（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册3.2.1 单调性与最大（小）值讲义（学生版+教师版）.zip

单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的单调性要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间DA ： 如果对于内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数；D 如果对于内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是减函数.D 要点诠释：要点诠释： (1)属于定义域 A 内某个区间上； (2)任意两个自变量且； 12 ,x x 12 xx (3)都有； 1212 ()()()()f xf xf xf x或 (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2单调性与单调区间单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数 f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间上具有单调性，称为DDD 函数 f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：要点诠释： 单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 不能随意合并两个单调区间； 有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3函数的最大（小）值函数的最大（小）值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：( )yf xIM 对于任意的，都有（或） ；xI( )f xM( )f xM 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）. 0 xI 0 ()f xMM( )yf x 要点诠释：要点诠释： 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值； 0 x 0 ()f x 对于定义域内的任意元素，都有（或） ， “任意”两字不可省；x 0 ( )()f xf x 0 ( )()f xf x 使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；( )f x 函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的( )f x 几何意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； 12 xx，( )f x 12 xx (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系； (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函数，若 tg x在区间上是单调函数，则 yf t在区间ab， 或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同( )( )g ag b，( )( )g bg a， tg x yf t 时为减） ，则 yfg x 为增函数；若与单调性相反，则为减函 tg x yf t yfg x 数. 要点二、基本初等函数的单调性要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数正比例函数(0)ykx k 当 k0 时，函数在定义域 R 是增函数；当 k0 时，函数在定义域 R 是增函数；当 k0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；( 2 b a ，) 2 b a ，+ 若 a0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数( 2 b a ，) 2 b a ，+ 要点三、一些常见结论要点三、一些常见结论 (1)若( )f x是增函数，则为减函数；若( )f x是减函数，则为增函数；( )f x( )f x (2)若( )f x和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或( )g x( )f x( )g x( )( )f xg x 减)函数； (3)若且( )f x为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且( )0f x ( )f x 1 ( )f x ( )0f x 为减函数，则函数为减函数，为增函数.( )f x( )f x 1 ( )f x 【典型例题典型例题】 类型一、函数的单调性的证明类型一、函数的单调性的证明 例 1讨论函数的单调性，并证明你的结论.( )(0) a f xxa x 【解析】设，则，. 12 0 xxa 12 0 xx 121212 0,0,0 x xx xax xa ，即. 1212 1212 1212 ()() ()()0 xxx xaaa f xf xxx xxx x 12 ()()f xf x 在上单调递减.( )f x 0, a 同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.( )f x ,a ,a ,0a 故函数在和上单调递增；在和上单调递减.( )f x ,a ,a ,0a 0, a 类型二、求函数的单调区间类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 2 |1|( -2)yxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2) (3)； （4）y=|x2-2x-3|. 1 21 y x ， 2 1 y x 例 3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且( )yf xRx xR ()( )( )f xxf xf x 对任意的，都有.0 x ( )0,(3)3f xf （1）试说明：函数是上的单调递减函数；( )yf xR （2）试求函数在（且）上的值域.