1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 25直线和直线方程 玩前必备 1直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转 到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围为0，180) 2直线的斜率 (1)定义：当直线 l 的倾斜角 2时，其倾斜角的正切值 tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan . (
2、2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1 x2x1. (3) 直线的倾斜角和斜率 k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是 90的直线斜率不存在它们之间的关系如下： 009090900不存在k0 3直线方程的五种形式 名称方程适用范围 点斜式yy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线 斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1 (y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一
3、般式 AxByC0 (A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 4两直线平行、垂直与斜率的关系 条件两直线位置关系斜率的关系 两条不重合的直线 l1，l2，斜率分别为 k1， k2 平行 k1k2 k1与 k2都不存在 垂直 k1k21 k1与 k2一个为零、另一个不存在 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若 k1k2，且 b1b2， 则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合 5利用一般式方程系数判断平行
4、与垂直 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20， l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10. l1l2A1A2B1B20. 6三种距离公式 (1)两点间距离公式 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|x2x12y2y12. (2)点到直线的距离公式 点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离：d |Ax0By0C| A2B2 . 说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式 (3)两平行线间距离公式 两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为 d|C 2C1| A2B2. 说明：求解两平行线间
5、距离公式时，两直线 x，y 前系数要化为相同 玩转典例 题型题型一一直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 例例 1已知两点 A(3， 3)，B( 3，1)，则直线 AB 的倾斜角等于() A 3 B2 3 C 6 D5 6 答案D 解析斜率 k 1 3 33 3 3 ，又0，)，5 6. 故选 D. 例例 2 （2020广东高三期末）直线3310 xy 的倾斜角为（） A30B60 C120D150 【答案】C 【解析】直线3310 xy 的斜率 3k ，设其倾斜角为，0 ,180，则tan 3 ，所 以120，故选：C 玩转跟踪 1经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为3
6、4 ，则 y() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A. 1B. 3C. 0D.2 答案B 解析由2y13 42 2y4 2 y2，得 y2tan3 4 1.y3. 2.直线 y 32x 的倾斜角是（） A 3 B 4 C 6 D 5 6 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为,0, ，由题意直线的斜率 3k ，所以tan 3k ，所以 3 . 故选：A. 题型二题型二直线方程的求解直线方程的求解 例例 3已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求： (1)
7、BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解析(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为y1 31 x2 22，即 x2y4 0. (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x，y)，则 x22 2 0，y13 2 2. BC 边的中线 AD 过点 A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为 x 3 y 21，即 2x3y60. (3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k11 2，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k 22. 由(2)知，点 D 的坐标
8、为(0,2)由点斜式得直线 DE 的方程为 y22(x0)， 即 2xy20. 玩转跟踪 1根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5. 解析(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设倾斜角为，则 sin 10 10 (0)，从而 cos 3 10 10 ，则 ktan 1 3. 故所求直线
9、方程为 y1 3(x4)即 x3y40 或 x3y40. (2)由题设知截距不为 0，设直线方程为x a y 12a1，又直线过点(3,4)， 从而3 a 4 12a1，解得 a4 或 a9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x50； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y10k(x5)，即 kxy(105k)0. 由点线距离公式，得|105k| k21 5，解得 k3 4.故所求直线方程为 3x4y250. 综上知，所求直线方程为 x50 或 3x4y250. 题型题型三三两直线平行与垂直的判定两直线平行与垂直的判定 例例 4（2
10、020四川达州.高三其他）直线 1 2:0laxya与直线 2 0:2lxaya互相平行，则实数a （） A4 B4C2D2 【答案】D 【解析】当0a 时， 1: 0ly ， 2: 0lx ，此时 12 ll，不满足条件， 当0a 时，应满足 2 2 aa aa = - ，解得2a ，综上，2a .故选：D. 例例 5已知直线 12 :(2)10,:20laxaylxay ，若 12 ll，则实数a的值为（） A-3B-3 或 0C2 或-1D0 或-1 【答案】B 【解析】由 12 ll知：(2)0aa a解得：0a 或 3a 故选：B 玩转跟踪 1若直线 1:3 20lxmy, 2: 2
11、80lxy互相平行,则实数m的值为（） A6B6 C 3 2 D 3 2 【答案】B 【解析】因为直线 1:3 20lxmy， 2: 280lxy互相平行, 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以3 21 m 且82 ( 2)m ,解得6m 且 1 2 m ,所以6m .故选：B 2.（2020昆明市官渡区第一中学高三开学考试）“3k ”是“两直线320kxy和2670kxy互相 垂直”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当3k
