲坛 素养提升 基本不等式的综合应用 角度 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 6 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则Sn8 an 的最 小值是_9 2_. 解析 ana1(n1)dn，Snn1n 2 ， 所以Sn8 an n1n 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n 1
20、6 n 1 9 2， 当且仅当 n4 时取等号，所以Sn8 an 的最小值是9 2. 角度 2 求参数值或取值范围 例 7 已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小 值为( B ) A2 B4 C6 D8 解析 已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(xy) 1 x a y 的 最小值大于或等于 9， 1ay x ax y a2 a1， 当且仅当 y ax 时，等号成立， a2 a19， a2 或 a4(舍去)，a4， 即正实数 a 的最小值为 4，故选 B 名师点拨 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基
21、本不等式确定相关成立条件，从而得参数的 值或范围 变式训练 4 (1)(角度 1)已知函数 f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2， 则8ab ab 的最小值是( B ) A10 B9 C8 D3 2 (2)设 x0，y0，不等式1 x 1 y m xy0 恒成立，则实数 m 的最小值是_4_. 解析 (1)由函数 f(x)ax2bx，得 f(x)2axb， 由函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为 2， 所以 f(1)2ab2， 所以8ab ab 1 a 8 b 1 2 1 a 8 b (2ab) 1 2 10b a 16a b 1 2 102 b a 16a b 1 2(108)9， 当且仅当b a 16a b ，即 a1 3，b 4 3时等号成立， 所以8ab ab 的最小值为 9，故选 B (2) 原问题等价于 m xy 1 x 1 y 恒成立， x0，y0，等价于 m 1 x 1 y (xy)的最大值 而 1 x 1 y (xy)2 y x x y 224，当且仅当 xy 时取“”，故 m 4.