( )yf x,m n,m nZ0mn 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有( )f x(0,)1x ( )0f x xy ，试判断的单调性.()( )( )f xyf xf y( )f x 【变式 2】已知增函数 y=f（x）的定义域为且满足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y） ，求(0 ,) 满足 f（x）+f（x3）2 的 x 的范围 类型三、单调性的应用类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 4. 已知函数是定义域为的单调增函数( )f xR （1）比较与的大小； 2 (2)f a (2 )fa （2）若，求实数的取值范围 2 ()(6)f af aa 例 5. 求下列函数的值域： (1)； x5，10； x(-3，-2)(-2，1)； 2 -1 2 x y x (2)； 2 -28yxx (3)；43 -1-2yxx (4).1-2yxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数 f（x）的最大值和最小值 例 6.求在区间0，2上的最大值和最小值. 2 ( )21f xxax 类型四、抽象函数的单调性及应用类型四、抽象函数的单调性及应用 例 7已知：函数对一切实数 x，y 都有成立，且 f（1）=0( )f x()( )(21)f xyf yx xy （1）求 f（0）的值 （2）求 f（x）的解析式 （3）已知 aR，设 P：当时，不等式恒成立； 1 0 2 x( )32f xxa Q：当 x2，2时，是单调函数( )( )g xf xax 如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A，满足 Q 成立的 a 的集合记为 B，求 ACRB（R 为全集） 【巩固练习巩固练习】 1定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( )R( )f x, a b ( )( ) 0 f af b ab A函数先增后减 B函数先减后增( )f x( )f x C函数是上的增函数 D函数是上的减函数( )f xR( )f xR 2在区间上为增函数的是( ) 0 , ( A B C D1y2 1 x x y12 2 xxy 2 1xy 3函数的一个单调递减区间可以是（ ）( )(2)f xx x A.-2，0 B.0，2 C.1，3 D. 0，+） 4已知是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） (31)4 ,1 ( ) 1,1 axa x f x xx A B C D 1 ,) 7 1 1 , ) 7 3 1 (, ) 3 11 (, ( ,) 73 5函数的值域为( )11yxx A B C D2,2, 0,2, 0 6设，函数的图象关于直线对称，则之间的0a 2 ( )f xaxbxc1x (1),( 2),( 3)fff 大小关系是（ ） A. B. (1)( 2)( 3)fff( 3)( 2)(1)fff C. D. (1)( 3)( 2)fff( 2)( 3)(1)fff 7已知函数若，则实数的取值范围是（ ） 2 2 4 ,0, ( ) 4,0, xx x f x xxx 2 (2)( )faf aa A B C D , 12, 1,22,1 , 21, 8在函数的图象上任取两点，称为函数从( )yf x 1122 ( ,), (,)A x yB xy 21 21 yyy xxx ( )yf x 到之间的平均变化率.设函数，则此函数从到之间的平均变化率为（ ）. 1 x 2 x 2 ( )1f xxx 1 x 2 x A B 2112 ()(1)xxxx 12 1xx C D 2112 ()(1)xxxx 12 1xx 9函数的单调递增区间为（ ） 2 32yxx A B C D 3 , 2 3 , 2 2 ,1 10函数的值域是_.21yxx 11函数与在区间（1，2）上都单调递减， 2 ( )2f xxax 1 ( ) 1 ax g x x 则实数 a 的取值范围是_ 12函数的定义域为 A，若且时总有，则称为单函( )f x 12 ,x xA 12 ()()f xf x 12 xx( )f x 数例如，函数是单函数下列命题：( )21()f xxxR 函数是单函数； 2 ( )()f xxxR 若为单函数，且，则；( )f x 12 ,x xA 12 xx 12 ()()f xf x 若 f：AB 为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；bB 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数( )f x( )f x 其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号） 13已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在( )f x1,1()( )fxf x ( )f x 定义域上单调递减；(3)求的取值范围. 2 (1)(1)0,fafaa 14已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）=1 和 f（x+1）f（x）=2x （1）求 f（x） ； （2）求 f（x）在区间1，1上的最大值和最小值 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的单调性要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间DA ： 如果对于内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数；D 如果对于内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是减函数.D 要点诠释：要点诠释： (1)属于定义域 A 内某个区间上； (2)任意两个自变量且； 12 ,x x 12 xx (3)都有； 1212 ()()()()f xf xf xf x或 (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2单调性与单调区间单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数 f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间上具有单调性，称为DDD 函数 f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：要点诠释： 单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 不能随意合并两个单调区间； 有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3函数的最大（小）值函数的最大（小）值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：( )yf xIM 对于任意的，都有（或） ；xI( )f xM( )f xM 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）. 