1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 1、图、图中中有你有你熟悉的图形吗熟悉的图形吗?它们有什么共同特点它们有什么共同特点? 斜拉桥梁斜拉桥梁埃及金字塔埃及金字塔体育观看台架体育观看台架 导入新知导入新知 2、在、在八上的八上的“平行线的证明平行线的证明”这一章中，我们学了哪这一章中，我们学了哪8条基本事实？条基本事实？ 两两点确定一条直线；点确定一条直线；两两点之间线段最短；点之间线段最短； 同同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线垂直； 同位角同位角相等，两直线平行；相等，两直线平行； 过过直线外一点有且只有一条直线与这条直
2、线平行；直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 两边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；及其夹角分别相等的两个三角形全等； 两两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 三三边分别相等的两个三角形全等边分别相等的两个三角形全等. . 导入新知导入新知 1. 回顾回顾全等三角形全等三角形的的判定判定和和性质性质. 2. 理解理解并掌握并掌握等腰三角形等腰三角形的的性质性质及其及其推论推论. 素养目标素养目标 3. 能运用能运用等腰三角形的性质及其推论等腰三角形的性质及其推论解决解决基本基本 的的几何问题几何问题 探究新知探究新知 知识点 1 全等三角形的判定
3、和性质全等三角形的判定和性质 两两角角分别相等且其中分别相等且其中一组等角的对边一组等角的对边相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等. 在在“平行线的证明平行线的证明”这一章中，我们学这一章中，我们学了了8条基本事条基本事 实实定理定理.运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关 三角形全等的一些结论吗？三角形全等的一些结论吗？ 比如：比如： 探究新知探究新知 证明一个命题的一般步骤证明一个命题的一般步骤: (1)弄清弄清题设题设和和结论结论； (2)根据题意画出相应的根据题意画出相应的图形图形； (3)根据题设和结论写出根据题设和结论写出已知已
4、知和和求证求证； (4)分析证明思路分析证明思路,写出写出证明过程证明过程. 思考思考：证明命题的步骤是什么？证明命题的步骤是什么？ 探究新知探究新知 已知：如图已知：如图,A=D,B=E,BC=EF. 求证：求证：ABC DEF. 证明：证明： 定理定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等角形全等.（AAS） A+B+C=180， D+E+F=180（三角形内角和等于（三角形内角和等于180），）， C=180(A+B)，F=180(D+E). A=D,B=E（已知），（已知）， C=F（等量代换）（等量代换）. BC=EF（已
5、知（已知），），ABC DEF（ASA）. 探究新知探究新知 结论结论 定理定理 两两角分别相等且其中一组等角的对边相等角分别相等且其中一组等角的对边相等的的 两个三角形全等两个三角形全等. 根据全等三角形的定义，我们可以得到：根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的全等三角形的对应边相等对应边相等，对应角相等对应角相等.结论结论 全等三角形的全等三角形的判定与性质判定与性质素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例例 如如图图,点点D,E分别在线段分别在线段AB,AC上上,CD与与BE相交于相交于O点点,已知已知 AB=AC,现添加以下哪个现添加以下哪个条件条件仍不能判定仍不能判定
6、ABE ACD( ( ) ) A.B=CB.AD=AE C.BD=CED.BE=CD D 方法方法总结总结 判定判定两个三角形全等的一般两个三角形全等的一般方法有方法有:SSS,SAS,ASA,AAS. 注意注意: :AAA,SSA不能判定两个三角形全等不能判定两个三角形全等,判定两个判定两个三角三角 形形全等时全等时,必须有必须有边边的参与的参与,若有两边一角对应相等时若有两边一角对应相等时,角角 必须必须是两边的是两边的夹角夹角. 探究新知探究新知 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如如图图,在下列条件中，不能证明在下列条件中，不能证明ABD ACD的是的是( ( ) ) A.BD=DC
7、，AB=AC B.ADB=ADC，BD=BC C. B=C， BAD=CAD D. B=C， BD=DC D 如如图图,点点B,E,C,F在一条直线上，在一条直线上，ABDE，AB=DE， BE=CF，AC=6，则，则DF= . 6 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 探究新知探究新知 知识点 2等腰三角形的性质定理及其推论等腰三角形的性质定理及其推论 你你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论推论: :等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底边上的底边上的中线及底边中线及底边上的高上的高 互相互相重合重合. 思考思考2:2:你你能利用已有的公
8、理和定理证明这些结论吗能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. 思考思考1 1: : 探究新知探究新知 已知：如图已知：如图,在在ABC中，中，AB=AC. 求证求证：B=C. 证明证明定理：定理：等腰三角形等腰三角形的两个底角相等的两个底角相等. . A B C 思考：思考：如何如何证明两个角相等呢？证明两个角相等呢？ 在在七下学习轴对称时，我们利用七下学习轴对称时，我们利用折叠折叠的方法说明了等腰的方法说明了等腰 三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上， 折痕折痕
9、将等腰三角形分成了将等腰三角形分成了两个全等的三角形两个全等的三角形.由此由此，你得到，你得到 了什么解题的启发？了什么解题的启发？ 探究新知探究新知 可以作一条辅助线，运用可以作一条辅助线，运用全等三全等三 角形的性质角形的性质“对应角相等对应角相等”来来证证. 思考：思考：如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？ 探究新知探究新知 已知：已知： 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. A BCD 证明：证明： 作底边的中线作底边的中线AD，则，则BD=CD. AB=AC ( 已知已知 )， BD=CD ( 已作已作 )， AD=AD (公共边公共边
