1、第十三章不等式 知识网络 第十三章不等式 一元一次不等式 （组） 的解法 一元二次不等式 （组） 及其解法 一元二次不等式的解集 解一元二次不等式的步骤 分式不等式与高次不等式的解法 分式不等式 高次不等式 二元一次不等式 （组） 与简单的线性规划 数轴标根法 二元一次不等式（组） 的 概念及其表示的平面区域 简单的线性规划 线性规划的实际应用 先确界 再确域 概念 求最优解 不等关系与不等式 不等式的定义 不等关系与不等式的区别 不等式的分类 比较实数大小 不等式的性质 不等式性质的应用 不等式建立的基础 不等式 基本不等式 基本不等式： 基本不等式、 几种变形 比较实数大小或证明不等式 用
2、均值定理求最值、 一正二定三相等 利用均值定理解应用题 101 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 概述： 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系， 是数学研究的重要内容.建立 不等观念、 处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准， 在文章中， 学生 将通过具体情境， 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系， 理解不等式 （组） 对于刻画不等关系的意义和价值， 掌握求解一元二次不等式的基本方法， 并能解决 一些实际问题； 能用二元一次不等式组表示平面区域， 并尝试解决一些简单的二元
3、线性规 划问题； 认识基本不等式及其简单应用； 体会不等式、 方程及函数之间的联系. 13.1不等关系与不等式 一、 知识图表 不 等 关 系 与 不 等 式 不 等 关 系 与 不等式 不等式的定义 用不等号连接两个数或代数式而形成的式 子叫做不等式. 不 等 关 系 与 不 等 式的区别 不等关系强调的是量与量之间的关系， 而不 等式则是用来表示不等关系的式子， 不等关 系是通过不等式来体现的. 不等式建立的 基础 对于任意两个实数a，b， 都有 a-b0圳ab，a-b0圳ab圳bb，bc圯ac 可加性ab圳a+cb+c ab，cd圯a+cb+d 可乘性ab，c0圯acbc ab，c0圯a
4、cb0，cd0圯acbd 乘方性质ab0圯anbn（nN， 且n1） 开方性质ab0圯a n 姨b n 姨 （nN， 且n1） 倒数法则ab，ab0圯1 a b，cb-d 不等式相除ab0，dc0圯a c b d 不等式性质的 应用 证明简单的不等式； 判断相关命题的真假； 比较实数的大小； 求取值范围. （1）a=b，ab 中 ， 只要有一个成立， 就有 ab.如43，-2-2 都成立. （2）用 数 学 符 号 “” 、“” 、“0圳ab，a-b0圳a0时， 把比较a与b的大小转化为比较 a b 与1的大小， 此即为作商比较法.理论依据是： 若 a，bR+， 则ab圳 a b 1；ab圳
5、a b 1.一般步骤为： 作商变形与1比较大小定论. 2.在不等式的性质的应用中注意分析性质的条件是否具备， 做到有根有据， 严谨科学.（1） 在 应用传递性时， 如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号， 那么等号是传递不过去的， 例 如ab，bc圯ab圯ac2bc2； 若无c0这个条件， 则ab圯ac2bc2就是错误结论.（因为当c=0时， 取 “=”）.（3）“ab0圯an bn0（nN，n1）” 成立的条件是 “n为大于1的自然数，ab0”， 假如去掉 “n为大于1的自然 数” 这个条件， 取n=-1，a=3，b=2， 那么就会出现 “3-12-1” 的错误结论； 假如去掉 “b0
6、” 这个 条件， 取a=3，b=-4，n=2， 则出现 “32（-4）2” 的错误结论. 3.“不等式取倒数” 的性质：ab，ab0圯1 a 0，ab姨0，（a姨-b姨）20， （a 姨+b姨 ）（a 姨-b姨 ）2 ab姨 0， 当且仅当a=b时取等号. 例2设f（x）=ax2+bx， 且1f（-1）2，2f（1）4， 求f（-2） 的 取值范围. 思路引导：因为f（-1）=a-b，f（1）=a+b， 而1a-b2，2a+b 4； 又a+b与a-b中的a，b不是独立的， 而是相互制约的， 因此， 若将f（-2） 用a-b和a+b表示， 则问题得解. 解： 设f（-2）=mf（-1）+nf（1
