1、第六讲第六讲 空间向量及其运算空间向量及其运算(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 空间向量的有关概念 1空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有_大小_和_方向_的量叫做空间向量，其大小叫做向量 的_长度_或_模_ (2)相等向量：方向_相同_且模_相等_的向量 (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_平行_或_重合_，则这些向 量叫做_共线向量_或_平行向量_ (4)共面向量：平行于同一_平面_的向量叫做共面向量 2空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在唯一确定的 R，使 a b (2)共面向量定理：
2、若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有 序实数对(x，y)，使 pxayb (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个 唯一的有序实数组x，y，z使得 pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a， b 的夹角，记作_a，b_，其范围是_0a，b_，若a，b 2，则称 a 与 b_ 互相垂直_，记作 ab 向量 a，b 的数量积 a b_|a|b|cosa，b_ (2)空间向量数量积的运算律
3、 结合律：(a) b(a b)； 交换律：a bb a； 分配律：a (bc)_a ba c_ 知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量表示 坐标表示 数量积 a b _a1b1a2b2a3b3_ 共线 ab(b0) _a1b1，a2b2，a3b3_ 垂直 a b0 (a0，b0) _a1b1a2b2a3b30_ 模 |a| _ a2 1a 2 2a 2 3_ 夹角 a，b (a0，b0) cosa，b _ a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23_ 归 纳 拓 展 1向量三点共线定理 在平面中 A，B，C 三点共线
4、的充要条件是：OA xOB yOC (其中 xy1)，O 为平面内 任意一点 2向量四点共面定理 在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC (其中 xyz1)， O 为空间中任意一点 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面( ) (2)在向量的数量积运算中(a b) ca (b c)( ) (3)对于非零向量 b，由 a bb c，则 ac( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BCCD DA
5、0( ) (6)若 a b0，则a，b是钝角( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1 的交点若AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是( A ) A1 2a 1 2bc B1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D1 2a 1 2bc 解析 BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB )c1 2(ba) 1 2a 1 2bc 3(必修 2P98T3)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长 为_ 2_ 解析 |EF |
6、2EF2(ECCD DF )2EC 2CD2DF22(EC CD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120 021cos 120 )2， |EF | 2，EF 的长的 2 题组三 走向高考 4(2018 课标)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1 与 DB1所成角的余弦值为( C ) A1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 解析 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，AB BC1，AA1 3，A(1,0,0)，D1(0，0， 3)，D(0,0,0)，B1(1,1， 3)，
7、AD1 (1,0， 3)， DB1 (1,1， 3)，设异面直线 AD1与 DB1所成的角为 ，则 cos |AD1 DB1 | |AD1 |DB1 | 2 2 5 5 5 ， 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 ，故选 C 5(2020 江苏，22)在三棱锥 ABCD 中，已知 CBCD 5，BD2，O 为 BD 的中点， AO平面 BCD，AO2，E 为 AC 的中点 求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值 解析 连接 OC，因为 CBCD，O 为 BD 的中点， 所以 COBD 又 AO平面 BCD，所以 AOOB，AOOC 以OB ，OC ，OA 为基底，建立空间直角坐
8、标系 Oxyz 因为 BD2，CBCD 5，AO2， 所以 B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2) 因为 E 为 AC 的中点，所以 E(0,1,1) 则AB (1,0，2)，DE (1,1,1)， 所以|cosAB ，DE | |AB DE | |AB | |DE | |102| 5 3 15 15 因此，直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 15 15 考点突破 互动探究 考点一 空间向量的线性运算自主练透 例 1 (1)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 化简A1O 1 2AB 1 2AD _A1A _ 用AB ，AD ，A
9、A1 ，表示OC1 ，则OC1 _1 2AB 1 2AD AA1 _ (2)在三棱锥 OABC 中， M， N 分别是 OA， BC 的中点， G 是ABC 的重心， 用基向量OA ， OB ，OC 表示MG ，OG 解析 (1)A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2(AB AD )A1O AO A1O OA A1A 因为OC 1 2AC 1 2(AB AD ) 所以OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 (2)MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3(ON OA ) 1 2OA 2 3 1 2(OB OC )OA 1 6
