1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 知识网络 第十六章空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量在立体 几何中的应用 空间向量的线性运算 空间向量的基本定理 两个向量的数量积 空间向量的直角坐标运算 空 间 向 量 与 立 体 几 何 直线的向量方程 平面的法向量 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 概述： 本章内容主要包括空间向量及其运算、 空间向量在立体几何中的应用两部分. 空间向量及其运算部分， 是把平面向量的概念及线性运算推广到空间， 通过向量的坐 标运算获得空间向量平行和垂直的条件， 推导
2、空间直角坐标系上的度量公式， 包括求向量 的长度和夹角公式. 空间向量在立体几何中的应用部分， 用向量方法求证线线平行、 线面平行、 面面平 行， 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角， 并通过向量的平行或垂直条件 来讨论平面的平行或垂直.这一部分是立体几何位置关系判断的核心内容， 也是用向量方 法处理几何问题的具体体现.空间角、 空间距离都是以向量为工具来进行的度量计算， 其 中直线的方向向量、 平面的法向量是解决以上问题的桥梁. 向量是集数形于一身的数学概念， 是数学中数形结合思想的体现， 正成为高中数学的 基础知识， 它在物理学、 工程、 经济学及其他科学技术中都有着广泛的应用
3、. 130 第十六章空间向量与立体几何 16.1空间向量及其运算 一、 知识图表 1.空间向量的线性运算. 要点提示: 空间向量的加 法和数乘运算 律 加法交换律a+b=b+a 加法结合律（a+b）+c=a+（b+c） 分配律（+）a=a+a （a+b）=a+b 空间向量的加 法、 减法 O ? C =O ? A +A ? C =a+b B ? A =O ? A -O ? B =a-b 空间向量的数 乘 实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量， 称为向量的数乘. B OA C a+b b a-b a 2.空间向量的基本定理. 空间向量分解 定理 如果三个向量a，b, c不共面， 那么对空间任一
4、向量p， 存在一个唯 一的有序数组x，y，z， 使p=xa+yb+zc. 共线向量定理 如果两个空间向量a，b（b0），ab的充要条件是存在唯一的实 数x， 使a=xb. 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线， 则向量c与向量a，b共面的充要条件 是， 存在唯一的一对实数x，y， 使c=xa+yb. 数量积的性质 （1）ae=|a|cosa，e； （2）ab圳ab=0； （3）|a|2=aa； （4）|ab|a|b|. 数量积运算律 （1） （a） b=（ab）； （2）ab=ba； （3） （a+b） c=ac+bc 两个向量的夹 角 已知两个非零向量a，b， 在空间任取一点O， 作O ?
5、 A =a，O ? B =b， 则 AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a，b.规定0a，b ， 并且 a，b=b，a. 数量积的定义 已知空间两个向量a，b， 则|a|b|cosa，b 叫做向量a，b的数量 积 （或内积）， 记作ab. 3.两个向量的数量积. （1） 平面向量的线 性运算， 可推广到空间 中.其中 “三角形法则” 和 “平 行 四 边 形 法 则 ” 对空间向量同样成立. （2） 有限个向量求 和， 交换相加向量的顺 序其和不变. （3） 任意三个不共 面的空间向量都可以构 成空间的一个基底. （4）若 a，b= 2 ， 则称a，b互 相 垂 直， 记作ab； 若 a， b
6、=0或a，b=， 则称a，b互相平行， 记 作ab. （5） 零向量与其他 向量的夹角不加定义. （6）0a =a0 =0； （ab） ca（bc）. 131 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 二、 重要概念剖析 1.空间向量的定义、 表示方法及其相等关系都与平面向量相同. 2.空间任意两个向量都可转化为共面向量.凡涉及空间两个向量的问题， 平面向量中有关结论 仍适用于它们 （到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）.另外， 空 间向量a、b转化为平面向量时， 由a、b确定的平面不是
7、一个， 而是一个互相平行的平面的集合， 但研究问题时， 一般只要在其中一个平面内考虑即可. 3.向量的数量积是空间两向量位置关系中重要的几何量， 利用空间向量的数量积可以解决立体 几何中的线线、 线面、 面面垂直以及距离和夹角等一系列的问题. 例已知两个非零向量e1、e2不共线， 如果A ? B =e1+e2，A ? C =2e1+ 8e2，A ? D =3e1-3e2， 求证：A、B、C、D共面. 思路引导：欲证四点共面， 只需证明连接各点的向量共面即可， 即 证明三个向量可互相线性表示即可. 证明：A ? B =e1+e2，A ? C =2e1+8e2，A ? D =3e1-3e2， A