7、）， 则 4a-2b=m（a-b）+n（a+b）， 即4a-2b=（m+n）a-（m-n）b， 三、 学习方法引导 名师经验谈：作差法的 目的是判定符号， 最常 用的变形技巧为因式分 解 ， 分 解 到 能 判 断 出 正、 负号为止.有时也 会用其他的技巧， 如配 方、 有理化等. 名师经验谈：在解此题 时， 常出现如下错误： 1a-b2， 2a+b4， ， +得32ab， 由得-2b-a-1， +得02b3， -3-2b0. 2+， 得34a- 2b12， 即3f（-2）12. 同向不等式两边可以相 加， 这种转化不是同解 变形， 在解题时多次使 用， 就有可能扩大真实 值的取值范围， 解
8、题时 务必小心. 103 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 于是， 得 m+n=4 m-n= = 2 ， 解得 m=3 n= = 1 ， f（-2）=3f（-1）+f（1）. 1f（-1）2，2f（1）4， 53f（1）+f（1）10， 故5f（-2）10. 四、 高考回眸 （2008广东） 设a，bR， 若a-|b|0， 则下列不等式中正确的 是 （） A. b-a0B. a3+b30D. a2-b20，b0） 用均值定理 求最大 （小） 值 利用定理 条件 “一正”： 各项均为正数； “二定”： 和或
9、积为常数； “三相等”： 等号必须成立. 构造定值 条件技巧 加项变换； 拆项变换； 统一换元； 平方后利用均值不等式. 基本不等 式与最值 若x，y是正数，x+y=S（和为定值）， 则当x=y 时， xy有最大值S 2 4 ； 若xy=P（积为定值）， 则当 x=y 时， x+y有最小值2P姨. 利用均值不等式比较实数大小或证明不等式 利用均值定理解应用题 104 第十三章不等式 例1设实数x，y，m，n满足x2+y2=3，m2+n2=1， 求mx+ny的最大值. 思 路 引 导 ：常 见 错 误 的 解 法 是 ：mx +ny m2+x2 2 + n2+y2 2 = 1 2 （m2+n2+
10、x2+y2）=2， 其中等号成立的充要条件是：m=x，n=y圯1=m2+ n2=x2+y2=3， 相互矛盾.故本题若用均值不等式， 必须经过变形使等 号成立. 解： 方法一：mx+ny=3姨 m y 3姨 +n y 3姨 姨? 3姨 1 2 m2+x 2 3 姨?+ 1 2 n2+y 2 3 姨?3?= 3姨 2 m2+n2+ x2+y2 3 姨?=3姨.当且仅 当x=3 姨m，y=3姨n，m2+n2=1 时， mx+ny取得最大值3姨. 方法二： 三角代换： 设x=3 姨cos，y= 3姨sin，m=cos，n=sin. 则mx+ny=3 姨coscos+ 3姨sinsin =3姨cos（-
11、）3姨. 例2若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数解， 求实数a的取值范围. 思路引导：换元后转化为一元二次方程在区间 （0，+） 上有实数 解的问题， 也可分离参数转化为函数求值域问题. 解： 方法一： 令t=2x（t0）， 则原方程化为t2+at+a+1=0， 问题转化 为方程在 （0，+） 上有实数解. 圳 0 方程的较大根大于 ? 0 圳 a2-4（a+1）0 -a+姨 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 圳a2-22姨. 方法二： 令t=2x（t0）， 则原方程可化为t2+at+a+1=0， 变形得a=- 1+t2 1+t =- （t2-1）+2 t+1 = -（t-1）
12、+ 2 t+1 31 = - （t+1）+ 2 t+1 - 31 2 -（22姨 -2）=2-22姨. 三、 学习方法引导 名师经验谈：在一个题 目中多次使用了均值不 等式， 要使不等式中的 等号成立， 必须使每个 不 等 式 的 等 号 同 时 成 立. 名师经验谈：不等式在 方程、 函数中的应用， 主要是利用不等式的解 或 者 均 值 不 等 式 求 最 值 ， 或 利 用 函 数 求 最 值. 1.在利用均值不等式求最值时， 要紧扣 “一正、 二定、 三相等” 的条件.“一正” 是说每一项 都必须为正值，“二定” 是说各个项的和 （或积） 必须为定值. “三相等” 是说各个项中字母取某
13、个值时， 能够使得各项的值相等.其中， 通过对所给式进行巧妙分析、 变形、 组合、 添加系数使之 能够出现定值是解题的关键， 目的在于使等号能够成立. 2.对于均值不等式， 不仅要记住原始形式， 而且要掌握它的变形及公式的逆用等， 例如ab a+b 2 姨? 2 a2+b2 2 （a，bR），ab 姨 a+b 2 a2+b2 2姨 （a0，b0） 等， 同时还要注意不等式成立 的条件和等号成立的条件. 二、 重要概念剖析 105 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.解一元二次不等式的一般步骤：对不等式变