10、OA 1 3OB 1 3OC OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 1 3OA 1 3OB 1 3OC 名师点拨 (1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转 化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基 向量表示出来 (2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把 这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 变式训练 1 (1)如图所示， 在空间几何体 ABCDA1
11、B1C1D1中， 各面为平行四边形， 设AA1 a， AB b， AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： AP _ac1 2b_； MP NC1 _3 2a 1 2b 3 2c_ (2)(2021 晋江模拟)设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC ，则(x，y，z)为_ 1 4， 1 4， 1 4 _ 解析 (1)因为 P 是 C1D1的中点， 所以AP AA 1 A1D1 D1P aAD 1 2D1C1 ac1 2AB ac1 2b 因为 M 是 AA1的中
12、点， 所以MP MA AP 1 2A1A AP 1 2a ac1 2 b 1 2a 1 2bc 又NC1 NC CC1 1 2BC AA 1 1 2AD AA1 1 2ca， 所以MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2 c 3 2a 1 2b 3 2c (2)如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE 则OG 3 4OG1 3 4(OA AG1 )3 4OA 1 2AE 3 4OA 1 4(AB AC)3 4OA 1 4(OB OA OC OA )1 4(OA OB OC )，xyz1 4 考点二 空间向量共线、共面定理的应用师生共研 例 2 如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，
13、点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且 满足AM kAC1 ，BN kBC(0k1) (1)向量MN 是否与向量AB ，AA 1 共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？ 解析 (1)AM kAC1 ，BN kBC， MN MA AB BNkC 1A AB kBC k(C1A BC )ABk(C 1A B1C1 )AB kB1A AB ABkAB 1 AB k(AA 1 AB ) (1k)AB kAA 1 ， 由共面向量定理知向量MN 与向量AB ，AA 1 共面 (2)当 k0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合， MN 在平面 ABB1A1内，当 0k1 时， MN
14、 不在平面 ABB1A1内， 又由(1)知MN 与AB 、AA 1 共面， 所以 MN平面 ABB1A1 名师点拨 1证明空间三点 P、A、B 共线的方法 (1)PA PB(R)； (2)对空间任一点 O，OP OA tAB (tR)； (3)对空间任一点 O，OP xOA yOB (xy1) 2证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)MP xMA yMB ； (2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB ； (3)对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB (xyz1)； (4)PM AB (或PAMB 或PB AM ) 变式
15、训练 2 已知 A， B， C 三点不共线， 对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足OM 1 3(OA OB OC ) (1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解析 (1)由题知OA OB OC 3OM ， 所以OA OM (OM OB )(OM OC )， 即MA BM CM MB MC ， 所以MA ，MB ，MC 共面 (2)由(1)知，MA ，MB ，MC 共面且基线过同一点 M， 所以 M，A，B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内 考点三,空间向量的坐标运算师生共研 例 3 (2021 安庆模拟)已知空间三点
16、 A(2,0,2)， B(1， 1,2)， C(3,0,4)， 设 aAB ， bAC (1)若|c|3，且 cBC ，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值； (4)若 (ab)(ab)与 z 轴垂直，求 ， 应满足的关系 解析 (1)cBC ， 所以 cmBC m(2，1,2)(2m，m,2m) 所以|c| 2m2m22m23|m|3 即 m 1所以 c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)因为 a(1,1,0)，b(1,0,2)， 所以 a b(1,1,0) (1,0,2)1 又|a| 121202 2， |b| 12
17、0222 5， 所以 cosa，b a b |a| |b| 1 10 10 10 所以 a 和 b 夹角的余弦值为 10 10 (3)解法一：因为 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，所以(k1，k,2)(k2，k， 4)(k1)(k2)k280 所以 k2 或 k5 2 即当 kab 与 ka2b 互相垂直时，k2 或 k5 2 解法二：由(2)知|a| 2，|b| 5，a b1， 所以(kab) (ka2b)k2a2ka b2b22k2k100，得 k2 或 k5 2 (4)因为 ab(0,1,2)，ab(2,1，2)， 所以 (ab)(ab)(2，22) 因为(ab)(ab
18、) (0,0,1)220， 即当 ， 满足关系 0 时，可使 (ab)(ab)与 z 轴垂直 名师点拨 空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用 利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂 直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口 变式训练 3 (1)与向量(3，4,5)共线的单位向量是( A ) A 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 和 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 B 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 C 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 D 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 或 3 2 10 ，2 2 5 ，