8、? D =3e1-3e2=5（e1+e2）-（2e1+8e2）=5A ? B -A ? C， A、B、C、D共面. 三、 学习方法引导 要点提示: （7） 与a同向的单 位向量e=a |a| = （a1，a2，a3） a21+a22+a23 姨 4.空间向量的直角坐标运算. 空间向量坐标 运算 设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）， 则 a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）， a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）， a=（a1，a2，a3）， ab=a1b1+a2b2+a3b3 空间向量平行、 垂直条件 ab（b0）圳a=b ab（b0）圳 a1=b1， 其
9、中a=（a1，a2，a3） a2=b2，b=（b1，b2，b3） a3=b3 3 b与三个坐标平面都不平行时，ab圳a1 b1 =a2 b2 =a3 b3 ab圳ab=0圳a1b1+a2b2+a3b3=0 向量夹角坐标 公式 设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3） |a|=aa姨=a21+a22+a23 姨 ，|b|=bb 姨=b 2 1+b 2 2+b 2 3姨 cosa，b= ab |a|b| = a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23姨b21+b22+b23姨 向量长度坐标 公式 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2） |A ? B |=（x2-x1
10、）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2姨 名师经验谈：掌握下面 结论：“空间任意无三 点 共 线 的 四 点A、B、 C、D共面的充要条件 是 ： 对 于 空 间 任 一 点 O， 存在实数x，y，z， 且x+y+z=1， 使得O ? A = xO ? B +yO ? C +zO ? D . 132 第十六章空间向量与立体几何 16.2空间向量在立体几何中的应用 一、 知识图表 1.用向量方法证明平行 （1） 直线与直线平行 设直线l1和l2的方向向量分别为v1，v2， 则：l1l2或l1与l2重 合圳v1v2. （2） 直线与平面平行 已知两个不共线向量v1，v2与平面共面， 一条直线l的
11、方 向向量为v， 则：l或l在内圳存在两个实数x，y， 使v= xv1+yv2. （3） 平面与平面平行 已知两个不共线的向量v1，v2与平面共面， 则：或与 重合圳v1， 且v2. 2.用向量运算证明垂直 （1） 直线与直线垂直 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则：l1l2圳v1v2. （2） 直线与平面垂直 设直线l的方向向量为v， 平面的法向量为n， 则l圳vn. （3） 平面与平面垂直 设n1，n2分别是平面，的法向量， 则：圳n1n2圳n1n2=0. 3.用向量运算求角 （1） 两条直线所成的角 设两条直线所成的角为兹， 直线l1和l2的方向向量分别为v1和 v2， 则
12、：cos兹|cosv1，v2|. （2） 直线与平面所成的角 设斜线l的方向向量为v， 平面的法向量为n，l与的夹角 为兹， 则sin兹|cosv，n|. （3） 二面角 已知二面角l的两个面和的法向量分别为n1，n2， 则 n1，n2 与该二面角相等或互补. 4.距离问题 （选学） （1） 一个图形内任一点与另一个图形的任一点的距离中的最小 的距离， 叫做两图形的距离. （1） 可用平面的法 向量证明平面平行. 设n1，n2分别是平 面，的 法 向 量 ， 则 或，重合圳n1 n2. （2） 若l， 则l与 夹角为90.若l或 l奂， 则l与夹角为0. （3） 如图，OA是平 面的斜线，OB
13、是OA 在内的射影，OM奂， AOB=兹1，BOM=兹2， AOM =兹，则cos兹 = cos兹1cos兹2. 要点提示: M B A 兹1兹 2 O 兹 133 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO （2） 空间中常见的距离有两点距离、 点线距离、 点面距离、 线 线距离、 线面距离、 面面距离. （3） 一个点到它在一个平面内的射影的距离叫做点到这个平面 的距离. （4） 已知直线l平行平面， 则l上任一点到的距离相等， 且 叫做l到的距离. （5） 和两个平行平面同时垂直的直线， 叫做这两个平面的公垂
