（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.1 指数与指数幂的运算讲义（学生版+教师版）.zip

指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 【要点梳理要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1整数指数幂的概念整数指数幂的概念 ), 0( 1 01 0 * Z*na a a aa Znaaaa n n an n 个 2运算法则运算法则 （1）； （2）； nmnm aaa mn n m aa （3）； （4）.0 anma a a nm n m ， mm m baab 要点二、根式的概念和运算法则要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义：次方根的定义： 若 xn=y(nN*，n1，yR)，则 x 称为 y 的 n 次方根. n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为；负数 y 的奇次方根有一个，是负数， n y 记为；零的奇次方根为零，记为； n y00 n n 为偶数时，正数 y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记 n y 为.00 n 2两个等式两个等式 （1）当且时，；1n * nN n n aa （2） )( | )( , 为偶数 为奇数 na na a nn 要点诠释：要点诠释： 要注意上述等式在形式上的联系与区别； 计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数， 可先写成的形式，这样能避免出现错误|a 要点三、分数指数幂的概念和运算法则要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定 a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： m n （1） 1 n n aa （2）() m nmmn n aaa （3） - 1 m n m n a a 要点四、有理数指数幂的运算要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质 Qba,00， (1) ;aaa (2) ();aa (3)();aba b 当 a0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 ； 24 4 2 )4()4( (3)幂指数不能随便约分.如. 2 1 4 2 )4()4( 2.指数幂的一般运算步骤指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定 符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab） （ab） ， （ab） 2a22abb2， （ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab） （a2abb2） ，a3b3（ab） （a2abb2）的运用，能够简化运算. 【典型例题典型例题】 类型一、根式类型一、根式 例 1.计算：（1）； （2）.52 674 364 2 11 2121 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简：（1）； 34 34 32 2(12)(12) （2） 22 2169(| 3)xxxxx 类型二、指数运算、化简、求值类型二、指数运算、化简、求值 例 2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：a0 （1）；（2）；（3）；（4）。 2 aa 332 aaa a 236 3 3 yxy xyx 举一反三：举一反三： 【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； （2） 5 2aa 6 3 x xx 【变式 2】把下列根式化成分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4） 6 8 2(0)a a a 332 bb 5223 1 ()xx 例 3.计算： (1)； 1 1 11 2 00.25 34 73 (0.0081)3 ( )81(3 ) 88 (2) 43 3 33 33 9 1 624337 (3)。 2633 634 125( 36)(4)(3) 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算下列各式： (1)；(2). 63425 . 0 0 3 1 )32(28) 6 7 () 8 1 ( 3 3 3 2 3 3 2 3 1 3 4 )21 ( 42 8 a a b baba baa 例 4.化简 2222 2222 3333 xyxy xyxy 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式. （1）； （2）； （3）. 2111 1 3322 65 ()a bab ab 1 11 22 2mm mm 1 0.5 2 3 3 277 (0.027)2 1259 例 5已知，求的值.3 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2x+2-x=a(a 为常数)，求 8x+8-x的值. 【变式 2】已知，求及的值 1 4xx 11 22 xx 1 xx 例 6 （1）已知，求的值 3 1 2 a b 93 3 ab a （2）化简 113 2 1 234 2 1( 4) ( )(0,0) 4 0.1 () ab ab a b 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 【要点梳理要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1整数指数幂的概念整数指数幂的概念 ), 0( 1 01 0 * Z*na a a aa Znaaaa n n an n 个 2运算法则运算法则 （1）； （2）； nmnm aaa mn n m aa （3）； （4）.0 anma a a nm n m ， mm m baab 要点二、根式的概念和运算法则要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义：次方根的定义： 若 xn=y(nN*，n1，yR)，则 x 称为 y 的 n 次方根. n 为奇数时，正数 y 的奇次方根有一个，是正数，记为；负数 y 的奇次方根有一个，是负数， n y 记为；零的奇次方根为零，记为； n y00 n n 为偶数时，正数 y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记 n y 为.00 n 2两个等式两个等式 （1）当且时，；1n * nN n n aa 2 （2） )( | )( , 为偶数 为奇数 na na a nn 要点诠释：要点诠释： 要注意上述等式在形式上的联系与区别； 计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数， 可先写成的形式，这样能避免出现错误|a 要点三、分数指数幂的概念和运算法则要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定 a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： m n （1） 1 n n aa （2）() m nmmn n aaa （3） - 1 m n m n a a 要点四、有理数指数幂的运算要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质 Qba,00， (1) ;aaa (2) ();aa (3)();aba b 当 a0，p 为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 3 要点诠释：要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 ； 24 4 2 )4()4( (3)幂指数不能随便约分.