1、专题专题 4.2导数小题（导数小题（2） 一、单选题 1已知函数( )2cos xx f xeex ，则不等式(21)(2)fxf x的解集为() A( 1,1)B( 1,2)C(, 1) D(0,2) 2已知函数( )f x的定义域为R，且满足了( )( )1( )fxf xfx是( )f x的导函数） ，若(0)0f， 则不等式( )1 x ef x的解集为() A(,0)B(0,)C(, 1) D( 1,) 3已知( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且当0 x 时， ( ) ( )0 f x fxlnx x ，则 不等式 2 (1) ( )0 xf x的解集为() A
2、( 1,1)B(，1)(0，1) C(，1)(1，)D( 1，0)(1，) 4函数( )22f xxlnxxa，若( )f x与( ( )f f x有相同的值域，则a的取值范围为() A(，0B 1 ( 2 ，0C0， 3) 2 D0，) 5已知函数( )f x的导数( )(1)()fxa xxa，且( )f x在xa处取得极大值，则实数a的取值范 围是() A1a B10a C01aD1a 6已知函数 3 ( ) x f xe ， 1 ( ) 22 x g xln，若( )( )f mg n成立，则mn的最大值为() A12lnB2lnC22lnD21ln 7若 2633xx xxaea e
3、对0 x，)恒成立，则a的取值范围是() A(0,)B 1 (e，)C 2 4 (e，)D 3 9 (e，) 8若函数( ) xx f xeex ，则满足 2 ()( 12 (| 1) 0 2 x f afln x 恒成立的实数a的取值范围 是() A 1 2 4 ln ，)B 7 62 2 ln ，)C 1 2 2 ln，)D 1 22 2 ln，) 二、多选题 9直线 1 2 yxb能作为下列()函数的图象的切线 A 1 ( )f x x B 4 ( )f xxC( )cosf xxD( )f xlnx 10设( )f x，( )g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数，( )fx，( )g
4、 x为其导函数，当0 x 时， ( )( )( )( )0fx g xf x g x且( 3)0g ，则使得不等式( )( )0f x g x 成立的x的取值范围是() A(, 3) B( 3,0)C(0,3)D(3,) 11关于函数( ) x f xeax，xR，下列说法正确的是() A当1a 时，( )f x在(,0)上单调递增 B当0a 时，( )3f xlnx在(0,)x上恒成立 C对任意0a ，( )f x在(,0)上一定存在零点 D存在0a ，( )f x有唯一极小值 12设函数( )f xxlnx， ( ) ( ) fx g x x ，给定下列命题，其中是正确命题的是() A不等
5、式( )0g x 的解集为 1 (e，) B函数( )g x在(0, ) e单调递增，在( ,)e 单调递减 C当 12 0 xx时， 22 1212 ()()() 2 m xxf xf x恒成立，则1m D若函数 2 ( )( )F xf xax有两个极值点，则实数 1 (0, ) 2 a 三、填空题 13 已知( )f x是定义在(，0)(0，)上的奇函数， 当0 x 时， 1 ( )1 x f xe ， 则曲线( )yf x 在点( 1，( 1)f 处的切线方程为 14已知定义在R上的可导函数( )f x的导函数为( )fx，且满足( )( )fxf x， 1 (0) 2 f，则不等 式
6、 1 ( )0 2 x f xe的解集为 15函数 cos7 ( )() 44 x x f xx e 取最大值时x的值为 16已知直线ykxb与曲线 2 cosyxx相切，则 2 k b 的最大值为 专题专题 4.2导数小题（导数小题（2）答案）答案 1解：因为( )2cos xx f xeex ， 所以()2cos( ) xx fxeexf x ，即( )f x为偶函数， 当0 x时，( )2sin xx fxeex ，( )2cos0 xx fxeex ， 即( )fx在0，)上单调递增，( )(0)0fxf， 故( )f x在0，)上单调递增， 因为(21)(2)fxf x， 所以|21
7、| |2|xx， 所以 22 44144xxxx ， 解得11x 故选：A 2解：因为( )( )1fxf x， 所以( )( )10fxf x 令 ( )1 ( ) x f x g x e ， 则 2 ( ) ( )1( )( )1 ( )0 xx xx fx ef xefxf x g x ee ， 所以( )g x在R上单调递增， 又(0)0f， 所以(0)(0)11gf ， 又 ( )1 ( )11 x x f x ef x e ， 即( )(0)g xg， 由得：0 x ， 即不等式( )1 x ef x的解集为(0,)， 故选：B 3解：令( )( )g xf x lnx，则 ( )
8、 ( )( )0 f x g xfx lnx x ， ( )g x在(0,)时单调递增，又g（1）f（1）10ln ， (0,1)x 时，( )0g x ，(1,)x时，( )0g x ， 当(0,1)x时，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， (1,)x时，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， ( )0f x在(0,)上恒成立， 又( )f x是奇函数，(0)0f， ( )0f x在(,0)上恒成立， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即01x， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即1x ， 由得不等式的解集是(，1)(0，1)， 故选：B
