1、检测十检测十计数原理、随机变量及其分布计数原理、随机变量及其分布 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1(2020长沙模拟)已知随机变量B 3，1 2 ，则 E()等于() A3B2C.3 2 D.1 2 答案C 解析随机变量B 3，1 2 ， 则 E()31 2 3 2，故选 C. 2(2020临沂质检)某同学通过英语听力测试的概率为1 2，他连续测试 n 次，要保证他至少有 一次通过的概率大于 0.9，那么 n 的最小值是() A3B4C5D6 答案B 解析由题意可得 1C0n 11 2 n0.9(nN*)，求得 1
2、2 n0.1，n4. 3已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布 N(90,64)现从该产品的生 产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有() 附：若 XN(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5. A8 186 件B6 826 件C4 772 件D2 718 件 答案A 解析依题意，产品的质量 X(单位：千克)服从正态分布 N(90,64)，得90，8， P(82X106)0.954 50.954 50.682 7 2 0.818 6， 质量在区间(82,106)内的产品估计有 10 0000.818 68 1
3、86 件 4. (1x3)(1x)9的展开式中 x4的系数为() A124B135C615D625 答案B 解析当第一个因式取 1 时，后面因式应取 x4对应的通项 C4915(x)4126x4,1126x4 126x4，对应 x4系数为 126， 当第一个因式取x3时， 后面因式应取 x 对应的通项 C1918(x)19x， x3(9x)9x4， 对应 x4系数为 9， 所以(1x3)(1x)9的展开式中 x4的系数为 1269135. 5(2020山东九校联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子， 里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和
4、爸爸约定，每 次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则 吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还 剩 2 支香烟”的概率为() A.1 5 B. 8 15 C.3 5 D. 3 20 答案D 解析由题意知， 第四次取到的是口香糖， 前三次中恰有两次口香糖一次香烟， 记香烟为 A1， A2，A3，口香糖为 B1，B2，B3，进行四次取物，基本事件总数为 6543360(种)， 事件“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118(种)， 糖、烟、糖、糖：332118(种)， 糖、糖、烟
5、、糖：323118(种)， 包含的基本事件个数为 54， 所以其概率为 54 360 3 20. 6某校组织最强大脑PK 赛，最终 A，B 两队讲入决赛，两队各由 3 名选手组成，每局 两队各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2 3，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队 的得分高于 B 队的得分的概率为() A. 8 27 B.4 9 C.16 27 D.20 27 答案C 解析比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分可分为以下 3 种情况： 第一局：A 队赢，第二局：A 队赢，第三局：A 队
6、赢； 第一局：A 队赢，第二局：B 队赢，第三局：A 队赢； 第一局：B 队赢，第二局：A 队赢，第三局：A 队赢， 则对应概率为 2 3 3 2 3 21 3 2 16 27. 7口袋中装有 5 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 0,1,2,3,4，从中任取 3 个球，以 表示取出球的最大号码，则 E()等于() A3.55B3.5C3.45D3.4 答案B 解析依题意知可取 2,3,4，则 P(2) 1 C35 1 10， P(3)C 2 3 C35 3 10，P(4) C24 C35 6 10， 所以 E()2 1 103 3 104 6 103.5. 8(2020广州模拟)已知随
7、机变量满足下列分布列，当 p(0,1)且不断增大时() 012 P(1p)22p(1p)p2 A.E()增大，D()增大 BE()减小，D()减小 CE()增大，D()先增大后减小 DE()增大，D()先减小后增大 答案C 解析由题意可知，随机变量满足二项分布， 即B(2，p)， 易得 E()2p，D()2p(1p)， 所以当 0p1 且不断增大时，E()增大，D()先增大后减小 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9下列随机变量中是离散型随机变量的是() A广州白云机场候机室中一天的旅客数量 X
8、B广州某水文站观察到一天中珠江的水位 X C深圳欢乐谷一日接待游客的数量 X D虎门大桥一天经过的车辆数 X 答案ACD 解析A，C，D 中的随机变量 X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它 们是离散型随机变量；B 中的随机变量 X 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序 一一列出，故不是离散型随机变量，故选 ACD. 10下列等式中，正确的是() A(n1)AmnAm 1 n1B. n！ nn1(n2)! CCmn Amn n！ D. 1 nmA m1 nAmn 答案ABD 解析对于 A，(n1)Amn(n1) n！ nm！ n1！ nm！ n1！ n1m1！A m1