14、 线.公垂线夹在两平行平面间的部分， 叫做两个平面的公垂线段.两 平行平面的任两条公垂线段的长都相等， 公垂线段的长叫做两平行 平面的距离， 也是一个平面内的任一点到另一个平面的距离. （6） 若平面的一个法向量为n，P是外的一点，M是内 的一点， 则P到平面的距离d=|M M? P |cosn，M M? P| 1.利用向量求线线角、 线面角、 二面角的主要公式是向量的数量积公式或这一公式的变形.这 里要特别注意的是两条直线所成的角不完全是两条直线的方向向量所成的角， 而是两条直线的方向 向量所成的锐角或直角.同样， 斜线与平面所成的角， 和平面的法向量与斜线的方向向量所成的锐 角互余.两平面
15、的法向量所成的角也不一定是两平面所成的二面角的平面角， 法向量的指向不同， 得到的是二面角的平面角或是二面角的平面角的补角. 2.立体几何中涉及的距离问题较多， 如两点距离， 点与线的距离， 点、 线与面的距离， 两异 面直线的距离等.若用向量来处理这类问题， 则思路简单、 解法固定. （1） 利用|AB|=|A M? B |=A M? BA M? B姨可以求解有关距离问题. （2） 设e是直线l上的一个单位方向向量， 线段AB在l上的投影是AB， 则有|AB|= |A M? Be|， 由此可求点到线、 点到面的距离问题， 其中以法向量的应用最常用. 求 P点到平面的距离：|PN|= |P M
16、? Mn| |n| （N为垂足，M为斜足，n为平面的法向量） 3.异面直线的距离： 设向量n与两异面直线a，b都垂直，M，Pb， 则两异面直线a，b 间的距离d就是M M? P在向量n方向射影的绝对值， 即d=|n M M? P | |n| . 例在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 已知AB=BC=2，AA1=5，E、F 分别为D1D、B1B上的点， 且DE=B1F=1. （1） 求证：BE平面ACF； （2） 求二面角FACB的大小； （3） 求直线AE与平面AFC所成的角. （4） 已知ABC在 平面内的射影为AB C， 平 面ABC与所 成 的 锐 二 面 角 为兹， 则SABC=S
17、ABCcos兹. 要点提示: 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 134 第十六章空间向量与立体几何 思路引导：建立空间直角坐标系， 应用向量方法求解. 解： 如右图建立空间直角坐标系. 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）. （1） 证明：B B? E =（-2，-2，1）， A B? C =（-2，2，0），A B? F =（0，2，4）. B B? EA B? C =0，B B? EA B? F =0， B B? E A B? C，B B? E A B? F . 又ACAF=A，B B? E
18、 平面ACF. （2） 由（1）可知，B B? E =（-2，-2，1）就是平面ACF的法向量， 又可取n=（0，0，1）为平面ABC的法向量， 且cosB B? E，n= B B? En |B B? E |n| = 1 3 . 故二面角FACB的大小为arccos1 3 . （3）A B? E =（-2，0，1）， 由（1 ）可知B B? E =（-2，-2，1）是平面AFC的 法向量， 又cosB B? E，A B? E= B B? EA B? E |B B? E |A B? E | = 5姨 3 . 直线AE与平面AFC所成的角为arccos 5姨 3 . （2009 江西） 在四棱锥P
19、ABCD中， 底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=4，AB=2， 以AC的中点O为球心，AC为直径 的球面交PD于点M， 交PC于点N. （） 求证： 平面ABM平面PCD； （） 求直线CD与平面ACM所成角的大小； （） 求点N到平面ACM的距离. 答案（） 略（）arcsin 6姨 3 （） 106姨 27 四、 高考回眸 D O P M N A BC 要点提示: （1） 选取适当的坐 标系应用空间向量的有 关公式计算空间几何体 上的 “线线”、“线面”、 “面 面 ” 夹 角 以 及 “点 点”、“点面” 距离时， 公式与坐标原点的选取 无关， 因为一个确定的 几何体，
20、 其有关夹角和 距离都是固定的， 坐标 系的建立位置不同， 只 不过会影响其计算的简 繁而已.因此， 选取坐标 系， 一定要分析空间几 何体的特征， 选取合适 的点作原点， 合适的线 和方向作坐标轴. （2） 平面的法向量 的求法： 若平面的法向量 为n=（x，y，z）， 则n ， 则n就 垂 直 于内 所有直线.比如nA B? B， nA B? C， 而A B? B，A B? C是 内已知坐标 （或者可 以通过其他途径求出坐 标） 的向量， 利用两个 数量积的关系：（x，y， z） A B? B =0，（x，y，z） A B? C =0， 可以求出平面 的法向量n. 高考命题趋势： 在有些立体几何的 解答中， 建立空间直角 坐 标 系 ， 以 向 量 为 工 具， 利用空间向量的坐 标和数量积解决直线、 平面问题的位置关系、 角 度、 长度等问题越来越 受青睐， 比用传统立体 几何的方法简便、 快捷. 预计这两年高考中， 加 大空间向量在立体几何 中的应用符合社会发展 趋势， 必 为 高 考 热 点. D F A B C A1 B1 C1 D1 E x y z 135