14、形， 使一端为零且二次项系数大于零；计算 相应的判别式；当0时， 求出相应的一元二次方程的两根；根据一元二次不等式解的结构， 二、 重要概念剖析 （2011重庆理） 已知a0，b0，a+b=2， 则y= 1 a + 4 b 的最小值 是 （） A. 7 2 B. 4C. 9 2 D. 5 答案：C 四、 高考回眸 高考命题趋势：不等式 的应用， 突出渗透数学 思想方法和不等式性质 的综合应用， 特别是求 最值. 13.3一元二次不等式及其解法 一、 知识图表 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2的不等式称为 一元二次不等式. 0 x|xx大x
15、|x小xx大 =0 x x- b 2a a? 芰 0，=b2-4ac ax2+bx+c0ax2+bx+cb（a0） 当a0时， 解集 x x b a a? ； 当a0时， 解集 x x b a a? . （1） 对一元二次不 等式， 当a0的解集为x| mxn， 这时必有条件 a0（a0） 的解集为x|2x3， 求不等式 cx2+bx+a0的解集. 思路引导：由二次不等式、 二次方程、 二次函数的图象和性质解 题. 解： 由已知得a0 23= c a 0 a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ，c0. 设cx2+bx+a=0的两根为x1，x2（不妨设x1x2）， 则
16、x1+x2=- b c = 5 6 x1x2= a c = 1 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，x1= 1 3 ，x2= 1 2 .又c0， cx2+bx+a0的解集为 x x1 2 2?. （2011 广东） 不等式2x2-x-10的解集是 （） A.- 1 2 ， ，? 1B.（1，+） C.（-，1）（2，+）D.-，- 1 2 2?（1，+） 答案：D 三、 学习方法引导 名师经验谈：解答本题 思 维 障 碍 如 下 ：（1） 不 能 正 确 判 断c的 正 负； （2） 不能正确判 定两根的大小.对于一 元二次不等式解题时一 定要方程、 函数图象、 不等式相结合.
17、=b2-4ac0=00） 图象 ax2+bx+c=0（a0） 的根x1，x2且x10解集x|xx2 x x- b 2a a?R ax2+bx+c0解集x|x1xx2芰芰 y xx1x2 O y xx O y x O 写出解集. 2.关于x的一元二次不等式的解集： 四、 高考回眸 高考命题趋势：一元二 次不等式是高考每年必 考的一个重要内容， 所 以要熟练掌握其解法. 107 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 13.4不等式的实际应用 一、 知识图表 解答不等式应用题的一般步骤：（1） 阅读、 理解材料：
18、应用题所用语言多为 “文字语言”、 “符号语言”、“图形语言”， 我们要细心领悟问题的实际背景， 分析各个量之间的关系， 形成思路， 想办法把实际问题抽象成数学模型.（2） 建立数学模型： 根据题意， 把实际问题用 “符号语言”、 “图形语言” 抽象成数学模型， 并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系， 以便确立下一 步的努力方向.（3） 讨论不等关系： 根据 （2） 中建立起来的数学模型和题目要求， 讨论与结论有 关的不等关系， 得到有关理论参数的值.（4） 作出问题结论. 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 例某商品进货价为每件50元， 据市场调查， 当销售价格 （每件x 元）
19、在50 x80时， 每天售出的件数为P= 105 （x-40）2 .若想每天获 得利润最多， 则销售价格每件应定为多少元？ 思路引导：先构造函数， 再求函数取得最大值的条件. 解： 设每件的销售价格为x元， 则每件的利润为 （x-50） 元， 所以 利润函数为 y=（x-50） 105 （x-40）2 = 105（x-50） （x-50）+102 = 105（x-50） （x-50）2+20（x-50）+100 （50 x80）. 当x=50 时， y=0； 当500表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域. 画平面区域的 步骤 第一步： 直线定界. 第二步： 特殊点定域. 简