如. 2 1 4 2 )4()4( 2.指数幂的一般运算步骤指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定 符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab） （ab） ， （ab） 2a22abb2， （ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab） （a2abb2） ，a3b3（ab） （a2abb2）的运用，能够简化运算. 【典型例题典型例题】 类型一、根式类型一、根式 例 1.计算：（1）； （2）.52 674 364 2 11 2121 【解析】 （1）52 674 364 2 =+- 22 ( 3)2 32( 2) 22 22 2 3( 3) 22 22 2 2( 2) = 222 ( 32)(23)(22) 4 =|+|-|322322 =+-（）322322 =22 （2） = 11 2121 2121 ( 21)( 21)( 21)( 21) =2121 =2 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简：（1）； 34 34 32 2(12)(12) 【答案】（1）；21 （2） 22 2169(| 3)xxxxx 【答案】（2） 22( 31), 4(13). xx x 5 类型二、指数运算、化简、求值类型二、指数运算、化简、求值 例 2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：a0 （1）；（2）；（3）；（4）。 2 aa 332 aaa a 236 3 3 yxy xyx 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） 115 2 22 222; aaaaaa （2）； 2211 3 3323 333 aaaaaa （3）； 11313 22224 ()()a aa aaa （4）= 236 3 3 yxy xyx 1236 3 3 () yxy xyx 232 yxy xyx 12 2 2 () y xy x 1 12 2 2 y xy x 5 4 y 举一反三：举一反三： 【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； （2） 5 2aa 6 3 x xx 【答案】 （1）； （2） 13 1010 2 a 2 3 x 【变式 2】把下列根式化成分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4） 6 8 2(0)a a a 332 bb 5223 1 ()xx 6 【解析】 （1）=； 6 8 2 1 177 6 6 3 2212 2222 （2）； 13313 22224 ()a aa aaaa （3）； 211 3323 33 bbbbb （4）= 5223 1 ()xx 24 3 3 2 55 11 ()xxx x 3 5 913 9 3 535 5 111 () x xx x 例 3.计算： (1)； 1 1 11 2 00.25 34 73 (0.0081)3 ( )81(3 ) 88 (2) 43 3 33 33 9 1 624337 (3)。 2633 634 125( 36)(4)(3) 【解析】(1)原式=；3 3 1 3 10 ) 3 2 3 1 ( 3 1 )3 . 0( 2 1 1 (2)原式=；03323637 3333 (3)原式=-5+6+4-(3-)=2； 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算下列各式： (1)；(2). 63425 . 0 0 3 1 )32(28) 6 7 () 8 1 ( 3 3 3 2 3 3 2 3 1 3 4 )21 ( 42 8 a a b baba baa 7 【解析】(1)原式=； 6 2 1 6 3 1 4 1 4 1 3 ) 3 1 )(1( )3()2(2)2(18 1123222 32 4 1 4 3 (2)原式. 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2)2(2)( )8( a ba a bbaa baa a ba baa 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 )2()( )8( 例 4.化简 2222 2222 3333 xyxy xyxy 【解析】原式 2222 3333 3333 2222 3333 ()()()()xyxy xyxy . 22222222 2222 33333333 ()()()() xxyyxxyy 2 3 3 2()2 xy xy xy 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式. （1）； （2）； （3）. 2111 1 3322 65 ()a bab ab 1 11 22 2mm mm 1 0.5 2 3 3 277 (0.027)2 1259 【解析】 （1）原式； 21111 () 1 111 1 5 32322 1 3 2 62 3 6 15 66 1abab aba a a b 8 （2） 2 11 22 11 1 22 1111 2222 2 mm mm mm mmmm （3） 1 0.5 2 3 3 277 (0.027)2 1259 23 3 1252555 =( 0.027)-=0.09=0.09 27933 例 5已知，求的值.3 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 【解析】，3 2 1 2 1 xx 1 29xx 1 7xx ， 22 249xx 22 47xx = 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 11 1 22 ()(1)3 472 xxxx = 3 (7 1)3151 45453 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2x+2-x=a(a 为常数)，求 8x+8-x的值. 【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3 .3)3(3)22)(22( 223)2(222)2)(22()2(22)2)(22( 322 2222 aaaa xxxx xxxxxxxxxxxxxx 9 【变式 2】已知，求及的值 1 4xx 11 22 xx 1 xx 【解析】 ， x0， 1 4xx 则， 11 21 22 ()2426xxxx 则， 11 22 6xx ， 1 222 ()216xxxx 则， 22 14xx ， 1 222 ()214212xxxx 1 122 3xx 例 6 （1）已知，求的值 3 1 2 a b 93 3 ab a （2）化简 113 2 1 234 2 1( 4) ( )(0,0) 4 0.1 () ab ab a b 【解析】 （1）， 3 1 2 a b 32 2 22 2 9333 333 3 3 aabab a ba b a a （2） 1331113 22222 1 234 2 13 44 1( 4)4 22 ( ) 410025 0.1 () ab aabb a b