1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 19计数原理和排列组合 玩前必备 1分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方 法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方 法，完成第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 Nm1m2mn种不同的方法 3两个计数原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的
2、区别在于：分类 加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原 理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 4排列与排列数 (1) 排列的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列 (2) 排列数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数，用符号 A m n表示 (3) 排列数公式 当 mn 时，排列称为选排列，排列数为 Amnn(n1)(n2)(nm1)； 当
3、 mn 时，排列称为全排列，排列数为 Annn(n1)(n2)321 上式右边是自然数 1 到 n 的连乘积，把它叫做 n 的阶乘，并用 n！表示，于是 Annn！ 进一步规定 0！1， 于是，Amnn(n1)(n2)(nm1)n(n1)(nm1)(nm)(nm1)321 (nm)(nm1)321 n！ (nm)！，即 Amn n！ (nm)！ 5组合与组合数 (1) 组合的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合 (2)组合数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中
4、取出 m 个元素的组合数，用符号 C m n表示 (3) 组合数公式 Cmn Amn Amm n(n1)(n2)(nm1) m！ n！ m！(nm)！ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 规定：C0n1 (4) 组合数的两个性质：CmnCn m n；Cmn1Cm 1 nCmn 6排列与组合的区别 排列与组合的共同点，就是都要“从 n 个不同元素中，任取 m 个元素”，而不同点就是前者要“顺序” ，而 后者却是“并成一组”因此， “有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志. 玩转典例 题型题型一一计数原理计数原理 例例 1（2020浙江高三专题练习）某校高中三年级一班有优秀团员 8 人，二班有优
5、秀团员 10 人，三班有 优秀团员 6 人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选 1 人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出 2 个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法？ 例例 2 2（2020全国高三专题练习）用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 例例 3（2020辽宁实验中学高三月考（理） ）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去 哪个工厂可以自由选择
6、，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（） A16 种B18 种C37 种D48 种 玩转跟踪 1满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A14B13 C12D10 2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_ 3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么 所有凸数的个数为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 题型题型二二排列排列和排列数和排列数 例例 4 43 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数 (1)选其
7、中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 (6)全体站成一排，甲不站排头乙不站排尾 玩转跟踪 1.（2019上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中 甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示） 2.（2020全国高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人， 必须坐最北面的椅子，B， C二人必须坐相邻的两把椅子， 其
8、余三人坐剩余的三把椅子， 则不同的座次有 （） A60 种B48 种C30 种D24 种 3(四川，6)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有() A144 个B120 个C96 个D72 个 4(四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A192 种B216 种C240 种D288 种 题型题型三三组合和组合数组合和组合数 例例 5 5男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名现选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各 有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员
9、 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)队长中至少有 1 人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例例 6 6(2017全国)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有() A12 种B18 种C24 种D36 种 玩转跟踪 1某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少
10、有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 2.2. (2020湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中 China 又可以简写为 CN，从 “CN Dream”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有() A360 种B480 种C600 种D720 种 3.（2020全国 2 卷）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少 安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种. 题型题型四四排列组合综合问题排列组合综合问题 例例 7（202
11、0新全国 1 山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（） A. 120 种B. 90 种 C. 60 种D. 30 种 玩转跟踪 1 （浙江高考）若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A60 种B63 种C65 种D66 种 2.（北京高考）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同一人 的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 玩转练习 1 （2017 山东）从分别标有1，2，
12、9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张则抽到 的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 2(2016 年全国 II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A24B18C12D9 3 （2016 四川）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A24B48C60D72 4(2018 全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生
13、入选，则不同的选法 共有_种 （用数字填写答案） 5(2018 浙江)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成个没 有重复数字的四位数(用数字作答) 6 （2017 浙江）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要 求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法 （用数字作答） 7 （2017 天津）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位 数，这样的四位数一共有_个 （用数字作答） 8.（2020道里区校级一模）现有 5 名
14、学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁 不相邻的站法种数为() A36B24C22D20 9 （5 分） （2020金安区校级模拟）2016 里约奥运会期间，小赵常看的 6 个电视频道中有 2 个频道在转播 奥运比赛若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行 换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有() A6 种B24 种C36 种D42 种 10.（2020九龙坡区模拟）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且 红包被全部抢光，4 个红包中有一个 1 元，1 个 2 元，
15、两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包） ，则甲、 乙两人都抢到红包且金额不同的情况有() A36 种B30 种C24 种D18 种 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 11 （5 分） （2020新建区校级模拟）五经是指： 诗经 尚书 礼记 周易 春秋 ，记载了我国古代 早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品 中，占据相当重要的位置学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共 5 本进行 研读，若每人至少分一本，则 5 本书的分配方案种数是() A360B240C150D90 12 （5 分） （2020马鞍山一模）西湖
16、小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级 的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸203 班有包括奔奔、果果在内的 5 位同学报名参 加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个 课外活动课的选课方法种数为() A18B36C72D144 13.(2020辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投 食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但 此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分 成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 14.(2020广州调研)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大学 1 个， 并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐 方法共有() A36 种B24 种 C22 种D20 种 15.(2020南昌调研)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须 排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有() A120 种B156 种 C188 种D240 种
