1、3.3.1 椭圆及其标准方程 神舟神舟六六号在进入太空后，先以远地点号在进入太空后，先以远地点347公里、近地公里、近地 点点200公里的椭圆轨道运行，公里的椭圆轨道运行，后经过变轨后经过变轨调整为距地调整为距地343公公 里的圆形轨道里的圆形轨道. 椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线 1取一条细绳，取一条细绳， 2把它的两端固定在把它的两端固定在 板上的两点板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（用铅笔尖（M）把）把 细绳拉紧，在板上慢细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图慢移动看看画出的图 形形 F1F2 M 观察做图过程：观察做图过程：1绳长应当绳长应当 大于大于F1、F2之间的距离。之间的距
2、离。2 由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到到 两个定点的距离和也固定。两个定点的距离和也固定。 探究1： （2）两焦点的距离叫做）两焦点的距离叫做椭圆的椭圆的焦距焦距(|=2c) 一、椭圆的定义一、椭圆的定义 1 F 2 F M 12 |M FM F+= 常 数 12 )FF(大于 （4）常数）常数 2a 焦距焦距 2C 思考：变短绳子是否一定能形成椭圆？ 常数常数 2a =焦距焦距 2C轨迹是线段轨迹是线段 常数常数 2a 2c 则：则： ()() 22 22 +-+= 2xcyx cya ()() 22 22 += 2 -+移得 项xcyax cy ()()() 222 2222
3、 += 4-4-+-+平方得 xcyaax cyx cy+ + () 2 22 -c =-+整理得axax cy ()() 22222222 -+=-平方得 acxa yaac O 探究：探究：如何建立椭圆的方程？如何建立椭圆的方程？ 22 -bMOa c=令 22 22 1 (0) xy ab ab += 22 , ,-a cac你能从图中找出表示 的线段吗？ 问题问题4 4： b c a 怎么能让方程 更简洁？ 22222222 ()acxa yaac-+=-（） 222222 b xa yb a 椭圆的标准方程 焦点在 轴上，坐标为 x 12 0),0)FcF c-(， ( 222 ca
4、b x O F1 F2 y 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？ 22 22 1(0). xy ab ab += O F1F2 x y （2 2）在椭圆两种标准方程中，总有）在椭圆两种标准方程中，总有ab0ab0； x O F1 F2 y 二二.椭圆的标准方程椭圆的标准方程 O F1F2 y x (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y （1）方程的左边是两项）方程的左边是两项平方和平方和的形式，等号的右边是的形式，等号的右边是1； 222 cba 怎样判断椭圆的焦点 在x轴上还是在y
5、轴上？ 22 , , (1)1,(2) 94 a b c xy += 判断下列椭圆的焦点位置，并且求出 2 2 1 4 y x += mm 0 0, ,n n 0 0且且mm n n 变式式( (2 2) )若若焦焦点点在在y y轴上上； 方程表示什么几何图形？ 2 22 2 2 2x x +3 3y y = =1 1 思考：（1）若方程表示椭圆， 则m,n满足什么条件？ 22 mx +ny =1 变 式式 ( (3 3) )若若 焦焦 点点 在在 x x轴 上上 ； mm n n 0 0 n n mm 0 0 22 1 4 xy x m +=方 程表 示 焦 点 在轴 上 的 椭 圆 ， 则
6、 实 数 m的 取 值 范 围 是 。 典型例题典型例题 求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程的值，写出椭圆的标准方程. （焦点的位置不确定时要讨论）（焦点的位置不确定时要讨论） . (2 0) 2 (01 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)经过点，和点 ， 例 、 1 11 (2)经过点A(, )、B(0,- ) 3 32 2 2 1 4 x y+= 22 1 11 54 xy += 例3. 已知椭圆的两焦点为
7、F1(0,2）、F2(0,-2)，并且椭圆过 点 ,求椭圆的标准方程。 35 (,) 22 P 解法一： 解法二： 反思总结反思总结 标准方程标准方程 图形图形 焦点坐标焦点坐标 定义定义 a、b、c的关系的关系 焦点位置的判定焦点位置的判定 共同点共同点不同点不同点 F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c) 平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常的距离的和等于常 数（大于数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆. b2 = a2 c2 椭圆的两种标准方程中，总是椭圆的两种标准方程中，总是 ab0. 所以哪个所以哪个 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪 个轴上，相应的那个项的分母就越大个轴上，相应的那个项的分母就越大. 22 22 1(0) xy ab ab += 22 22 1(0) yx ab ab += x y ox y o
