1、强化训练强化训练 1不等式中的综合问题不等式中的综合问题 1若1 a 1 b0，则下列结论不正确的是( ) Aa2b2Babb2 Cab|ab| 答案D 解析由题意可知 ba0，Bx|x24x30，则 AB 等于() Ax|x1Bx|2x3 Cx|1x3Dx|1x2 答案B 解析由题意可知，Ax|x2，Bx|1x3，则 ABx|2x3 3若 ab 1 b Ba2ab C.|b| |a|bn 答案C 解析(特值法)取 a2，b1，n0，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确； C 项，|b| |a| |b|1 |a|1|b|(|a|1)|a|(|b|1) |a|b|b|a|b|a|b|a|， a
2、b0，|b|a|成立，故选 C. 4(2020长沙期中)在 R 上定义运算：AB(A2)B，若不等式(tx)(xt)4 对任意 的 xR 恒成立，则实数 t 的取值范围是() A(3,1)B(1,2) C(1,3)D(，1)(3，) 答案C 解析(tx)(xt)(tx2)(xt)， 即(tx)(xt)(tx2)(xt)0 对任意实数 x 恒成立， 44(t22t4)0，解得1tb，cd，则 acbd B若 ab，cd，则 bcad C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，c0，则 acbc 答案AD 解析ab，cd，由不等式的同向可加性得 acbd，故 A 正确；由 A 正确，可知 B 不
3、 正确；取 42，13，则 4(1)b，c0，acbc. 故 D 正确综上可知，只有 AD 正确故选 AD. 6(多选)下列结论中，所有正确的结论有() A若a c2 b c2，则 ac 2bc2 B若 a，b，mR，则am bm a b C当 x(0，)时，sin x 1 sin x2 D若 a，bR，ab1，则1 a 1 b4. 答案ACD 解析对于 A，由于a c2 b c2，所以 ab， 故 ac2bc2，故正确； 对于 B，am bm a b mba bbm，又 a，b，mR ，当 ba 时，不等式成立，当 b0，a1)与函数 yb(b0)存在两个不同的交点， 两交点的横坐标分别为
4、x1，x2(x10， fx，x0，c0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则4 b 1 c的最小值 是() A9B8C4D2 答案A 解析圆 x2y22y50 化成标准方程为 x2(y1)26，所以圆心为 C(0,1) 因为直线 axbyc10 经过圆心 C， 所以 a0b1c10，即 bc1. 因此4 b 1 c(bc) 4 b 1 c 4c b b c5. 因为 b0，c0， 所以4c b b c2 4c b b c4. 当且仅当4c b b c时等号成立 由此可得 b2c，且 bc1， 即当 b2 3，c 1 3时， 4 b 1 c取得最小值 9. 14设 mlog0.30.6，n1 2
5、log 20.6，则() AmnmnmnBmnmnmn CmnmnmnDmnmnmn 答案B 解析因为 mlog0.30.6log0.310， n1 2log 20.61 2log 210， 所以 mn0， 因为1 n2log 0.62log0.60.250， 1 mlog 0.60.30， 而 log0.60.25log0.60.3， 所以1 n 1 m0，即可得 mn0， 因为(mn)(mn)2n0， 所以 mnmn， 所以 mnmnmn.故选 B. 15圆 M 的方程为(x25cos )2(y5sin )21(R)，圆 C 的方程为(x2)2y24，过 圆 M 上任意一点 P 作圆 C
6、的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则PE PF 的最小值为 _ 答案6 解析设CPE， 则EPF2， 由切线长定理可得|PE |PF|， |PC |PE |24， cos |PE | |PC |， PE PF|PE|PF|cos 2 |PE |2(2cos21) |PE |2 2|PE |2 |PE |241 2|PE |4 |PE |24|PE |2 2|PE |2442 |PE |24 |PE |2 2(|PE |24)16 32 |PE |24|PE |2 (|PE |24) 32 |PE |2412 |PC |2 32 |PC |212， 圆心 M 的坐标为(25cos ，5
7、sin )， 则|MC | 25cos 225sin 25， 由图可得|MC |1|PC |MC |1， 即 4|PC |6，则 16|PC|236， 由对勾函数的单调性可知，函数 yx32 x 12 在区间16,36上单调递增， 所以当|PC |216 时，PE PF取得最小值为 1632 16126. 16.(2020郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为 20 米， 在 C 点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为 10 米，其喷射的水刚好能洒满以 C 为圆 心，以 10 米为半径的圆，在ABC 内部的扇形 CPQ 区域内，现要在该三角形内修一个直线 型步
8、行道， 该步行道的两个端点 M， N 分别在线段 CA， CB 上， 并且与扇形的弧相切于ABC 内的 T 点，步道宽度忽略不计，设MCT. (1)试用表示该步行道 MN 的长度； (2)试求出该步行道 MN 的长度的最小值，并指出此时的值 解(1)因为ACB 3，所以NCT 3， 因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 T，所以 CTMN. 在 RtCMT 中，因为 CT10，所以 MT10tan ， 在 RtCNT 中，NCT 3， 所以 NT10tan 3， 所以 MN10tan 10tan 3，其中 0 3. (2)因为 0 3，所以 0tan 3， MN10tan 10tan 310 tan 3tan 1 3tan ， 令 1 3tan t，其中 1t4， 则 MN10 tan 3tan 1 3tan 10 t1 3 4t 3t 10 3 3 t4 t 2 20 3 3 ， 当且仅当 t4 t，即 t2， 6时，MN 的最小值为 20 3 3 ， 故当 6时，步行道的长度有最小值 20 3 3 米
