1、第五讲 函数的定义域与值域 回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原则: 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数 x的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴 上投影所覆盖的实数的集合; 当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式 有意义的实数的集合; 当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题 的意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: 如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析 式有意义的自变量的取值范围,称为自然定
2、义域; 如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定 定义域. (3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域 应由不等式ag(x)b解出. 2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函 数值的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上 的投影所覆盖的实数y的集合; 当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域 及其对应关系唯一确定; 当函数由实际问题给出时,
3、函数的值域由问题的实际意义 确定. 考点陪练 1 1.( 2010 湖北 函数 3 的定义域为（ ） log (4x 3) 0.5 3 A. ,1B. , 4 4 3 C.(1,)D. ,1 4 解析:由log 4x 3 0且4x 3 0得0 4x 3 1, 0.5 3 4 3 4 x 1.即函数的定义域是 ,1 ,选A. 答案:A 重庆 函数 y 16 4 的值域是（ ） x 2.( 2010 A. 0, B. 0,4 C. 0, 4 D. 0,4 0 16 4 16, 0 16 4x 16 4, 解析 由已知得 x : 即函数 y 16 4 x的值域是 0,4 , C.选 答案:C 3.函
4、数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为( ) A.-1,0,3 C.y|-1y3 答案:A B.0,1,2,3 D.y|0y3 3x2 4.函数f x lg 3x 1 的定义域是（ ） 1 x 1 1 3 A. ,B. ,1 3 1 1 1 3 C. ,D. , 3 3 答案:B 5.函数y=f(x)的值域是-2,2,定义域是R,则函数y=f(x-2)的值 域是( ) A.-2,2 C.0,4 答案:A B.-4,0 D.-1,1 类型一函数的定义域 解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各 部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组, 然后解这个不等
5、式或不等式组,解答过程要注意考虑全面, 最后定义域必须写成集合或区间的形式. (2)确定函数的定义域 当f(x)是整式时,其定义域为R. 当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. 当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或 等于0的实数的集合. 对于x0,x不能为0,因为00无意义. f(x)=tanx的定义域为 x | xR,且x k,k Z . 2 f(x)=log x(a0且a1)的定义域为x|x0. a 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要 具体问题具体分析. 分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. 抽象函数f(2x+1)的定义域
6、为(0,1),是指x(0,1)而非 02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义 域时,应由02x+11得出x的范围即为所求. 2 lg(x 2x) 【典例1】求函数f x 的定义域. 9 x2 分析 只需要使解析式有意义,列不等式组求解. 2 x 2x 0, 解要使函数有意义,则只需要: 2 9 x 0, x 2或x 0. 即 3 x 3, 解得3 x 0或2 x 3.故函数的定义域是 3, 0 2, 3 . 类型二复合函数的定义域 解题准备:已知fg(x)的定义域为x(a,b),求f(x)的定义域,其 方法是:利用axb,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定
7、义域. 已知f(x)的定义域为x(a,b),求fg(x)的定义域,其方法是:利 用ag(x)b,求得x的范围,此即为fg(x)的定义域. 定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性. 所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则, 通过分析定义域来帮助解决问题. 【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为0,1,求下列函数的定 义域:f(x2); f ( x 1). (2)已知函数flg(x+1)的定义域是0,9,则函数f(2x)的定义域 为_. 分析 根据复合函数定义域的含义求解. 解析 (1)f(x)的定义域是0,1, 要使f(x2)有意义,则必有0 x21, 解得-1x
8、1. f(x2)的定义域为-1,1. 由0 x 11得1 x2.1x4( x0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为 1, 4 2 1 的定义域为 0,9 , 0 x9,1x 110,0lg x 1 1 0,1 . 0 2 1, f x 的定义域为 由 x 解得x0. f 2x 的定义域为 ,0 . 答案 1,4 (-,0 类型三求函数的值域 解题准备:求函数值域的总原则:由定义域 对应法则f在等价 条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性 强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切 相关,常可转化为求函数的最值问题. 【典例3】 (1)y x 1 2x;
9、4 (2)y x ; x sinx 2 cosx (3)y ; 2 (4)y x 1 x .求下列函数的值域: 分析 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力 数形转 化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题; 对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于 (3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法 求解. 2 1 t 解 1 解法一:设 1 2x t(t0),得x , 2 2 111 t y t (t 1) 2 1 (t0), 222 1 y . 2 1 解法二:0,x , 2 1 2 上均单调递增, 1 2 定义域为 , . 函数 x, y 1 2
10、x在 , 11 1 1 2 y 1 2 ,y , . 22 2 44 2 解法一:当x 0时, y x 2 x xx 4 当且仅当x 2时,取等号;当x 0时, y (x) 2 (x) 4 x x 4,当且仅当x 2时,取等号. 综上,所求函数的值域为 ,4 4, . 解法二:先证此函数的单调性任取x ,x ,且x x , 1212 44 (x x )(x x 4) f x x x2 121 2 121 x 1 xx x 1 2 2 当x x 2或2 x x 时,f x 递增, 1212 当 2 x 0或0 x 2时,f x 递 减.故x 2时,f x 极大 f 2 4, x 2时,f x f
11、 2 4, 极小 所求函数的值域为 ,4 4, . 3 解法一:利用函数的有界性将原函数化为sinx ycosx 2y, 1y1 2 令 cosx) 2y, cos 1 y (sinx 1 y 2 1 y 2 1 y2 y 且sin , 1 y 2 2y2y sin(x ) ,|1, 1 y 2 1 y 2 2 平方得3y 1, 333 3 y ,原函数的值域为 , . 333 3 解法二:数形结合法或图象法. sinx 0 (sinx) 原函数式可化为y 2 cosx 2 cosx 此式可以看作点 2, 0 和 cosx,sinx 连线的斜率, 而点 的轨迹方程为 cosx, sinx 如图
12、所示 x y 1, , 22 2 2 在坐标系中作出圆x y 1和点 2, 0 . 由图可看出,当过 2, 0 的直线与圆相切时,斜率分别 取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系知识, 可设直线方程为y k x 2 ,即kx y 2k 0, | 2k |3 1,解得k , 31 k 2 3 3 斜率的范围是 , 3 3 sinx 2 cosx 3 3 即函数y 的值域为 ,. 3 3 4 函数的定义域为 1, 1 .当x 1,1 时, 2 x 1 x x f x 1 . 1 x 2 1 x 2 2 令 得 得 f x 0, 1 x x 0, x 2 , 2 2 f 2, 2 又f 1 1,
13、f 1 1, 2 f x f 2, f (x) f (1) 1. 2 min max 值域为1, 2 . 反思感悟 第(1)小题利用换元法易忽视t0的条件,第(2)小 题利用基本不等式时易漏掉对x0恒成立, 所以函数的定义域为R.由原式得 (y-2)x2+(y+1)x+y-2=0, 当y-2=0,即y=2时, 方程为3x=0,所以x=0R; 当y-20,即y2时,因为xR, 所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根, =(y+1)2-4(y-2)(y-2)0, 即3y2-18y+150,解得1y5. 所以函数的值域为1,5. 2 dx ex f 方法与技巧形如y 的分子 分母之 2 ax bx c 一或二者均是二次式时,一般常将函数转化为一个 关于x的方程,先讨论二次项系数,再考虑用判别式 法求出y的范围.
