1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 4 4等差数列等差数列 玩前必备 1数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项 2数列的通项公式 如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 anf(n)，那么这个式子叫作这个数 列的通项公式 3已知数列an的前 n 项和 Sn， 则 an S1n1 SnSn1n2 . 4等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数 叫作等差数列的公差，通常用字母 d 表示 5等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d
2、，那么它的通项公式是 ana1(n1)d. 说明：等差数列an的通项公式可以化为 anpnq(其中 p，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关 于 n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于 n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6等差数列的前 n 项和公式 设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn，则 Snna1an 2 na1nn1 2 d. 说明：数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B 为常数)这表明 d1 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次表达式，并且没有常数项. 7等差中项 如果 Aab 2 ，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 8等差数列的
3、常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 akalaman. 玩转典例 题型题型一一数列的概念数列的概念 例例 1根据下面数列an的通项公式，写出它的前 5 项： (1)ann 21 2n1；(2)a n=n(n+2). 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 解(1)在通项公式中依次取 n1,2,3,4,5，得到数列an的前 5 项为 0,1， 8 5， 15 7 ， 8 3； 玩转跟踪 1.已知数列an的通项公式为 an11 n1 2 ，则该数列的前 4 项依次为() A1,0,1,0B0,1,0,1 C.1 2
4、，0， 1 2，0 D2,0,2,0 答案A 解析当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a11，a20，a31，a40. 2.已知数列an的通项公式为 an 1 nn2(nN )，那么 1 120是这个数列的第_项 答案10 解析 1 nn2 1 120，n(n2)1012，n10. 3已知数列an的通项公式为 ann2n50，则8 是该数列的() A第 5 项B第 6 项 C第 7 项D非任何一项 答案C 解析n2n508，得 n7 或 n6(舍去) 题型二已知 Sn，求 an S1n1 SnSn1n2 . 例 2(江西，17)已知数列an的前 n 项和 Sn3n 2n 2 ，nN*. (1
5、)求数列an的通项公式； 解 由 Sn3n 2n 2 ，得 a1S11， 当 n2 时，anSnSn13n2， 所以数列an的通项公式为：an3n2. 玩转跟踪 1.(湖南，16)已知数列an的前 n 项和 Snn 2n 2 ，nN*. (1)求数列an的通项公式； 解 (1)当 n1 时，a1S11； 当 n2 时，anSnSn1n 2n 2 （n1） 2（n1） 2 n. 故数列an的通项公式为 ann. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_ 答案an 2，n1， 6n5，n2 解析当 n1 时，a1S13122112； 当
6、n2 时， anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当 n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an 2，n1， 6n5，n2. 题型三等差数列等差数列基本量的计算基本量的计算 例 3(1)(2018 北京)设 n a是等差数列，且 1 3a ， 25 36aa，则 n a的通项公式为_ (2)(2018 上海)记等差数列 n a的前几项和为 n S，若 3 0a ， 67 14aa，则 7 S= 【解析】设等差数列的公差为d， 2511 46536aaadadd， 6d ，3(1) 663 n ann 【解析】解法一 设 n a的公差为d，首项为 1 a，则 1 1
7、1 20 5614 ad adad ， 解得 1 4 2 a d ，所以 7 7 6 7 ( 4)214 2 S 解法二 3 2714ad，所以2d 故 43 2aad，故 74 77 214Sa 例 4(2018全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12，则 a5等于() A12B10 C10D12 答案B 解析设等差数列an的公差为 d，由 3S3S2S4， 得 3 3a1331 2 d 2a1221 2 d4a1441 2 d，将 a12 代入上式，解得 d3， 故 a5a1(51)d24(3)10. 故选 B. 玩转跟踪 1.(重庆，2)在等差数列an中，a
8、12，a3a510，则 a7() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A.5B.8C.10D.14 解析由等差数列的性质得 a1a7a3a5，因为 a12，a3a510，所以 a78，选 B. 答案B 2.(安徽，13)已知数列an中，a11，anan11 2(n2)，则数列a n的前 9 项和等于_. 解析由已知数列an是以 1 为首项，以1 2为公差的等差数列. S99198 2 1 291827. 答案27 3.(新课标全国，7)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和.若 S84S4，则 a10 () A.17 2 B.19 2 C.10D.12 解析由 S84S4知，
