1、专题专题 4.6导数大题（恒成立问题导数大题（恒成立问题 3） 1已知函数( )2(1) x a f xeax ，0 x，) （1）若0a ，证明： 2 ( ) 2f xxx； （2）若 2 ( ) 2(1)1f xxax，求a的取值范围 解： （1）证明：若0a ，则( )2 x f xex，即证 2 22 x exxx，只需证 2 1 1 2 x exx， 设 2 1 ( )1,0 2 x g xexxx ，则( )1 x g xex ，( )1 x gxe， 显然( ) 0gx在0，)上恒成立， ( )g x 在0，)上单增， ( )(0)0g xg ， ( )g x在0，)上单增， (
2、 )(0)0g xg， 2 1 10 2 x exx ，即得证； （2）令 2 ( )2(1)2(1)1 x a xeaxxax ， 依题意，对任意0 x，)，( ) 0 x恒成立，则(0)22 0 a e ，解得0a， 又 2 (1)1 0 xax在0 x，)上恒成立，0 x 显然成立， 1 (1)ax x 在(0,)x上恒成立，即(1) 2a，解得3a， 故30a ； 下面证明：当30a 时，( ) 0 x在0 x，)上恒成立， 令 2 ( )2(1)2(1)1, 3,0 x a t aeaxxaxa ，则 2 ( )2 (1)1 x a x t aex xax ， 0 x ， t （a）
3、0， t（a）在 3，0上单减，则 2 ( )(0)221 x t atexxx， 由（1）知， 2 1 1 2 x exx， 故 22222 1 221 2(1)21(11)0 2 x exxxxxxxxxx，当且仅当0 x 时， 取等号， 故( ) 0 x在0 x，)上恒成立， 综上，实数a的取值范围为 3，0 2已知函数( )1() x f xeaxlnxaR， 2 ( ) x g xxex （）当1a 时，求证：( )f x在(0,)上单调递增； （）当1x时，( )( )f xg x，求a的取值范围 解： （）证明：当1a 时，( )1 x f xeaxlnx，(0,)x， 则( )
4、1 x fxelnx，又 1 ( ) x fxe x 在(0,)上单调递增，且 1 ( )20 2 fe，且f（1） 10e ， 0 1 (2x，1)，使得 0 0 0 1 ()0 x fxe x ， 当 0 (0,)xx时，( )0fx，当 0 (xx，)时，( )0fx， ( )fx 在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 0 00 ( )()1 x fxfxelnx ， 0 0 1 0 x e x ， 0 0 1 x e x ， 00 lnxx ， 0 0 1 ( )10fxx x ， ( )f x在(0,)上单调递增； （）当1x时，( )( )f xg x，问题等
5、价于 2 (1)1 0 x xexaxlnx （记为*)在1，)上恒成立， 令 2 ( )(1)1 x g xxexaxlnx， ( )(2)(1) x g xx ea lnx， g（1）0，要使(*)式在1x，)上恒成立，则必须g（1）20ea ，2ae， 下面证明当2ae时，( )(0)g xg在1x，)上恒成立 1x ，10lnx ，( )(2)(2)(1) x g xx ee lnx ， 又1lnxx ， ( )(2)(2)() 0 xx g xx ee xx ex ， 当2ae时，( )g x在1，)上单调递增， ( )g xg（1）0，即(*)式在1x，)上恒成立， 故a的取值范围
6、为2e，)日期： 2021/5/21 12:3:07；户：尹 丽娜；邮箱： ；学号：19839377 3已知函数 1 ( )() x f xeaxa aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0 x时，(1)(1) 1f xln x，求实数a的取值范围 解： （1） 1 )( ) x f xeaxa 的定义域是R， 1 ( ) x fxea ， 当0a时，( )0fx在R上恒成立，故( )f x在R上单调递增；.2分 当0a 时，令( )0fx，得()1xlna，在(，()1)lna上有( )0fx，在( ()1lna，) 上有( )0fx， ( )f x在(，()1)lna上是减函数，
7、在( ()1lna，)上是增函数.4分 （2）当0 x时，(1)(1) 1f xln x，即(1)1 0(*) x eaxln x 令( )(1)1(0) x g xeaxln xx，则 1 ( )(0) 1 x g xeax x ， 若2a，由（1）知，当1a 时， 1 ( )1 x f xex 在( 1,) 上是增函数， 故有 1 1 ( )( 1)1 1 1f xfe ，即 1 ( )1 1 x f xex ，得 1 1 1 x ex ， 故有1 x ex （由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题） 111 ( )(1)2 (1)20 111 x g xeaxaxaa xx
8、x （ 当 且 仅 当 1 1 1 x x ， 即 0 x ，且2a 时取等号） 函数( )g x在0，)单调递增，( )(0)0g xg，(*)式成立.9分 若2a ，令 1 ( )(0) 1 x xea x x 则 2 22 1(1)1 ( )0 (1)(1) x x xe xe xx ，当且仅当0 x 时等号成立 1 ( ) 1 x xea x 在区间0，)上单调递增， (0)20a， 111 ()110 111 a aeaaa aaa ， 0 (0,)xa，使得 0 ()0 x，则当 0 0 xx时， 0 ( )()0 xx，即( )0g x， 函数( )g x在区间 0 (0,)x上