0 xI 0 ()f xMM( )yf x 要点诠释：要点诠释： 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值； 0 x 0 ()f x 对于定义域内的任意元素，都有（或） ， “任意”两字不可省；x 0 ( )()f xf x 0 ( )()f xf x 使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；( )f x 函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的( )f x 几何意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； 12 xx，( )f x 12 xx (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系； (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函数，若 tg x在区间上是单调函数，则 yf t在区间ab， 或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同( )( )g ag b，( )( )g bg a， tg x yf t 时为减） ，则 yfg x 为增函数；若与单调性相反，则为减函 tg x yf t yfg x 数. 要点二、基本初等函数的单调性要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数正比例函数(0)ykx k 当 k0 时，函数在定义域 R 是增函数；当 k0 时，函数在定义域 R 是增函数；当 k0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；( 2 b a ，) 2 b a ，+ 若 a0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数( 2 b a ，) 2 b a ，+ 要点三、一些常见结论要点三、一些常见结论 (1)若( )f x是增函数，则为减函数；若( )f x是减函数，则为增函数；( )f x( )f x (2)若( )f x和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或( )g x( )f x( )g x( )( )f xg x 减)函数； (3)若且( )f x为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且( )0f x ( )f x 1 ( )f x ( )0f x 为减函数，则函数为减函数，为增函数.( )f x( )f x 1 ( )f x 【典型例题典型例题】 类型一、函数的单调性的证明类型一、函数的单调性的证明 例 1讨论函数的单调性，并证明你的结论.( )(0) a f xxa x 【解析】设，则，. 12 0 xxa 12 0 xx 121212 0,0,0 x xx xax xa ，即. 1212 1212 1212 ()() ()()0 xxx xaaa f xf xxx xxx x 12 ()()f xf x 在上单调递减.( )f x 0, a 同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.( )f x ,a ,a ,0a 故函数在和上单调递增；在和上单调递减.( )f x ,a ,a ,0a 0, a 类型二、求函数的单调区间类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 2 |1|( -2)yxx 【解析】(1)由图象对称性，如图， f(x)在上递减，在上递减，在上递增. 3 - 2 ， 33 -,00, 22 上递增，在 3 + 2 ， (2)，如图，f(x)在上递增 -23 (1) |1|-2|1 (12) 2 -3 (2) xx yxxx xx -12 +，上递减，在， 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2) (3)； （4）y=|x2-2x-3|. 1 21 y x ， 2 1 y x 【解析】(1)画出函数图象， ) 1x( 1x ) 1x( 1x y 函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；1, (2)定义域为，其中 u=2x-1 为增函数，在(-，0) u 1 y, 1x2u, 2 1 2 1 , ，设 u 1 y 与(0，+)为减函数，则上为减函数； , 2 1 , 2 1 , 1x2 1 y在 (3)定义域为(-，0)(0，+)，单调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+). 2 x 1 y （4）先画出 y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，xx 就得到了所求函数的图象，如图 所以 y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-，-1） ， （1，3） ； 单调增区间是（-1，1） ， （3，+）. 例 3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且( )yf xRx xR ()( )( )f xxf xf x 对任意的，都有.0 x ( )0,(3)3f xf （1）试说明：函数是上的单调递减函数；( )yf xR （2）试求函数在（且）上的值域.