1、第五十三讲 数系的扩充与复数的引入 回归课本 1.复数的有关概念. (1)形如a+bi的数叫做复数,其中a和b都是实数.其中a叫做复 数z的实部,b叫做复数z的虚部. 对于复数a+bi(a,bR)当且仅当b=0时,它是实数; 当b0时,叫做虚数;当a=0且b0时,叫做纯虚数. (2)复数的相等 即如果a,b,c,d都是实数,那么 a+bi=c+dia=c且b=d; a+bi=0a=0且b=0. 注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能 比较大小. (2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据 ,是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现. 2.复平面的概念 建立
2、直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实轴 ,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数 集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是一一对应的. 3.共轭复数概念 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做 z 互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示,即z=a+bi,则 z=a-bi(a,bR). 注意:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,即z= zR.z z(2)z=a+bi与z=a-bi(a,bR)互为共轭复数,则z+ =2a,z- z z =2bi
3、,|z|=| |,z =|z|2=| |2. zz 4.复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律 结合律,即对任何z 、z 、z C,有 123 z +z =z +z ,(z +z )+z =z +(z +z ). 1221123123 (3)复数加 减法的几何意义 复数加法的几何意义 若复数z 、z 对应的向量1 不共线,则复数z +z 是以 OZ 、 OZ 2 1212 为两O邻Z 、边O Z的平行四边形的对角线所对应的O Z复数. 12 复数减法的几何意义 复数z -z 是连接向量的终点
4、,并指向被减数向量 1 2 OZ 、 OZ2 所对应的复数. 1 Z Z 2 1 5.复数的乘法与除法 设z =a+bi,z =c+di 12 (1)复数的乘法运算法则 z z =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 1 2 交换律z z =z z ; 1 221 结合律(z z )z =z (z z ); 1 23123 分配律z (z +z )=z z +z z . 1 231 21 3 (2)复数的除法运算法则 ac bd bc ad i (c+di0). 2 (a+bi)(c+di)= 2 22 c d c d 注意:特殊复数及其运算 (1)i4n=1,i4n+
5、1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*). 1 3 2 记 i,则 i, 2 2 2 2 1 3 3 3 1, 2 , 2 1 0. 1i 1i 1i 1i 2 3 (1 i) 2i, i, i. 考点陪练 1.(2010北京)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为 A,B.若C为线段AB的中点,则C对应的复数是( ) A.4+8i C.2+4i B.8+2i D.4+i 解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4),故其 对应的复数为2+4i. 答案:C i z 2.(2010陕西)复数在复平面上对应的点位于( 1 i ) A.第一象限 C
6、.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ii(1i) 1i 1 1 i,所以其对 1i (1i)(1i) 11 2 2 解析:因为z 1 1 应的点 , 位于第一象限,故选A. 2 2 答案:A 3.(2010湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z, 则表示复数 z的点是( ) 1 i A.E C.G B.F D.H z 3i (3i)(1i) 解析:依题意得z 3i, 1i 1i (1i)(1i) 4 2i 2 i,该复数对应的点的坐标是 2,1 ,选D. 2 答案:D 3 i ,则 z 4.( 2010 新课标全国)已知复数z (1 3i)2 A. 1 B. 1 42 C.1D.
7、2 3 i3 i( 3 i)(2 2 3i) 解析: z 2 (1 3i) 2 2 3i ( 2 2 3i)( 2 2 3i) 2 2 3 1 3 1 1 4 i,可得 | z | ,故选B. 4 2 4 4 答案:B 1 2i a bi 5.( 2010 辽宁 设 , b为实数,若复数 1i,则 3 1 A.a ,b B.a 3,b 1 D.a 1,b 3 2 2 1 3 C.a ,b 2 2 解析:等式的两边同乘以a bi,整理得1 2i a b a b i, a b 13 1 则, a ,b . a b 22 2 答案:A 类型一复数的概念 解题准备:处理有关复数基本概念的问题,关键是掌
8、握复数的 相关概念,找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实 数),从定义出发解决问题.本题考查复数集的分类及复数的 几何意义,用标准的代数形式,因为容易确定其实部与虚部. 若不然,则应先化为代数形式后再依据概念求解. 【典例1】 已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时 ,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在 第三象限? 分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取 值. 解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, (1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m-2且m3时,