9、 a5a6a7a83(a1a2a3a4)， 又 d1， a11 2， a 101 291 19 2 . 答案B 题型题型四四等差数列的性质等差数列的性质 例 5(1)(上海，1)在等差数列an中，若 a1a2a3a430，则 a2a3_. 解析a1a2a3a42(a2a3)30，a2a315. 答案15 (2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9等于() A63B45C36D27 解析由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6为等差数列 即 2(S6S3)S3(S9S6)， 得到 S9S62S63S345，故选 B. (3)已知等差数列an的前 n
10、项和为 Sn，且满足S3 3 S2 2 1，则数列an的公差是() A.1 2 B1C2D3 (3)Snna1an 2 ，Sn n a1an 2 ，又S3 3 S2 2 1， 得a1a3 2 a1a2 2 1，即 a3a22， 数列an的公差为 2. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.(2015新课标全国，5)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5() A.5B.7C.9D.11 解析an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得 a31， S55（a1a5） 2 5a35.故选 A. 答案A 2.已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若
11、a12 014，S2 014 2 014 S2 008 2 0086，则 S 2 016_. 由等差数列的性质可得Sn n 也为等差数列，设其公差为 d. 则 S2 014 2 014 S2 008 2 0086d6，d1. 故S2 016 2 016 S1 1 2 015d2 0142 0151， S2 01612 0162 016. 题型题型五五 等差数列的等差数列的证明和证明和 Sn的的最值最值 例 6(大纲全国，17)数列an满足 a11，a22，an22an1an2. (1)设 bnan1an，证明bn是等差数列； (2)求an的通项公式. (1)证明由 an22an1an2 得 a
12、n2an1an1an2， 即 bn1bn2.又 b1a2a11，所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列. (2)解由(1)得 bn12(n1)，即 an1an2n1. 于是错误错误!(ak1ak)=错误错误!(2k1)，所以 an1a1n2，即 an1n2a1. 又 a11，所以an的通项公式为 ann22n2. 例 7（2020 届山东省泰安市肥城市一模） 记 n S为公差不为零的等差数列 n a的前n项和， 已知 22 19 aa， 6 18S . （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S的最大值及对应n的大小. 【答案】 （1） * (2)10 n an nN（2）当4n 或
13、5n 时, n S有最大值为 20 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】 （1）设 n a的公差为d，且0d 由 22 19 aa，得 1 40ad， 由 6 18S ，得 1 5 3 2 ad，于是 1 8a ,2d 所以 n a的通项公式为 * (2)10 n an nN （2）由（1）得 (1) 8( 2) 2 n n n Sn 2 9nn 2 981 () 24 n 因为 * nN， 所以当4n 或5n 时, n S有最大值为 20 玩转跟踪 1.（2018 全国卷）记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 1 7 a， 3 15 S (1)求 n a的通项公式； (2)求
14、n S，并求 n S的最小值 【解析】(1)设 n a的公差为 d，由题意得 1 3315ad 由 1 7a 得 d=2 所以 n a的通项公式为29 n an (2)由(1)得 22 8(4)16 n Snnn 所以当4n 时， n S取得最小值，最小值为16 2.（2020 届山东省淄博市高三二模）已知数列 n a满足 1 3 2 a ，且 1 1 1 2, 22 n n n a ann N. （1）求证：数列2n n a是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； 【解析】 （1）因为 1 1 1 2, 22 n n n a ann N，所以 1 1 222 n n n na a ，即 1
15、 1 222 nn nn aa ， 所以数列2n n a是等差数列，且公差2d ，其首项 1 23a 所以23(1)221 n n ann，解得 21 2 n n n a ； 玩转练习 1.（2019 全国 1 理 9）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A25 n anB310 n anC 2 28 n SnnD 2 1 2 2 n Snn 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 解析：解析：设等差数列 n a的公差为d，由 45 05Sa， 得 1 1 460 45 ad ad ，解得 1 3 2 a d ， 所以 2 542 nn anSnn，故选 A 2. （
16、2019 全国 3 理 14）记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 121 03aaa ，则 10 5 S S _. 解析解析 设等差数列 n a 的公差为d，则由 1 0a ， 21 3aa 可得， 1 2da ， 10110111 515111 10()2(29 )2(218 ) 4 5()2428 Saaadaa Saaadaa 3. （2019 江苏 8） 已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n 项和.若 2589 0,27a aaS， 则 8 S的 值是. 解析解析设等差数列 n a 的首项为 1 a，公差为d，则 111 1 ()(4 )70 9 8 927