9、 4解：根据题意，( )yf x的定义域为(0,)x， 又因为( )fxlnx，故可得( )01fxx；( )001fxx， 即得函数( )f x在(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增； 因此可得( )f x的最小值为f（1）21a，且x 时，( )f x ，即得函数( )f x的值域为 21a ，)， 函数( )yf x与函数( ( )yf f x的值域相同，且( )f x的定义域为：(0,)x， 故只需使 1 021 10 2 aa 故选：B 5解： （1）当0a 时， 当1xa 时，( )0fx，当xa时，( )0fx， 则( )f x在xa处取到极小值，不符合题意； （2）当0a
10、 时，函数( )f x无极值，不符合题意； （3）当10a 时， 当1xa 时，( )0fx，当xa时，( )0fx， 则( )f x在xa处取到极大值，符合题意； （4）当1a 时，( ) 0fx，函数( )f x无极值，不符合题意； （5）当1a 时， 当xa时，( )0fx，当1ax 时，( )0fx， 则( )f x在xa处取到极小值，不符合题意； 综上所述10a ， 故选：B 6解：不妨设( )( )f mg nt， 3 1 22 m n elnt ，(0)t ， 3mlnt，即3mlnt， 1 2 2 t ne ， 故 1 2 32(0) t mnlntet ， 令 1 2 ( )
11、32(0) t h tlntet ， 1 2 1 ( )2(0) t h tet t ， 1 2 2 1 ( )20 t h te t ， 故( )h t在(0,)上是减函数，且 1 ( )0 2 h， 当 1 2 t 时，( )0h t，当 1 0 2 t 时，( )0h t， 即当 1 2 t 时，( )h t取得极大值同时也是最大值， 此时 11 ( )3212 22 hlnln ，即mn的最大值为12ln， 故选：A 7解：将原不等式变形可得， 322 3 ()() (*) xx aeaexx对任意的0 x，)恒成立， 其中 2 0 x ，1 x e ，由此可得上式只有在0a 时成立，
12、 此时，设 3 ( )F xxx，则(*)式即可表示为 2 ()() x F aeF x， 2 ( )130F xx 恒成立，即( )F x为单调递增函数； 故有 2x aex恒成立 2 x x a e 恒成立， 令 2 ( ) x x f x e ，则有 2 2(2) ( ) xx xxxx fx ee ， 令( )02fxx，或0 x ； 则有( )002fxx；( )02fxx，或0 x ， 根据题意可得，函数( )f x在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减； 故有 2 4 ( )(2) max f xf e ，即 2 4 a e 恒成立 故选：C 8解：( )f x的定义域为R
13、，且()() xxxx fxeexeex ， 则( )f x为奇函数， ( ) xx f xeex ，( )1 2 1 10 xx fxee 恒成立， ( )f x在R上单调递增， 要使 2 ()( 12 (| 1) 0 2 x f afln x 恒成立， 则 2 ()( 12 (| 1)(12 (| 1) 2 x f afln xfln x 恒成立， 即 2 12 (| 1) 2 x aln x恒成立，也就是 2 1 2 (| 1) 2 x aln x恒成立， 令 2 ( )2 (| 1) 2 x g xln x，该函数为偶函数，只需求 2 ( )2 (| 1) 2 x g xln x在0，
14、)上的最大值 2 ( )2 (1) 2 x g xln x， 2 22(1)(2) ( ) 111 xxxx g xx xxx 当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x， ( )g x有最大值为g（1） 1 22 2 ln，可得 1 2 2 2 aln ， 实数a的取值范围是 1 22 2 ln，) 故选：D 9解：直线 1 2 yxb的斜率为 1 2 k ， 由 1 ( )f x x 的导数为 2 1 ( )fx x ，即有切线的斜率小于 0，故A不能选； 由 4 ( )f xx的导数为 3 ( )4fxx，而 3 1 4 2 x ，解得 1 2 x ，故B可以选；
15、由( )cosf xx的导数为( )sinfxx ，而 1 sin 2 x有解，故C可以选； 由( )f xlnx的导数为 1 ( )fx x ，而 11 2x ，解得2x ，故D可以选 故选：BCD 10解：( )f x，( )g x分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ()( )fxf x ，()( )gxg x， 令( )( )( )h xf x g x， 则()( )hxh x ， 故( )( )( )h xf x g x为R上的奇函数， 当0 x 时，( )( )( )( )0fx g xf x g x， 即0 x 时，( )( )( )( )( )0h xfx g xf x g x，