10、)， BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 在在BAD和和CAD中，中， 方法一：作底边上的中线 探究新知探究新知 A BCD 证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线AD，则，则BAD=CAD. AB=AC ( 已知已知 )， BAD=CAD ( 已作已作 )， AD=AD (公共边公共边)， BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). 在在BAD和和CAD中，中， 方法二：作顶角的平分线 已知：已知： 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC. 求证：求证： B= C. 探究新知探究新知
11、 结论结论 定理定理 等腰三角形等腰三角形的两个底角相等的两个底角相等. 这一定理可简述为：这一定理可简述为：“等边对等角等边对等角”. . 思考：思考：由由BAD CAD，除了可以得到，除了可以得到B= C之外，之外， 你还可以你还可以得到哪些得到哪些相等的线段和相等的角？相等的线段和相等的角？ 探究新知探究新知 BAD CAD， 由由全等三角形的性质易全等三角形的性质易得得 BD=CD, BAD=CAD， ADB=ADC， 又又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90. A BC D AD是底边是底边BC上的中线上的中线 AD是顶角是顶角BAC的的 角平分线角平分线 AD是是底边
12、底边BC上上 的的高线高线 3、线段线段AD的性质的性质 探究新知探究新知 结论结论 推论推论 等腰三角形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高线互相底边上的高线互相重合重合(三线合一三线合一). (1)AB=AC,ADBC (三线三线合一合一) (2)AB=AC,BD=CD _(三线三线合一合一) (3)AB=AC, BAD=CAD _ ( (三线三线合一合一) ) BD=CD,BAD=CAD ADBC，BAD=CAD ADBC ,BD=CD D CB A 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例例1 ( (1
13、) )若等腰三角形的一个底角为若等腰三角形的一个底角为72,则这个等腰三角则这个等腰三角 形的顶角为形的顶角为_. ( (2) )在在ABC中中,AB=AC,A=40,则则B=_. 36 70 如如图图,已知已知AOB=10，且，且OC=CD=DE=EF=FG=GH，则，则 BGH= ( ( ) ) A.50B.60 C.70D.80 B 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 等腰三角形性质定理的推论等腰三角形性质定理的推论素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 例例2 如如图图,ABC中，中，AB=AC，垂足为点，垂足为点D，若，若BAC=70， 则则BAD= . 35 巩固练习巩固练习 变式
14、训练变式训练 如如图图, 在在ABC中，中，AC=BC，用尺规作，用尺规作CFAB，交，交AB于于 点点 G，若，若BCG=50，则，则A的度数为的度数为 ( ( ) ) A.40B.45 C.50D.60 A 连接中考连接中考 （2020呼伦贝尔）如图，呼伦贝尔）如图，AB=AC，AB的垂直平分线的垂直平分线MN交交 AC于点于点D，若，若C=65，则，则DBC的度数是的度数是 ( ( ) ) A.25 B.20 C.30D.15 D 1.一个等腰三角形的顶角是一个等腰三角形的顶角是50，则它的底角是，则它的底角是( ( ) ) A A.65 B.70 C.75 D.100 课堂检测课堂检测
15、 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.如如图，在图，在ABC中，中，AB=AC，A=40， CDAB，则，则BCD=( ( ) ) D A.40 B.50 C.60 D.70 3.如图如图,已知已知AD=BC,1=2,则下列说法正确的则下列说法正确的是是 ( ( ) ) A.BD=ACB.D=C C.DAB=CBAD.以上说法都不对以上说法都不对 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.如如图所示，图所示，F、C在线段在线段BE上，且上，且1=2，BC=EF. 若要根据若要根据“SAS”使使ABC DEF，还需要补充的，还需要补充的 条件是条件是 . ACDF 课
16、堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.如如图，图，ABCD，点，点E在线段在线段BC上，上，CD=CE，若，若 D=70，则，则B=( ( ) ) A A.70 B.30 C.40 D.20 课堂检测课堂检测 1.如图如图,在在ABC中中,ADBC于点于点D,BEAC于点于点E,AD与与 BE相交于点相交于点F,若若BF=AC,CAD=25,则则ABE的的度度 数为数为( ( ) ) A.30 B.15C.25 D.20 D 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.如图如图,在在
17、ABC中中,AB=AC，A=30，直线，直线mn，顶点，顶点C 在直线在直线n上，直线上，直线m交交AB于点于点D，交，交AC于点于点E，若，若1=150， 则则2的度数是的度数是( ( ) ) A.45B.40C.35D.30 A 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 如如图图,在在ABC中中,AB=AC，C=2A，BD是是AC边上的高，边上的高， 求求A和和DBC的度数的度数. 解解：AB=AC，ABC=C， C=2A， 设设A=x，则，则ABC=C=2x， 由由x+2x+2x=180得得x=36， A=36，C=72， BD是是AC边上的边上的高，高，BDAC，即，即B
18、DC=90， DBC=90-C=18. 课堂检测课堂检测 等腰三角形等腰三角形 性 质性 质 等边对等角等边对等角 课堂小结课堂小结 推 论推 论三线合一三线合一 全等三角形全等三角形 判 定判 定SSS,SAS,ASA,AAS 性 质性 质对应对应边相等，对应角相等边相等，对应角相等 注意是指注意是指同一个三角形同一个三角形中中 注意是指注意是指顶角的平分线顶角的平分线, ,底边上的高和底边上的高和 中线中线才有这一性质才有这一性质. .而腰上高和中线与而腰上高和中线与 底角的平分线不具有这一性质底角的平分线不具有这一性质. . 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
