1、大一轮复习讲义 第三章高考专题突破一高考中的导数综合问题 第1课时利用导数研究恒(能)成立问题 题型一分离参数求参数范围 师生共研 解函数的定义域为(0，)， 令f(x)0，得x1. 当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x(1，)时，f(x)0， 所以g(x)为增函数，所以g(x)g(1)2， 故k2，即实数k的取值范围是(，2. 引申探究 若将本例(2)改为：x1，e，使不等式f(x) 0成立，求实数k的 取值范围. 由本例(2)解题知，g(x)为增函数， (1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (2)af(x)恒成立af(x)max； af(x)恒成立a
2、f(x)min； af(x)能成立af(x)min； af(x)能成立af(x)max. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 思维升华 跟踪训练1已知函数f(x)axex(aR)，g(x) (1)求函数f(x)的单调区间； 解因为f(x)aex，xR. 当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln a. 由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，ln a)； 由f(x)0时，f(x)的单调递增区间为(， ln a)， 单调递减区间为(ln a，). (2)x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex0成立，求a的取值范围. 解因为x(0，)， 使不等式f(x)g(x)ex0成立， 当x在区间
3、(0，)内变化时，h(x)，h(x)随x变化的变化情况如下表： x(0， )( ，) h(x)0 h(x) 极大值 例2(12分)(2020全国)已知函数f(x)exax2x. (1)当a1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x0时， f(x) x31，求a的取值范围. 答题模板题型二等价转换求参数的范围 规范解答 解方法一(1)当a1时，f(x)exx2x， f(x)ex2x1.1分 故当x(，0)时，f(x)0.2分 所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增. 4分 5分 6分 则当x(0,2)时，g(x)0. 所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)1， 故当x(0,
4、2)时，g(x)1，不符合题意.7分 则当x(0,2a1)(2，)时，g(x)0. 所以g(x)在(0,2a1)，(2，)上单调递减， 在(2a1,2)上单调递增. 由于g(0)1， 所以g(x)1，当且仅当g(2)(74a)e21， 方法二(1)当a1时，f(x)exx2x， f(x)ex2x1，1分 令(x)ex2x1， 由于(x)ex20， 故f(x)单调递增，注意到f(0)0，2分 故当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增.4分 当x0时，不等式为11，显然成立，符合题意；5分 6分 7分 则h(x)exx1，8分 令t(x)h(x)，x0，则t(x)ex10， 故h(x)单调递
5、增，9分 h(x)h(0)0， 故函数h(x)单调递增，h(x)h(0)0， 10分 故当x(0,2)时，g(x)0，g(x)单调递增； 当x(2，)时，g(x)0， (x)在1，)上单调递增， (x)min(1)1aa100恒成立， a0符合题意. 当a0时，令(x)0，得xln a1. 当x(，ln a1)时，(x)0， (x)在(，ln a1)上单调递减，在(ln a1，)上单调递增. 当ln a11即0a1时，(x)在1，)上单调递增， (x)min(1)00恒成立， 01，即a1时，(x)在1，ln a1)上单调递减，在(ln a1，)上 单调递增， (x)min(ln a1)1不符
6、合题意. 综上，实数a的取值范围为a|a1. 题型三双变量的恒(能)成立问题 师生共研 解存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1) g(x2)maxM成立. g(x)3x22xx(3x2)， 又g(0)3，g(2)1， 满足条件的最大整数M为4. 则f(x)ming(x)max. 即axx2ln x恒成立. h(x)12xln xx， 令(x)12xln xx， (x)32ln xg(x2)f(x)ming(x)max. (2)x1D1，x2D2，f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min. (3)x1D1，x2D2，f(x1)g(x2)f(x)maxg(x
7、)max. 思维升华 跟踪训练3已知函数f(x)x1aln x(a0，a0， 所以f(x)在(0，)上单调递增. 由(1)知f(x1)f(x2)， 因为a0， 所以3a0都有f(x)ax成立，求实 数a的取值范围. 解方法一令(x)f(x)ax(x1)ln(x1)ax(x0)， 则(x)ln(x1)1a， x0，ln(x1)0. (1)当1a0，即a1时，(x)0， (x)在(0，)上单调递增， 又(0)0， (x)0恒成立，故a1满足题意. (2)当1a1时，令(x)0，得xea11， x(0，ea11)时，(x)0， (x)在(0，ea11)上单调递减，在(ea11，)上单调递增， (x)