9、 n1，正确； 对于 B， n！ nn1 nn1n2321 nn1 (n2)！ ，正确； 对于 C，Cmn Amn m！ Amn n！，错误； 对于 D， 1 nmA m1 n 1 nm n！ nm1！ n！ nm！A m n，正确 11已知(ab)n的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为() A7B8C9D10 答案ABC 解析已知(ab)n的展开式中第 5 项的二项式系数 C 4 n最大，则 n7,8,9，故选 ABC. 12已知正态分布密度函数，(x) 2 2 () 2 1 e 2 x ，x(，)，以下关于正态曲线的 说法正确的是() A曲线与 x 轴之间的面积为 1
10、B曲线在 x处达到峰值 1 2 C当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x 轴平移 D当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 答案ABC 解析由概率之和为 1 可知 A 正确； 因为x 2 22 0，所以(x) 1 2，当且仅当 x时取等号，故 B 正确； 当一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线 x对称，随着的变化沿 x 轴平移，故 C 正确； 当一定时，曲线的对称轴固定，所以越小时，曲线的最大值 1 2越大，故曲线越高瘦，故 D 错误 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13(2020天津六校质检)二项式 2 x 3 x 5的展开式的常数项
11、是_ 答案40 解析由题意得 Tk1Ck5 2 x 5k( 1 3 x)k (1)kCk525 k 55 62 k x ，令 5 6k 5 20，k3， 所以常数项为(1)3C3525 340. 14已知随机变量 X 的分布列如下表： Xa234 P 1 3 b 1 6 1 4 若 E(X)2，则 a_，D(X)_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案0 5 2 解析由随机变量 X 的分布列及 E(X)2，得 1 3b 1 6 1 41， 1 3a2b3 1 64 1 42， 解得 a0，b 1 4， 所以 D(X)(02)21 3(22) 21 4(32) 21 6(42) 21 4
12、 5 2. 15(2020唐山质检)某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题，他预测同 学第一题正确的概率为 0.8，两题全对的概率为 0.6，则汪老师预测第二题正确的概率为 _ 答案0.75 解析设“做对第一道题”为事件 A，“做对第二道题”为事件 B， 则 P(AB)P(A)P(B)0.8P(B)0.6， P(B)0.75. 16将 4 瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将 4 种酒排序，经过一 段时间后，再让其品尝这 4 瓶酒，并让他重新按品质优劣将 4 种酒排序根据测试中两次排 序的偏离程度评估品酒师的能力a1，a2，a3，a4表示第一次排序为 1,2,3
13、,4 的四种酒分别在 第二次排序中的序号，记 X|1a1|2a2|3a3|4a4|为其偏离程度，假设 a1，a2， a3， a4为 1,2,3,4 的等可能的各种排列 假设每轮测试之间互不影响， p1表示在 1 轮测试中 X2 的概率，p2表示在前 3 轮测试中恰好有一轮 X2 的概率，则 p2_. 答案 25 72 解析1,2,3,4 等可能的各种排列共有 A4424(种)， 满足 X2 的 a1， a2， a3， a4的排列有 1,2,3,4； 2,1,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4，共 4 种，p1 4 24 1 6， p2C13p1(1p1)231 6 25 36 25 72.
14、 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)未来创造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机 来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制 造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发 展空间某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打印设备，用于打印一批对内 径有较高精度要求的零件 该团队在实验室打印出了一批这样的零件， 从中随机抽取 10 个零 件，度量其内径的茎叶图如图(单位：m) (1)计算平均值与标准差； (2)假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内
15、径 Z 服从正态分布 N(，2)，该团队到工厂安装 调试后，试打了 5 个零件，度量其内径分别为(单位：m)：86,95,103,109,118，试问此打印设 备是否需要进一步调试？为什么？ 参考数据：P(2Z2)0.954 5，P(3Z3)0.997 3. 解(1)979798102105107108109113114 10 105(m)， 28 2827232022232428292 10 36(m2)， 所以6(m) (2)结论：需要进一步调试 理由如下：如果机器正常工作， 则 Z 服从正态分布 N(105,62)， P(3Z3) P(87k0)0.100.050.0100.0050.0
16、01 k02.713.846.647.8810.83 解(1) 获 得 三 等 奖 学 金 的 频 率 为 (0.008 0.016 0.04)50.15 (0.04 0.056 0.016)50.4(0.0160.008)50.40.32， 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为 5000.32160. (2)每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有 500(0.0080.0160.040.04 0.0560.016)5440(人)， 其中获得一、二等奖学金的学生有 500(0.0080.0160.04)50.05500(0.040.056 0.016)5(0.250.