( )yf x,m n,m nZ0mn 【解析】 （1）任取、，且， ，于是由题设条件可知： 1 x 2 xR 12 xx ()( )( )f xxf xf x . 2121 ()()f xf xxx 121 ()()f xf xx ，对任意的都有， 1221 ,0 xxxx0 x ( )0f x . 21 ()0f xx 21211 ()()()()f xf xf xxf x 故函数是上的单调递减函数.( )yf xR （2）由于函数是上的单调递减函数，( )yf xR 在m,n上也为单调递减函数，( )yf x 在m,n上的最大值为，最小值为.( )yf x( )f m( )f n 由于，( )1 (1)(1)(1)2 (1)(2)(1)f nfnff nff nnf 同理.( )(1)f mmf(3)3,(3)3 (1)3fff (1)1,( ),( )ff mm f nn 因此函数在上的值域为.( )yf x,m n , n m 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有( )f x(0,)1x ( )0f x xy ，试判断的单调性.()( )( )f xyf xf y( )f x 【解析】设，则. 12 0 xx 11 22 1,()0 xx f xx . 11 1222 22 ()()()()() xx f xf xf xff x xx 在上单调递增.( )f x0, 【变式 2】已知增函数 y=f（x）的定义域为且满足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y） ，求(0 ,) 满足 f（x）+f（x3）2 的 x 的范围 【解析】由 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知， 2=1+1=f（2）+f（2）=f（4） ， 所以 f（x）+f（x3）2 等价于：f（x）+f（x3）f（4） ， 因为，()( )( )f xyf xf y 所以 f（x）+f（x3）=fx（x3）， 所以 fx（x3）f（4） 又因为 y=f（x）在定义域（0，+）上单调递增 所以， (3)4 14 0 3 30 x x x x x x 34x 故满足的实数 x 的取值范围是3 ,4 类型三、单调性的应用类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 4. 已知函数是定义域为的单调增函数( )f xR （1）比较与的大小； 2 (2)f a (2 )fa （2）若，求实数的取值范围 2 ()(6)f af aa 【解析】 （1）因为，所以， 22 22(1)10aaa 2 22aa 由已知，是单调增函数，所以( )f x 2 (2)(2 )f afa （2）因为是单调增函数，且，所以，解得或( )f x 2 ()(6)f af a 2 6aa3a 2a 例 5. 求下列函数的值域： (1)； x5，10； x(-3，-2)(-2，1)； 2 -1 2 x y x (2)； 2 -28yxx (3)；43 -1-2yxx (4).1-2yxx 【解析】 (1)2 个单位， 2(2)-5-5-5 22 x yy xxx +2可看作是由左移 再上移 2 个单位得到，如图 f(x)在5，10上单增，； 9 19 (5),(10) , 7 12 yff即 ； 1 (- ,(1)( (-3),)(-)(7) 3 yff 即， (2) ； 2222 -( -1)9 ( -1)0-( -1)00-( -1)990,3yxxxxy， (3)经观察知，； 1 3 -10, 3 xx， 112 ,( )- 333 yyf 在上单增， 2 -, 3 y (4)令. 2 22 1-111 1-20 -( -1)1,- ,1 2222 t xtytttty 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数 f（x）的最大值和最小值 【解析】 （1），作出其图象如下： 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx （2）由 f（x）的图象可得，单调递减区间为3，2，0，1） ，3，6； 递增区间为：2，0） ，1，3 （3）由 f（x）的图象可得，当 x=3 时，f（x）取得最大值为 4，当 x=6 时，f（x）取得最小 值5 例 6.求在区间0，2上的最大值和最小值. 2 ( )21f xxax 【解析】，对称轴为 22 ( )()1f xxaa xa （1）当时，由上图可知，0a min ( )(0)1f xf max ( )(2)34 .f xfa （2）当时，由上图可知，01a 2 min ( )( )1,f xf aa max ( )(2)34 .f xfa （3）当时，由上图可知，12a 2 min ( )( )1,f xf aa max ( )(0)1.f xf （4）当时，由上图可知，2a min ( )(2)34 ,f xfa max ( )(0)1.f xf 类型四、抽象函数的单调性及应用类型四、抽象函数的单调性及应用 例 7已知：函数对一切实数 x，y 都有成立，且 f（1）=0( )f x()( )(21)f xyf yx xy （1）求 f（0）的值 （2）求 f（x）的解析式 （3）已知 aR，设 P：当时，不等式恒成立； 1 0 2 x( )32f xxa Q：当 x2，2时，是单调函数( )( )g xf xax 如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A，满足 Q 成立的 a 的集合记为 B，求 ACRB（R 为全集） 【解析】 （1）令 x=1，y=1，则由已知 f（0）f（1）=1（1+2+1）f（1）=0，f（0）=2； （2）令 y=0，则 f（x）f（0）=x（x+1） ，又f（0）=2， ； 2 ( )2f xxx （3）不等式，即即，( )32f xxa 2 232xxxa 2 1xxa 当时，又恒成立，故 A=a|a1， 1 0 2 x 2 3 1 1 4 xx 2 13 () 24 xa ， 22 ( )2(1)2g xxxaxxa x 又在2，2上是单调函数，故有，或，( )g x 1 2 2 a 1 2 2 a B=a|a3，或 a5，ACRB=a|1a5 【巩固练习巩固练习】 1定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( )R( )f x, a b ( )( ) 0 f af b ab A函数先增后减 B函数先减后增( )f x( )f x C函数是上的增函数 D函数是上的减函数( )f xR( )f xR 1. 