9、单调递减， 0 ()(0)0g xg，即，(*)式不恒成立 综上所述，实数a的范围是2，).12分 4已知函数 2 ( )1f xxx，( )sincosg xxx （）当 4 x 时，求证：( )( )f xg x； （）若不等式( )( )2f xg xax在0，)上恒成立，求实数a的取值范围 （）证明：令 2 ( )( )( )1sincosh xf xg xxxxx， 4 x ， （1）当 44 x 时， 2 ( )1cossin 1 x h xxx x ， 因为 3 2 2 1 ( )2sin()0 4 (1) hxx x ， 所以( )h x在 4 ，) 4 上单调递增，且(0)0
10、h， 当0 4 x 时，( )0h x，当0 4 x 时，( )0h x， 所以( )h x在 4 ，0)上单调递减，在(0,) 4 上单调递增， 所以( )(0)0h xh，所以( )( )f xg x； （2）当 4 x 时，则 222 ( )12sin()12()120 444 h xxxxxx ，所 以( )( )f xg x 综上所述，当 4 x 时，( )( )f xg x （）解：令 2 ( )( )( )21sincos2t xf xg xaxxxxxax，0 x， 则 2 ( )1cossin 1 x t xxxa x ， 由题意得( ) 0t x 在0，)上恒成立，因为(0
11、)0t， 所以(0)20ta ，所以2a， 下证当2a时，( ) 0t x 在0，)上恒成立， 因为 22 ( )1sincos21sincos22t xxxxxaxxxxxx， 令 2 ( )1sincos2xxxxx，只需证明( ) 0 x在0，)上恒成立， （1）当0 4 x 时， 2 ( )1cossin 1 x xxx x ， 3 2 2 1 ( )2sin() 4 (1) xx x ，因为( ) x在0， 4 上单调递减，所以( )(0)0 x， 所以( ) x在0， 4 上单调递减，所以( )(0)0 x， 所以( )x在0， 4 上单调递减，所以( )(0)0 x； （2）当
12、4 x 时， 222 ( )12sin()2122()1220 444 xxxxxx 综上所述，实数a的取值范围是2，) 5已知函数( )f xlnx （1）讨论函数( )( )()g xf xax aR的单调性； （2）证明： 2 ( )( x f xee 为自然对数的底数）恒成立 解： （1）( )g x的定义域为(0,)， 11 ( ) ax g xa xx ，(0)1x 分 当0a时，( )0g x恒成立，所以( )g x在(0,)上单调递增；2分 当0a 时，令( )0g x，得到 1 x a 所以，当 1 (0,)x a 时，( )0g x，则( )g x在 1 (0,) a 上单
13、调递增； 当 1 (x a ，)时，( )0g x，则( )g x在 1 (a，)上单调递减， 综上所述，当0a时，( )g x在(0,)上单调递增； 当0a 时，( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (a，)上单调递减3分 （2）证明：记函数 2 2 ( ) x x e xelnxlnx e ，则 2 2 111 ( ) xx xee exx ，4分 易知( ) x在(0,)上单调递增， 又由（1）0，（2）0知，( ) x在(0,)上有唯一的实数根 0 x，6分 且 0 12x，则 0 2 0 0 1 ()0 x xe x ， 即 0 2 0 1 (*) x e x ，8分
14、 当 0 (0,)xx时，( )0 x，则( )x在 0 (0,)x上单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0 x，则( )x在 0 (x，)上单调递增， 所以 0 2 00 ( )() x xxelnx ， 结合 0 2 0 1 (*) x e x ，知 00 2xlnx ，10分 所以 22 000 00 000 21(1)1 ( )()20 xxx xxx xxx ，11分 则 2 ( )0 x xelnx ，即 2x elnx ，所以 2 ( )( x f xee 为自然对数的底数）恒成立12分 6已知函数( )4 x f xae，( )1g xlnxx，其中e为自然对数的底数，aR
15、 （1）若对任意的 2 (0 x ，1，总存在 1 (0 x ，1，使得 12 ()()f xg x，求a的取值范围； （2）若函数( )yf x的图象始终在函数 ( ) 2 g x y x 的图象上方，求a的取值范围 解： （1）对任意的 2 (0 x ，1，总存在 1 (0 x ，1，使得 12 ()()( )( ) maxmax f xg xf xg x，(0 x， 1 ( )1g xlnxx，(0 x，1 11 ( )10 x g x xx ，( )g x在(0 x，1上单调递增， ( )maxg xg（1）2 ( )4 x f xae，(0 x，1 ( ) x fxae， 0a 时，
16、( )0fx，函数( )f x在(0 x，1上单调递增，( )maxf xf（1）42ae，解 得 2 a e 0a 时，( )42f x ，不成立，舍去 0a 时，( )0fx，函数( )f x在(0 x，1上单调递减，( )(0)4 max f xf ，而42 ，舍 去 综上可得：a的取值范围是 2 ( e ，) （ 2 ） 函 数( )yf x的 图 象 始 终 在 函 数 ( ) 2 g x y x 的 图 象 上 方 ( ) ( )2 2 g x f x， 即 1 42 x lnxx ae x ，(0,)x，也即10 x axelnxx ，(0,)x 令( )1 x h xaxelnxx，(0,)x 11 ( )(1)1(1)() xx h xa xexae xx ， 0a 时，( )0h x，函数( )h x在(0,)x上单调递减，h（1）0ae，不满足题意，舍去 0a时， 函数 1 ( ) x u xae x 在(0,)x上单调递增， 存在唯一 0 0 x 使得 0 ()0u x， 即 0 0 1 x ae x ， 00 lnaxlnx 0 000000 ( )()1 1120 x min h xh xax elnxxlnaxxlna ，解得 2 1 a e a的取值范围是 2 1 (e，)