17、05)92(人)， 每周课外学习时间超过 35 小时的“努力型”学生有 50044060(人)， 其中获得一、 二等奖 学金学生有 36 人， 22 列联表如图所示， “非努力型” 学生 “努力型” 学生 总计 获得一二等 奖学金学生 9236128 未获得一二等 奖学金学生 34824372 总计44060500 K2500922434836 2 44060128372 42.3610.83， 故有 99.9%的把握认为获得一、二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关 (3)X 的可能取值为 0,600,1 500,3 000， P(X600)0.32， P(X1 500)0.198，
18、P(X3 000)0.058， P(X0)10.320.1980.0580.424， X 的分布列 X060015003000 P0.4240.320.1980.058 其均值为 E(X)00.4246000.321 5000.1983 0000.058192297174 663(元) 19 (12 分)(2020常州质检)2019 年国庆期间，举国上下以各种不同的形式共庆新中国成立 70 周年，某商家计划以“我和我的祖国”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌酒 重新包装，包装时在每瓶酒的包装盒底部随机印上“中”国”“梦”三个字样中的一个，之 后随机装箱(1 箱 4 瓶)，并规定：若顾
19、客购买的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字为同一个字， 则此顾客获得一等奖，此箱酒可优惠 36 元；若顾客购买的一箱酒的四瓶酒底部集齐了 “中”“国”二字且仅有此二字，则此顾客获得二等奖，此箱酒可优惠 27 元；若顾客购买的 一箱酒中的四瓶酒的底部集齐了“中”“国”“梦”三个字，则此顾客获得三等奖，此箱酒 可优惠 18 元(注：每箱单独兑奖，箱与箱之间的包装盒不能混) (1)设为顾客购买一箱酒所优惠的钱数，求的分布列； 若不计其他损耗，商家重新包装后每箱酒提价 a 元，试问 a 取什么范围时才能使活动后的 利润不会小于搞活动之前？ (2)若顾客一次性购买 3 箱酒，并都中奖，可再加赠一张我和我的祖国
20、电影票，顾客小张 一次性购买 3 箱酒，共优惠了 72 元，求小张能得到电影票的概率？ 解(1)的所有可能取值为 36,27,18,0， P(36) 3 34 1 27， P(27)C 1 2C14C24 34 14 81， P(18)C 1 3C24A22 34 4 9， P(0)28 81， 则的分布列为 3627180 P 1 27 14 81 4 9 28 81 因为 E()36 1 2727 14 8118 4 90 28 8114. 所以当 a14 时，搞活动后的利润不会小于搞活动之前 (2)因为 723622721836182 ， 所以若三箱酒中两箱中一等奖，另一箱不中奖，则小张
21、不能得到电影票； 若三箱酒中两箱中二等奖，另一箱中三等奖，或一箱中一等奖，两箱中三等奖，则小张能得 到电影票，概率设为 P， 则 P C2314 81 14 81 4 9C 1 3 1 27 4 9 4 9 C23 1 27 1 27 28 81C 2 314 81 14 81 4 9C 1 3 1 27 4 9 4 9 304 311. 所以小张得到电影票的概率为304 311. 20(12 分)(2020山东九校联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体 表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不 清、得分要点缺失等，记此类解答为“B
22、类解答”为评估此类解答导致的失分情况，某市 教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫 描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所 占比例大约如下表： 教师评分 (满分 12 分) 11109 各分数所占比例 1 4 1 2 1 4 某次数学考试试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一 评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两 者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、 二评中与之接近的分数的平均分
23、为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同 时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分(假设本次考试阅卷老师对满分 为 12 分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评 与仲裁三位老师评分互不影响) (1)本次数学考试中甲同学某题(满分 12 分)的解答属于“B 类解答”， 求甲同学此题得分 X 的 分布列及均值 E(X)； (2)本次数学考试有 6 个解答题， 每题满分均为 12 分， 同学乙 6 个题的解答均为“B 类解答”， 记该同学 6 个题中得分为 xi(x1x2x3x4x5)的题目个数为 ai，aiN(i1,2,3,4,5)，