12、 时，两直线320kxy和2670kxy的斜率分别为：1 3 k 和1 3 k ，所以两 直线垂直； 若两直线320kxy和2670kxy互相垂直，则2( 3) 60 kk，解得：3k ； 因此“3k ”是“两直线320kxy和2670kxy 互相垂直”的充分不必要条件.故选：A 题型题型三三距离公式的应用距离公式的应用 例例 6 （1） （2020巴楚县第一中学高三期末） 已知点, 5A a ，(0,10)B的距离是 17 ， 则 a 的值是 （） A8B6C8D6 （2）（2020福建高三期末）原点到直线250 xy的距离为（） A1B3 C2D5 （3）（2020湖南张家界.高三期末）
13、直线3430 xy与直线690 xmy平行， 则它们的距离为 （） A 6 5 B 3 2 C12 5 D2 【答案】（1）C（2）D（3）B 【解析】（1） 22 105 17a ，即 2 64a ，8a .故选：C （2）由点到直线距离可知所求距离 22 02 05 5 12 d .故选：D. （3）直线3430 xy，即6860 xy，与直线690 xmy平行， 8m，根据两条平行直线之间的距离公式 12 22 CC d AB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 得 22 69153
14、 102 68 d .故选：B. 玩转跟踪 1到直线210 xy 的距离等于 5 5 的直线方程为() A2 0 xy B22 0 xy C2 0 xy 或220 xyD2 0 xy 或220 xy 【答案】D 【解析】因为所求与直线210 xy 的距离为 5 5 ，所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为20(1)xycc， 22 15 5 21 c d ，解得0c =或2c ， 故所求直线方程为2 0 xy 或220 xy.故选：D. 2（2020全国高三课时练习（理）过直线 1: 230lxy与直线 2:2 380lxy的交点，且到点 0,4P距离为2的直线方程为_. 【答案】
15、2y 或4 320 xy 【解析】由 230 2380 xy xy ，得 1 2 x y ，所以，直线 1 l与 2 l的交点为1,2. 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为1x ，点P到该直线的距离为1，不合乎题意； 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为21yk x，即 20kxyk ， 由于点0,4P到所求直线的距离为2，可得 2 2 2 1 k k ， 整理得 2 340kk ，解得0k 或 4 3 k . 综上所述，所求直线的方程为2y 或4 320 xy . 故答案为：2y 或4 320 xy . 玩转练习 1过两点(1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为() 玩
16、转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A3 2 B.3 2 C3D3 答案A 解析过两点(1,1)和(0,3)的直线方程为y1 31 x1 01 ，即 y2x3，令 y0 得 x3 2，即为所求 2已知直线 l1：(a1)x2y10 与 l2：xay30 平行，则 a 等于() A1B2C0 或2D1 或 2 答案D 解析由 l1l2，得(a1)a210，即 a2a20，解得 a1 或 a2. 当 a1 时，l1：2x2y10，即 2x2y10， l2：xy30，显然 l1l2.当 a2 时，
17、l1：x2y10， l2：x2y30，显然 l1l2，综上，a1 或 2.故选 D. 3已知 A(3,4)，B(1,0)，则过 AB 的中点且倾斜角为 120的直线方程是() A.3xy2 30B.3xy12 30 C.3xy2 30D.3x3y6 30 答案C 解析由题意可知 A、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率 ktan120 3 直线方程为 y2 3(x1)，即3xy2 30. 4直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y40 平行，则 l 的方程是() A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80 答案D 解析2x3y40 的斜率为 k2 3， 所求的直线方
18、程为 y22 3(x1)，即 2x3y80. 5若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为() A1B4C1 或 3D1 或 4 答案A 解析kMN m4 2m1，m1. 6已知直线 PQ 的斜率为 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60所得的直线的斜率为() A.3B 3C0D1 3 答案A 解析直线 PQ 的斜率为 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120，所求直线的倾斜角为 60，tan60 3. 7“3”是“直线x2y30 与直线 3x(1)y7 平行”的() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义
19、，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案C 解析当3 时，两直线平行若直线x2y30 与直线 3x(1)y7 平行，则(1)6，且 (7)33，解得3.因此选 C. 8已知直线 l 的倾斜角为3 4 ，直线 l1经过点 A(3,2)、B(a，1)，且 l1与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与 直线 l1平行，则 ab 等于() A4B2C0D2 答案B 解析l 的斜率为1，则 l1的斜率为 1，kAB21 3a 1，a0. 由 l1l2，2 b1，b2，所以 ab2. 9若 l1：x(1m)y(m2)0，l2：mx
20、2y60 平行，则实数 m 的值是() Am1 或 m2Bm1Cm2Dm 的值不存在 答案A 解析由 12(1m)m，得 m2 或 m1. 当 m2 时，l1：xy40，l2：2x2y60，平行 当 m1 时，l1：x2y10，l2：x2y60，平行 10若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为() A12B2C0D10 答案A 解析由 2m200，得 m10. 由垂足(1，p)在直线 mx4y20 上，得 104p20.p2. 又垂足(1，2)在直线 2x5yn0 上，则解得 n12. 11点(1，1)到直线 xy10 的距离是() A1 2 B
21、3 2 C 2 2 D3 2 2 答案D 解析d 22 |111| 11 () () 3 2 2 . 12已知过点 A(2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2xy10 平行，则两平行线间的距离是() A13 13 13 B5 5 13 C5 13 5 D13 5 5 答案D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析依题意得 4- 2, 2 m m m8，直线 AB 方程为：2xy120 d|12| 5 13 5 5 13已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距
22、离是() A0B2C. 1 3 D4 答案B 解析6 3 m 4 14 3 ，m8，直线 6xmy140. 可化为 3x4y70，两平行线之间的距离 d|37| 32422. 14若 A(3，4)，B(6,3)两点到直线 l：axy10 的距离相等，则 a 等于() A1 3 B. 7 9 C7 9 D7 9或 1 3 答案D 解析依题意，|3a41| a21 |6a31| a21 ，解得 a7 9或 a 1 3. 15对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是() A(2,3)B(3,2)C(2,3)D(3，2) 答案B 解析直线 yax3a2 变为 a(x3)(2y)0.又 aR， x30， 2y0， 解得 x3， y2， 得定点为(3,2)