19、 2 2 (2)已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k( D ) A1 B4 3 C5 3 D7 5 解析 (1)与向量 a(3，4,5)共线的单位向量为a |a| 1 5 2(3，4,5) 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 或 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 (2)由题意，得 kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，所以(kab) (2ab)3(k1) 2k225k70，解得 k7 5 名师讲坛 素养提升 向量在立体几何中的简单应用 例 4 (1)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 3AD 3AA1 3，点 P
20、 为 线段 A1C 上的动点，则下列结论错误的是( B ) A当A1C 2A1P 时，B1，P，D 三点共线 B当AP A 1C 时，AP D 1P C当A1C 3A1P 时，D1P平面 BDC1 D当A1C 5A1P 时，A1C平面 D1AP (2)(2021 广东珠海期末改编)已知球 O 的半径为 2，A，B 是球面上的两点，且 AB2 3， 若点 P 是球面上任意一点，PA PB的取值可能是：2；0；2；4 则其中正确的有( )个( D ) A1 B2 C3 D4 (3)二面角 l 为 60 ，A，B 是棱 l 上的两点，AC，BD 分别在半平面 ， 内，AC l，BDl，且 ABACa
21、，BD2a，则 CD 的长为( A ) A2a B 5a Ca D 3a 解析 (1)如图建立空间直角坐标系，A1(1,0,1)，C(0， 3，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1， 3，1)，D(0,0,0)， 当A1C 2A1P 时，A1P 1 2， 3 2 ，1 2 ， DP DA1 A1P 1 2， 3 2 ，1 2 ，而DB1 (1， 3，1)， DP 1 2DB1 ， B1、P、D 三点共线，A 正确； AP AA 1 A1P AA1 A1C (， 3，1) 当AP A 1C 时，AP A 1C 510，1 5， AP D 1P 1 5， 3 5 ，4 5 4 5，
22、 3 5 ，1 5 1 50， AP D 1P 错； 当A1C 3A1P 时，A1P 1 3， 3 3 ，1 3 ， D1P A1P A1D1 2 3， 3 3 ，1 3 ， 又DB (1， 3，0)，DC1 (0， 3，1)， D1P 2 3DB 1 3DC1 ， D1P平面 BDC1，C 正确； 当A1C 5A1P 时，A1P 1 5， 3 5 ，1 5 ， 从而AP 1 5， 3 5 ，4 5 ， 又AD1 A1C (1,0,1) (1， 3，1)0， A1CAD1， AP A 1C (1 5， 3 5 ，4 5) (1， 3，1)0， A1CAP， A1C平面 D1AP，D 正确，故选
23、 B (2)由球 O 的半径为 2，A，B 是球面上的两点， 且 AB2 3，可得AOB2 3 ， OA OB 22(1 2)2，|OA OB |2， PA PB(OA OP ) (OB OP )OA OB (OA OB ) OP OP 22|OA OB | |OP |cos 424cos 2，6，故都正确，选 D (3)ACl，BDl， AC ，BD 60 ，且AC BA0，AB BD 0， CD CA ABBD |CD |CA ABBD 2 a2a22a22a 2a cos 120 2a故选 A 例 5 如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90 ，D，E 分别为棱 AB，
24、BB的中点 (1)求证：CEAD； (2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值 解析 解法一：由题意可知 CA、CB、CC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设 ACBCAA2a， 则CE (0,2a，a)，AD (a，a，2a)，AC (2a,0,2a) (1)CE AD 02a22a20， CE AD ，即 CEAD (2)记异面直线 CE 与 AC所成角为 ， 则 cos |cosCE ，AC | |CE AC | |CE | |AC | 002a 2 5a 2 2a 10 10 解法二：(1)证明：设CA a，CBb，CC c， 根据题意得|a|b|c|， 且 a bb cc a0
25、， CE b1 2c，AD c1 2b 1 2a， CE AD 1 2c 21 2b 20， CE AD ，即 CEAD (2)AC ac，|AC | 2|a|，CE b1 2c， |CE |5 2 |a|， AC CE (ac) b1 2c 1 2c 21 2|a| 2， cosAC ，CE AC CE |AC |CE | 1 2|a| 2 2 5 2 |a|2 10 10 ， 即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 10 10 名师点拨 空间向量数量积的应用中的主要题型 (1)求夹角：设向量 a，b 所成的角为 ，则 cos a b |a|b|，进而可求两异面直线所成的角 (2)求长度
26、(距离)：运用公式|a|2a a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算 问题 (3)解决垂直问题：利用 aba b0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计 算问题 注：若几何体中存在两两垂直的三线，可建空间直角坐标系，“坐标化”求解 变式训练 4 (1)如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且 两两夹角为 60 则 AC1_ 6_；BD1与 AC 夹角的余弦值为_ 6 6 _ (2)(2021 湖南省六校联考)如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，底面是边长为 a 的菱形， BAD60 ，AA12a，则直线 A1C1与 B
27、1C 成角的余弦值为_ 15 10 _ 解析 (1)记AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， a bb cc a1 2 |AC1 |2(abc)2 a2b2c22(a bb cc a) 1112 1 2 1 2 1 2 6 |AC1 | 6，即 A1C 的长为 6 又BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3 BD1 AC (bca) (ab) b2a2a cb c1 BD1 ，AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 (2)连接 AC、BD 相交于 O， 四边形 ABCD 是菱形，ABCD， 如图建立空间直角坐标系， 则 B1(0，a 2，2a)，C 3 2 a，0，0 ，C1 3 2 a，0，2a ，A1 3 2 a，0，2a ， A1C1 ( 3a,0,0)，CB1 3 2 a，a 2，2a ， 记 B1C 与 A1C1所成角为 ，则 cos |A1C1 CB1 | |A1C1 |CB1 | 3 2a 2 3a 5a 15 10 注：本题也可连 AC、AB1，解AB1C，求 cosACB1即可
