1、专题专题 6.6 解三角形大题（求值问题）解三角形大题（求值问题） 1如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，1AB ，3,2ADBC （1）若13CD ，求四边形ABCD的面积； （2）若 3 2 sin,(0,) 52 BCDADC ，求sinADC 解： （1）连接BD，在Rt ABD中，由勾股定理可得， 222 4BDABAD，故2BD ， BCD中，由余弦定理可得， 2222 2(13)42 cos 2222(13) BCCDBD C BC CD ， 因为C为三角形的内角，故 4 C ， 所以 113 13 222 ABD SAB AD ， 11213 sin2(13) 2222 B
2、CD SBC CDC ， 故求四边形ABCD的面积 1 3 2 S ， （2）在BCD中，由正弦定理可得 sinsin BCBD BDCBCD ， 所以 sin3 sin 5 BCBCD BDC BD ， 因为 1 (0,) 2 ADC，所以 1 (0,) 2 BDC， 4 cos 5 BDC， Rt ABD中， 3 tan 3 AB ADB AD ，故 6 ADB ， 所以 334143 3 sinsin() 6525210 ADCBDC 2如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点P，sinsinPABACPCACB （1）求证：sinsinABDCBD； （2）若120BAD，60
3、BCD，33BCCD，求AB 解：（1） 证明： 在PAB中， 由正弦定理得 sinsin PAPB ABDBAC ， 即sinsinPABACPBABD， 同理，PBC中有sinsinPCACBPBCBD， 又sinsinPABACPCACB， 所以sinsinPBABDPBCBD， 可得：sinsinABDCBD，得证 （2）因为120BAD，60BCD，33BCCD， 在BCD中，由余弦定理得 2222 1 2cos3123 17 2 BDBCCDBC CDBCD ， 由正弦定理得 sinsin CDBD CBDBCD ，所以 3 1 sin21 2 sin 147 CDBCD CBD
4、BD ， 在ABD中，由正弦定理得 21 7 sin 14 1 sin3 2 BDABD AD BAD ， 由余弦定理得 222 cos 2 ABADBD BAD AB AD ，即 2 171 22 AB AB ，解得2AB 3如图，ABC与ACD在同一个平面内， 4 CAD ，2ABBC， 22 2ACBCAC BC （1）求ACB； （2）若2 32AB ，且ACD的面积为 3，求CD的长 解： （1）因为 22 2,2ABBC ACBCAC BC， 所以 222222 22ACBCABACBCBCAC BC， 222 22 cos 222 ACBCABAC BC ACB AC BCAC
5、BC ， 又因为(0, )ACB， 故 4 ACB （2）因为2,2 32ABBC AB，所以62BC ， 又因为 22 2ACBCAC BC， 所以 22 ( 62)2( 62)ACAC， 整理得 2 2( 31)4( 32)0ACAC， 解得2AC 或2( 32)AC （舍去） 因为 12 sin3 22 ACD SAC ADCADAD ，所以3 2AD ， 由余弦定理得 222 2cos10CDACADAC ADCAD， 所以10CD 4如图，在ABC中，54ACAB， 3 cos 5 B （）求sinC的值； （）若5AB ，D为边BC上一点，ABD的面积为 12，求 BD DC 的值
6、 解： （）在ABC中， 3 cos 5 B ， 4 sin 5 B ， 由正弦定理可得： sinsin ABAC CB ， 5 45 sinsin 455 AB CB AC （）在ABC中，54ACAB，5AB ，4 5AC， ABAC， 5 sin 5 C ， 2 5 cos 5 C， 2 5 coscos()coscossinsin 25 ABCBCBC ， 由余弦定理可得： 22 2cos11BCABACAB ACBAC， ABD的面积为 12， 1 sin12 2 AB BDB ，解得6BD ， 6 5 BD DC 5在ABC中， 2 3 BAC ，D是BC上一点，ADAC且1AD
7、（1）若3AB ，求BC； （2）求 21 ABAC 解：因ADAC且1AD ，所以在ACD中， 2222 1CDADACAC ， 因为 2 3 BAC ，ADAC，所以 6 BAD ， 在ABD中，3AB ，1AD ，由余弦定理可得 22 3 2cos3123 11 62 BDABADAB AD ， 在ABC中，由余弦定理可得 222 2 2cos 3 BCABACAB AC ，即 222 1 (1)32 333 2 CDACACACAC， 由可得3AC ，2CD ， 所以123BCBDCD ， 所以3BC ； （2）因为 2 3 BAC ，所以 3 BC ， 在ABC中，由正弦定理可得 s
8、insin sin() 3 ABACAC CB C ， 在Rt ADC中， 1cos tantansin ADC AC CCC ， 所以 cos sin sin()sin() 33 ACC ABc CC ， 所以 2sin() 21sin3cossinsin 3 3 coscoscos C CCCC ABACCCC 所以 21 ABAC 的值为3 6在平面四边形ABCD中，,2, 23 ABCDACACBADC （1）若,3 6 ACBBC ，求BD； （2）若3DCAB，求cosACB 解： （1）如右图，,2, 23 ABCDACACBADC ，,3 6 ACBBC ， 可得 3 DAC ， 在直角三角形ABC中，tan1 6 ABBC ，2 cos 6 BC AC ， 可得DAC为边长为 2 的等边三角形， 在ABD中， 2 3 DAB ，可得 22 1 2cos142 1 2()7 2 BDABADAB ADDAB ； （2）如右图，设ABx，则3DCx，ACB，则2DAC， 在直角三角形ABC中， sinsin ABx AC ， 在ACD中，由正弦定理可得 sinsin2 ACCD ADC ， 即 33 sin22sincos3 sin 2 xxx ， 化简可得 3 cos 4 ， 即 3 cos 4 ACB