9、z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0; m(m 3) 0, 5 由解得0 m 3, (m 2)(m 3) 0, 当m 0,3 时,z对应的点在第三象限. 反思感悟 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是 解决复数问题的基本思想方法,也是化归思想的重要表现. 类型二复数的相等 解题准备:1.两个复数z =a+bi(a、bR),z =c+di(c、dR), 12 当且仅当a=c且b=d时,z =z ,特别地,当且仅当a=b=0时 12 ,a+bi=0.即两复数相等,其实部与实部 虚部与虚部分别相 等. 2.两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它
10、们之间就不能比较大小,只能说相等或不相等. 3.复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解 决的途径. 【典例2】 设存在复数z同时满足下列条件:(1)复数z在复平 面内对应的点位于第二象限;(2)z +2iz=8+ai(aR).试求 z a的取值范围. z 解 设z=x+yi(x,yR),则 =x-yi. 由(1)知x0. 又 +2iz=8+ai(aR), zz 故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai, 即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai, 22 x y 2y 8 2 即 , 4 y 1 36 a , 2 2x a y0,4(y-1)20, 36-a20,即a2
11、36,-6a6, 又2x=a,而x0,a0,故-6a0, a的取值范围为-6,0). 反思感悟 (1)复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相 等,利用这一性质可以解决以下问题:解复数方程;方程 有解时系数的值;求轨迹方程.(2)复数问题实数化是复数 问题的最基本也是最重要的思想方法,其转化的依据就是 复数相等的充要条件,基本思路是:设出复数的代数形式 z=x+yi(x,yR),由复数相等可以得到两个实数等式所组成 的方程组,从而可以确定两个独立的基本量. 类型三复数代数形式的运算 解题准备:(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化 时常用的知识有复数相等,复数的加 减 乘 除运算法则,
12、模 的性质,共轭复数的性质. (2)一些常用的结论 (1i)2=2i; 1 i 1i i; i; 1i 1 i i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i; i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中nN*. 1 3 1 3 1 i , 2 2 i 若=,则2= 2 2 3=1,1+2=0. (2 2i) 4 【典例3】计算:. 5 (1 3i) 分析 可用的性质计算. 16(1 i)4 16(2i)2 解原式 4 (1 3i) (1 3i) ( 2 2 3i) (1 3i) 2 64 16 4(1 3i) (1 3i) (1 3i) 4 2 4 1 3i. 1
13、3i 反思感悟 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时 含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类 项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,化简 的依据是i的周期性,即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*). 复数的代数形式运算,基本思路是直接用法则运算,但有时 如果能用上特殊复数i或的一些性质以及一些常见的结论 1 i 1 i i, ,如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,-b+ai=i(a+bi), 1 i 1 i 可更有效地简化运算,提高计算速度. 错源一对复数的有关概念的理解不清致误 【典例1】 当m为何实数时
14、,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯 虚数? 错解 令2m2-5m-3=0, 1 .解得:m=3或 m 2 1 所以当m=3或m= 数. 时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯虚 2 剖析 错解只考虑复数的实部,而没有顾及虚部,纯虚数的定 1 义要求复数的实部为零而虚部不为零.本例中,当 ,2m2-m-1=0,不满足纯虚数的条件. 时 m 2 正解 由上述分析知,m=3时,满足上述要求. 错源二盲目套用实数集上的性质致误 【典例2】 若x=sin15cos15,求(-i)4x的值. 错解 (-i)4x=(-i)4x=1x=1. 剖析 错解中没有根据地将实数中底数是正数时
15、的幂指数运 算法则(am)n=amn搬到复数中去. 正解 因为x=sin15cos15,所以4x=2sin30=1. 所以(-i)4x=(-i)1=-i. 技法一函数思想 【典例1】 已知复数z =cos-i,z =sin+i,求|z z |的最大值 121 2 和最小值. 解题切入点 本题可以转化成利用三角函数求最值问题. incos cos sin i | 解| z1 2 (1 sin cos ) (cos sin ) 2 2 1 2 sin cos 22 2 sin 2 . 2 4 3 故| z 的最大值为 ,最小值为 2. 12 2 技法二数形结合思想 【典例2】 如果复数z满足|z+
16、i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值 为( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 解析 从复数的几何意义分析:|z+i|+|z-i|=2,表示一条线段, 线段端点分别为-i,i所对应的点,而|z+i+1|表示z与-1-i所对 应两点间的距离,问题转化为求这个距离的最小值. 构图,如图所示,|z+i|+|z-i|=2表示z所对应的点P在以A(0,- 1),B(0,1)为端点的线段上, |z+i+1|表示P点到Q(-1,-1)的距离,从图中不难看出,当P点与A 点重合时,QAAB, |PQ|AQ|=1,故应选A. 答案 A 方法与技巧 要注意|AB|=2,|z+i|+|z-i|=2表示一条线段,而 不是一个椭圆,注意|z-z |+|z-z |=2a,表示椭圆的条件为 12 0|z -z |2a,而当|z -z |=2a时,|z-z |+|z-z |=2a表示一条线 1 21 212 段.