17、 2 ad adad ad ，解得 1 5 2 a d 所以 81 8 7 86 ( 5) 15 216 2 d Sa . 4. （2019 北京理 10） 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 25 310aS ，,则 5 a _ . n S的 最小值为_. 解析解析：由题意得， 21 51 3 5 1010 aad Sad ，解得 1 4 1 a d .所以 51 40aad. 因为 n a是一个递增数列，且 5 0a ，所以 n S的最小值为 4 S或 5 S， 45 43 44110 2 SS . 5 （2017 新课标）等差数列 n a的首项为 1，公差不为 0若 2 a
18、， 3 a， 6 a成等比数列，则 n a前 6 项的 和为 A24B3 C3D8 【解析】设 n a的公差为d（0d ） ，由 2 326 aa a，得 2 (12 )(1)(1 5 )ddd， 所以2d ， 6 6 5 6 1( 2)24 2 S 选 A 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 6 （2017 浙江）已知等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S，则“0d ”是“ 465 +2SSS”的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解析】 655465 ()()SSSSaad， 当0d ， 可得 465 +2SSS； 当 465 +2SSS
19、， 可得0d 所 以“0d ”是“ 465 +2SSS” 充分必要条件，选 C 7 （2016 年全国 I）已知等差数列 n a前 9 项的和为 27， 10=8 a，则 100= a A100B99C98D97 【解析】设等差数列 n a的公差为d，因为 n a为等差数列，且 95 927Sa，所以 5 3a 又 10 8a， 解得 105 55daa，所以1d ，所以 1005 9598aad，选 C 8（2015 重庆）在等差数列 n a中，若 24 4,2aa，则 6 a A1B0C1D6 【解析】由等差数列的性质得 642 22 240aaa ，选 B 9 （2014 福建）等差数列
20、 n a的前n项和 n S，若 13 2,12aS，则 6 a A8B10C12D14 【解析】 设等差数列 n a的公差为d，则 31 33Sad，所以123 23d ，解得2d ，所以 6 12a 10.（2017 新课标）记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S ，则 n a的公差为 A1B2C4D8 【解析】解法一 由 61634 3()3()48Saaaa，得 34 16aa， 由 4534 ()()8aaaa，得 53 8aa，设公差为d，即28d ，所以4d 选 C 解法二 设公差为d，则有 1 1 2724 , 61548 ad ad 解得4d ，
21、故选 C 11 （2013 新课标 2）已知等差数列 n a的公差不为零， 1 25a ，且 11113 ,a aa成等比数列 （）求 n a的通项公式； （）求 14732 + n aaaa 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】 （）设 n a的公差为d，由题意， 2 111 13 aa a 即 2 111 1012ada ad ,于是 1 2250dad ,所以 0d （舍去） ，2d 故227 n an （）令 14732nn Saaaa 由（）知 32 631 n an ，所以 32n a 是首项为 25，公差为-6 的等差数列，从而 2 132 328 2 nn n Saann
22、 12（2018 北京）设 n a是等差数列，且 123 ln2,5ln2aaa (1)求 n a的通项公式； (2)求 12 eee n aaa 【解析】(1)设等差数列 n a的公差为d， 23 5ln2aa， 1 235ln2ad， 又 1 ln2a ，ln2d 1 (1)ln2 n aandn (2)由(1)知ln2 n an， ln2ln2 eee=2 n n ann ， e n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 2 12 ln2ln2ln2 eeeeee n n aaa 2 =222n 1 =22 n 12 eee n aaa 1 =22 n 13.（2016 年山东高考
23、）已知数列 n a的前 n 项和 2 38 n Snn， n b是等差数列，且 1.nnn abb （）求数列 n b的通项公式； 解析】()因为数列 n a的前n项和nnSn83 2 ，所以11 1 a，当2n时， 56) 1(8) 1(383 22 1 nnnnnSSa nnn ， 又56 nan对1n也成立，所以56 nan 又因为 n b是等差数列，设公差为d，则dbbba nnnn 2 1 当1n时，db112 1 ；当2n时，db172 2 ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 解得3d，所以数列 n b的通项公式为13 2 n da b n n 14.（2020咸阳二模）等差数列
24、 n a的前n项和为 n S，已知 37 18aa， 6 36S ( ) I求数列 n a的通项公式及前n项和为 n S； ()II设 n T为数列 1 n Sn 的前n项的和，求证：1 n T 【解答】( ) I解：( ) I由题意，设等差数列 n a的公差为d，则 1 1 2818 65 636 2 ad ad ，解得 1 1 2 a d 数列 n a的通项公式为12(1)21 n ann ，*nN 2 (1) 12 2 n n n Snn ()II证明：由( ) I知， 2 11111 (1)1 n Snnnn nnn 则 12 111 12 n n T SSSn 11111 1 2231nn 1 11 1n 即1 n T