24、错误错误!i6， 计算事件“a1a4a54”的概率 解(1)随机变量 X 的可能取值为 9,9.5,10,10.5,11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为 x，y，z， P(X9)P(x9，y9)P(x9，y11，z9)P(x11，y9，z9) 1 4 1 4 1 4 1 4 1 42 3 32， P(X9.5)P(x9，y10)P(x10，y9) 1 4 1 22 1 4， P(X10)P(x10，y10)1 2 1 2 1 4， P(X10.5)P(x10，y11)P(x11，y10)P(x9，y11，z10)P(x11，y9， z10) 1 2 1 42 1 4 1 4 1 22 5
25、16， P(X11)P(x11，y11)P(x11，y9，z11)P(x9，y11，z11) 1 4 1 4 1 4 1 4 1 42 3 32. 所以 X 的分布列如下表 X99.51010.511 P 3 32 1 4 1 4 5 16 3 32 均值 E(X)9 3 329.5 1 410 1 410.5 5 1611 3 32 321 32 (分) (2)错误错误!i6， P(a1a4a54)P(a2a32)， P(a2a32)P(a20，a32)P(a22，a30)P(a21，a31)， P(a20，a32)C26 1 4 2 1 2 4， P(a22，a30)C26 1 4 2 1
26、 2 4， P(a21，a31)C161 4C 1 51 4 1 2 4， P(a2a32)C26 1 4 2 1 2 4C2 6 1 4 2 1 2 4C1 61 4C 1 51 4 1 2 4 15 256 15 256 30 256 15 64， P(a1a4a54)15 64. 21(12 分)(2020沈阳模拟)2019 年某饮料公司计划从 A，B 两款新配方饮料中选择一款进行 新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分 别对 A，B 两款饮料进行评分，现对接受调查的 100 万名受访者的评分进行整理得到如下统 计图 从对以往调查数据分析可以得出
27、如下结论： 评分在0,60)的受访者中有 20%会购买， 评分在 60,80)的受访者中有 60%会购买，评分在80,100的受访者中有 90%会购买 (1)在受访的 100 万人中，求对 A 款饮料评分在 60 分以下的人数(单位：万人)； (2)现从受访者中随机抽取 1 人进行调查，试估计该受访者购买 A 款饮料的可能性高于购买 B 款饮料的可能性的概率； (3)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由 解(1)由 A 款饮料的评分饼状图， 得对 A 款饮料评分在 60 分以下的频率为 0.050.150.2， 对 A 款饮料评分在 60 分以下的人数为 1000.220
28、(万人) (2)设“受访者购买 A 款饮料的可能性高于购买 B 款饮料的可能性”为事件 C. 记“购买 A 款饮料的可能性为 20%”为事件 A1；“购买 A 款饮料的可能性为 60%”为事件 A2；“购买 A 款饮料的可能性为 90%”为事件 A3；“购买 B 款饮料的可能性为 20%”为事 件 B1；“购买 B 款饮料的可能性为 60%”为事件 B2；“购买 B 款饮料的可能性为 90%”为 事件 B3. 则用频率估计概率得 P(A1)0.050.150.2， P(A2)0.10.20.3， P(A3)0.150.350.5， P(B1)55 100 0.1， P(B2)1520 100
29、0.35， P(B3)1540 100 0.55， 事件 Ai与 Bj相互独立，其中 i，j1,2,3. P(C)P(A2B1A3B1A3B2)P(A2)P(B1)P(A3)P(B1)P(A3)P(B2)0.30.10.50.1 0.50.350.255， 该受访者购买 A 款饮料的可能性高于购买 B 款饮料的可能性的概率为 0.255. (3)从受访者对 A，B 两款饮料购买期望角度看：A 款饮料购买期望 X 的分布列为 X0.20.60.9 P0.20.30.5 B 方案购买期望 Y 的分布列为： Y0.20.60.9 P0.10.350.55 E(X)0.20.20.60.30.90.5
30、0.67， E(Y)0.20.10.60.350.90.550.725， 根据上述期望可知 E(X)E(Y)，故新品推介应该主推 B 款饮料 22(12 分)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行测评，为了了解玩家对游戏的体验感， 研究人员随机调查了 300 名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所 示，其中 ab0.016. (1)求这 300 名玩家测评分数的平均数； (2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请 3 位游戏专家对游戏进行初测， 如果 3 人中有 2 人或 3 人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若 3 人中仅 1 人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请 2 位专家二测，二测时，2 人中至少有 1 人认为游 戏需要改进的话，公司将对该款游戏进行回收改进已知该公司每款游戏被每位专家认为需 要改进的概率为 p(0p0，g(p)在 1 3，1上单调递增， 当 p 1 3，1时，g(p)110， 故所需的最高费用将超过预算