16、 ( )( )( )h xf x g x在区间(,0)上单调递减， 奇函数( )h x在区间(0,)上也单调递减， 又( 3)0g ， ( 3)hh（3）0， 当( 3x ，0)(3，)时，( )( )( )0h xf x g x， 故选：BD 11解：对于:1A a 时，( ) x f xex， ( )1 x fxe，令( )0fx，解得：0 x ，令( )0fx，解得：0 x ， 故( )f x在(,0)递减，在(0,)递增，故A错误； 对于:0B a 时，问题转化为3 x elnx在(0,)x上恒成立， 令( )3 x g xelnx，则 1 ( ) x g xe x ， 2 1 ( )
17、0 x gxe x ， ( )g x在(0,)递增， 1 ( )20 2 ge，g（1）10e ， 故存在 0 1 (2x ，1)，使得 0 ()0g x，即 0 0 1 x e x ， 故( )g x在 0 (0,)x递减，在 0 (x，)递增， 故 0 000 0 1 ( )()33223210 x min g xg xelnxlnxlnln x ， 故B错误； 对于:0C a 时，( )0 x fxea，( )f x在R递增， 而(0)10f ，x 时，( )f x ， 故对任意0a ，( )f x在(,0)上一定存在零点，故C正确， 对于:0D a 时，( ) x fxea， 令( )
18、0fx，解得：xlna，令( )0fx，解得：xlna， 故( )f x在(,)lna递减，在(,)lna 递增， 故( )f xf lna 极小值 ，存在0a ，( )f x有唯一极小值， 故D正确； 故选：CD 12解：因为函数( )f xxlnx，定义域 |0 x x ， 所以( )1fxlnx， 则 ( )1 ( ) fxlnx g x xx ， 2 ( ) lnx g x x ， 对于A，( )0g x ，即 1 0 lnx x ，10lnx ，即 1 x e ，故正确 对于B， 2 ( ) lnx g x x ，当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增，故错误 对于C
19、，若 12 0 xx时，总有 22 1212 ()()() 2 m xxf xf x恒成立， 则 22 111222 0 22 mm xx lnxxx lnx，在(0,)上恒成立， 令 2 ( ) 2 m H xxxlnx，(0)x ， 只需要(0) 2 mlnx x x 恒成立 即()(0) 2 max mlnx x x ， 令( )(0) lnx h xx x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ， 令( )0h x，解得xe， 故( )h x在(0, ) e上递增，在( ,)e 上递减， 故( )maxh xh（e） 1 e ， 故 1 2 m e ， 2 m e ，故1m成立 对
20、于D，若函数 2 ( )( )F xf xax有两个极值点， 则( )( )2F xfxax有两个零点， 即120lnxax ， 1 2 lnx a x ， 令 1 ( ) lnx G x x ，则 2 ( ) lnx G x x ， ( )G x在(0,1)递增，在(1,)递减， G（1）1， 即2(0,1)a， 1 (0, ) 2 a，故D正确， 故选：ACD 13解：由( )f x是定义在(，0)(0，)上的奇函数，可得()( )fxf x ， 当0 x 时， 1 ( )1 x f xe ，可得0 x 时， 1 ( )()1 x f xfxe ， 0 x 时，( )f x的导数为 1 (
21、 ) x fxe ， 则曲线( )yf x在点( 1，( 1)f 处的切线的斜率为 1， 切点为( 1,0)， 则切线的方程为01yx，即有1yx 故答案为：1yx 14解：因为( )( )fxf x，所以( )( )0fxf x， 令 ( ) ( ) x f x g x e ，则 ( )( ) ( )0 x fxf x g x e ， 故( )g x在R上单调递减； 又 1 (0) 2 f，则不等式 1 ( )0 2 x f xe可化为： 0 ( )1(0) 2 x f xf ee ， 即( )(0)g xg， 所以0 x，即不等式 1 ( )0 2 x f xe的解集为0，)， 故答案为：
22、0，) 15解： cos7 ( )() 44 x x f xx e ， sincos ( ) x xx fx e ， 令( )0fx，即sincos0 xx，解得： 4 x 或 3 4 x 或 7 4 x ， 4 x ， 3 ) 4 时，( ) 0fx， 3 4 x ， 7 4 时，( ) 0fx， 故( )f x在 4 ， 3 ) 4 上单调递增，在 3 4 ， 7 4 上单调递减， 故 3 4 x 时，( )f x取最大值， 故答案为： 3 4 16解： 2 ( )cosyf xxx的导数为( )2sinfxxx， 由于(2sin )2cos0 xxx ，可得2sinxx为增函数， 当0 x时，2sin0 xx，则( )yf x递增，可得( )(0)1f xf， 因为( )yf x为偶函数，可得( )f x在(,0)递减， 问题转化为 2 cosxx kxb对xR恒成立 当 2 x 时， 2 24 k b ， 当 2 24 k b 时，令()0 2 fk ，即1k， 所以 2 2 4 b ， 此时 2 2 2 cos(1) 4 xxx ，而 2 2 (1) 4 yx 为( )f x在 2 x 处的切线方程 则 2 k b 的最大值为 2 4 故答案为： 2 4