8、min(ea11)0恒成立矛盾，故a1不满足题意. 综上有a1，故实数a的取值范围是(，1. 方法二x(0，)时，(x1)ln(x1)ax恒成立， 令k(x)xln(x1)(x0)， k(x)在(0，)上单调递增. k(x)k(0)0， xln(x1)0恒成立， g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增. a1，故实数a的取值范围是(，1. 例2已知函数f(x)x(ex1)ax2(aR). (1)若f(x)在x1处有极值，求a的值. 解f(x)ex1xex2ax (x1)ex2ax1， 依题意知f(1)2a10，a . (2)当x0时，f(x)0，求实数a的取值范围. 解方法一当x0时，f(
9、x)0， 即x(ex1)ax20， 即ex1ax0， 令(x)ex1ax(x0)，则(x)min0， (x)exa. 当a1时，(x)exa0， (x)在(0，)上单调递增，(x)(0)0， a1满足条件. 当a1时，若0 xln a，则(x)ln a，则(x)0. (x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增， (x)min(ln a)a1aln a0. 令g(a)a1aln a(a1)， g(a)1(1ln a)ln a0， g(a)在(1，)上单调递减. g(a)1不满足条件， 综上，实数a的取值范围是(，1. 方法二当x0时，f(x)0， 即x(ex1)ax20， 即
10、ex1ax0， 即axex1， 令k(x)ex(x1)1(x0)， k(x)exx0， k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0， h(x)0， h(x)在(0，)上单调递增. a1. 故实数a的取值范围是(，1. KESHIJINGLIAN 课时精练 1.设函数f(x)ln x (a为常数). (1)讨论函数f(x)的单调性； 基础保分练 12345 解f(x)的定义域为(0，)， 当a0时，又x0，xa0，f(x)0， f(x)在定义域(0，)上单调递增； 当a0时，若xa，则f(x)0，f(x)单调递增； 若0 xa，则f(x)0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a
11、，)上单调递增. 12345 (2)不等式f(x)1在x(0,1上恒成立，求实数a的取值范围. 12345 令g(x)xln xx，x(0,1. g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1)1， a1，故a的取值范围为1，). 2.已知函数f(x)xln x(x0). (1)求函数f(x)的极值； 解由f(x)xln x，得f(x)1ln x， 12345 12345 12345 由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0 x1. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增. 所以g(x)ming(1)4，则m4.故m的最小值为4. 3.已知函数f(x)x2(a1)xln
12、x，g(x)x2x2a1. (1)若f(x)在(1，)上单调递增，求实数a的取值范围； 12345 解f(x)x2(a1)xln x， 12345 k(x)在(1，)上单调递减， k(x)k(1)1， a11， 实数a的取值范围为a|a2. 12345 (2)当x1，e时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 12345 解令(x)f(x)g(x)axln x2a1，x1，e， 则只需(x)max0即可， 当a0时，(x)0， (x)在1，e上单调递减， (x)max(1)a1， a11， 1a0. 12345 12345 技能提升练 12345 当a1，x1，e时，f(x)0，f(x
13、)单调递增，f(x)minf(1)1a. 当1ae， x1，a时，f(x)0，f(x)单调递减； xa，e时，f(x)0，f(x)单调递增； 所以f(x)min f(a)a(a1)ln a1. 当ae，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上单调递减. 12345 综上，当a1时，f(x)min1a； 当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1； 12345 (2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)成 立，求a的取值范围. 12345 解由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值. 由(1)知当a1时f(x)在e，e2上单调递增， g(x)(1ex)x. 当x2,0时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)ming(0)1， 12345 拓展冲刺练 解由题意知函数f(x)的定义域为(0，). 当0 x1时，f(x)1时，f(x)0, f(x)单调递增， 函数f(x)的极小值为f(1)1，无极大值. (1)当a1时，求函数f(x)的极值； 12345 12345 所以在区间1,2上，f(x)0，则f(x)单调递减，f(1)是f(x)的最大值，f(2) 是f(x)的最小值. 12345 12345 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