20、单 的 线 性 规划 线性规划的基 本概念 约束条件线性约束条件 目标函数线性目标函数 可行解可行域 最优解线性规划问题 求最优解的方 法 平移目标函数直线； 利用围成可行域的直线的斜率来判断. 线性规划的实际应用 （) 109 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 1.线性规划的基本概念. （1） 约束条件： 变量x，y满足的条件. （2） 线性约束条件： 由x，y的一次不等式 （方程） 组成的不等式组. （3） 目标函数： 欲求最大值或最小值涉及有变量x，y的解析式. （4） 线性目标函数： 目标函数是关
21、于x，y的一次解析式. （5） 可行解： 满足约束条件的解 （x，y）. （6） 可行域： 所有可行解组成的集合. （7） 最优解： 使目标函数取得最大值或最小值的可行解. （8） 线性规划问题： 在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题. 2.线性规划的图解法步骤：（1） 求可行解即可行域.（2） 作出目标函数的等值线.目标函 数z=ax+by（a，bR且a，b为常数）， 当z是一个指定的常数时， 就表示一条直线， 位于这条直 线上的点， 具有相同的目标函数值z， 因此称之为等值线.当z为参数时， 就得到一族平行线， 这一 族平行线完全刻画出目标函数z的变化状态.（3） 求出最终结果.在可行
22、域内平行移动目标函数等值线， 从图中能判定问题是有唯一最优解， 或是有无穷最优解， 或是无最优解. 例已知 x-y+20 x+y-40， 2x-y-5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 求： （1）z=x+2y-4的最大值； （2）z=x2+y2-10y+25的最小值； （3）z= 2y+1 x+1 的范围. 思路引导：（1）z=x+2y-4表示直线的纵截距问题； （2）z=x2+y2-10y+25表示距离的平方问题； （3）z= 2y+1 x+1 表示两点连线的斜率问题. 解： 作出可行域如图， 并求出顶点A（1，3），B（3，1），C（7，9）. （1） 易知可行域内各点均在直线x+2
23、y- 4=0的上方， 故x+2y-40， 将C（7，9） 代入z得最大值为21. （2）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点 （x，y） 到定点M（0，5） 的距离的平 方， 过M作直线AC的垂线， 易知垂足 N在线段AC上， 故z的最小值是|MN|2= 9 2 . 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 C M A B x-y+2=0 x+y-4=0 l0: x+2y=0 y x O 2x-y-5=0 名师经验谈：线性规划 求最值问题， 要充分理 解 目 标 函 数 的 几 何 意 义， 诸如直线的截距、 两 点 间 的 距 离 （ 或 平 方）、 点到直线的距离、 直线的斜率等. 11
24、0 第十三章不等式 （3）z=2 y- - 1 2 2? x-（-1） 表 示 可 行 域 内 任 一 点（x，y） 与 定 点 Q -1 ，- 1 2 2? 连线的斜率的两倍， 因为KQA= 7 4 ，KQB= 3 8 ， 故z的范 围为 3 4 ， 7 2 2?. （2010四川理数） 某加工厂用某原料由 甲车间加工出A产品， 由乙车间加工出B产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时， 可加工出7千克A产品， 每千克A产品获利 40元， 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小 时可加工出4千克B产品， 每千克B产品获 利50元.甲、 乙两车间每天共能完成至多70 箱原料的加工， 每天甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过480小时， 甲、 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （） A.甲车间加工原料10箱， 乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱， 乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱， 乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱， 乙车间加工原料30箱 答案：B 四、 高考回眸 高考命题趋势：线性规 划问题在命题时多以选 择 题 、 填 空 题 形 式 出 现， 比较简单； 有时也 在解实际应用问题时用 线性规划的理论解决. y Ox 70 48 80 （15，55） 70 111