【答案】C.【解析】由知，当时， ( )( ) 0 f af b ab ab( )( )f af b 当时，所以在上单调递增.ab( )( )f af b( )f xR 2在区间上为增函数的是( ) 0 , ( A B C D1y2 1 x x y12 2 xxy 2 1xy 2. 【答案】B.【解析】. 21 21 111 xx y xxx 3函数的一个单调递减区间可以是（ ）( )(2)f xx x A.-2，0 B.0，2 C.1，3 D. 0，+） 3. 【答案】C.【解析】函数，图象开口向下，对称轴是. 2 ( )(1)1f xx 1x 4已知是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） (31)4 ,1 ( ) 1,1 axa x f x xx A B C D 1 ,) 7 1 1 , ) 7 3 1 (, ) 3 11 (, ( ,) 73 4 【答案】B【解析】当 x1 时，函数 f（x）=x+1 为减函数，此时函数的最大值为 f（1）=0， 要使 f（x）在 R 上的减函数，则满足，即，解集 310 314(1)0 a aaf 1 3 1 7 a a 11 73 a 5函数的值域为( )11yxx A B C D2,2, 0,2, 0 5. 【答案】B.【解析】 ，是的减函数，当 2 ,1 11 yx xx yx1,2,02xyy 6设，函数的图象关于直线对称，则之间的0a 2 ( )f xaxbxc1x (1),( 2),( 3)fff 大小关系是（ ） A. B. (1)( 2)( 3)fff( 3)( 2)(1)fff C. D. (1)( 3)( 2)fff( 2)( 3)(1)fff 6. 【答案】A.【解析】 由于，且函数图象的对称轴为0a 2 ( )f xaxbxc1,x 所以函数在上单调递增.因为，从而.( )f x1,123(1)( 2)( 3)fff 7已知函数若，则实数的取值范围是（ ）. 2 2 4 ,0, ( ) 4,0, xx x f x xxx 2 (2)( )faf aa A B C D , 12, 1,22,1 , 21, 7 【答案】C. 【解析】在上单调递增； 22 4(2)4yxxx0, 在上单调递增.又， 22 4(2)4yxxx ,0 222 4(4)20 xxxxx ，推出得，解得. 2 (2)( )faf a 2 2,aa 2 20aa22a 8在函数的图象上任取两点，称为函数从( )yf x 1122 ( ,), (,)A x yB xy 21 21 yyy xxx ( )yf x 到之间的平均变化率.设函数，则此函数从到之间的平均变化率为（ ）. 1 x 2 x 2 ( )1f xxx 1 x 2 x A B 2112 ()(1)xxxx 12 1xx C D 2112 ()(1)xxxx 12 1xx 8 【答案】B. =（） （） ， 22 2211 1 (1)yxxxx 21 xx 21 1xx 21 12 21 1 yyy xx xxx 9函数的单调递增区间为（ ） 2 32yxx A B C D 3 , 2 3 , 2 2 ,1 9 【答案】C 【解析】令，求得 x1，或 x2，故函数的定义域为 2 ( )320t xxx ，且函数，故本题即求二次函数 t（x）在上的增 ,12 ,( )yt x ,12 , 区间 再利用二次函数的性质可得 t（x）在上的增区间为， ,12 ,2 , 10函数的值域是_.21yxx 10. 【答案】【解析】 是的增函数，当时，. 2,)1,xy x1x min 2y 11函数与在区间（1，2）上都单调递减， 2 ( )2f xxax 1 ( ) 1 ax g x x 则实数 a 的取值范围是_ 11 【答案】 （1，1【解析】的图象是开口朝下，以 x=a 为对称轴的抛物线， 2 ( )2f xxax 在区间1，2上是减函数，a1 ； 2 ( )2f xxax 在区间（1，2）上都单调递减，有 a+10，解得 a1 ； 11 ( ) 11 axa g xa xx 综，得1a1，即实数 a 的取值范围是（1，1 12函数的定义域为 A，若且时总有，则称为单函( )f x 12 ,x xA 12 ()()f xf x 12 xx( )f x 数例如，函数是单函数下列命题：( )21()f xxxR 函数是单函数； 2 ( )()f xxxR 若为单函数，且，则；( )f x 12 ,x xA 12 xx 12 ()()f xf x 若 f：AB 为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；bB 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数( )f x( )f x 其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号） 12. 【答案】 【解析】 对于，若，则，不满足；实际上是单函数命 12 ()()f xf x 12 xx 题的逆否命题，故为真命题；对于，若任意，若有两个及以上的原象，也即当bB 时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题不满足条件 12 ()()f xf x 12 xx 13已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在( )f x1,1()( )fxf x ( )f x 定义域上单调递减；(3)求的取值范围. 2 (1)(1)0,fafaa 13 【解析】，则， 22 (1)(1)(1)fafaf a 2 2 1 11 1 11 11 a a aa 01a 14已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）=1 和 f（x+1）f（x）=2x （1）求 f（x） ； （2）求 f（x）在区间1，1上的最大值和最小值 14 【答案】 （1）；（2）f（x）min=，f（x）max=3 2 ( )1f xxx 3 4 【解析】 （1）设， 2 ( )f xaxbxc 则 22 (1)( )(1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab 由题恒成立， 得 1 22 c axabx 22 0 1 a ab c 1 1 1 a b c 2 ( )1f xxx （2）=在单调递减，在单调递增 22 13 ( )1() 24 f xxxx 1 1 , 2 1 ,1 2 ， min 13 ( )( ) 24 f xf max ( )( 1)3f xf