（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.3 三角函数的诱导公式讲义（学生版+教师版）.zip

三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 要点一：诱导公式要点一：诱导公式 诱导公式一：，其中sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ 诱导公式二：， ，其中sin()sin cos()cos tan()tankZ 诱导公式三：， ，其中sin()sin cos()costan()tan kZ 诱导公式四：， ，其中sin()sincos()cos tan()tan kZ 诱导公式五：，其中sincos 2 cossin 2 kZ 诱导公式六：，其中sincos 2 cossin 2 kZ 要点诠释：要点诠释： (1)要化的角的形式为(为常整数)； 90kk (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)；.sincoscos 444 xxx cossin 44 xx 要点二：诱导公式的记忆要点二：诱导公式的记忆 记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为90k kk 奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视k 为锐角时原函数值的符号. 类型一：利用诱导公式求值类型一：利用诱导公式求值 例 1求下列各三角函数的值： （1）； （2） 252525 sincostan() 634 cos585tan300 举一反三：举一反三： 【变式】 （1）； （2）； （3）tan（855） 10 sin 3 31 cos 6 例 2已知函数，其中 a、b、都是非零实数，( )sin()cos()f xaxbx 又知 f（2009）=1，求 f（2010） 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知角 为第四象限角，且. 4 tan 3 （1）求 sin+cos 的值； （2）求的值 ) 2 3 cos() 2 3 sin( )cos(2)sin( 【变式 2】已知， 3 sin()2cos 2 3cos()2cos() 且 0，0，求和的值 类型二：利用诱导公式化简类型二：利用诱导公式化简 例 3化简：(1)； (2). sin(180)sin()tan(360) tan(180 )cos()cos(180) sin()sin() () sin()cos() nn nZ nn 类型三：利用诱导公式进行证明类型三：利用诱导公式进行证明 例 4设，求证： 8 tan 7 m 1513 sin3cos 377 20221 sincos 77 m m 举一反三：举一反三： 【变式 1】设 A、B、C 为的三个内角，求证：ABC （1）；sinsinABC （2）；sincos 22 ABC 【变式 2】在ABC 中，sin（A+B）+sinC；cos（B+C）+cosA；tantan ； ， 其中恒为定值的是（） A、 B、 C、 D、 类型四：诱导公式的综合应用类型四：诱导公式的综合应用 例 5( )sin()cos(2)tan()tan()sin()f （1）化简；( )f （2）若是第三象限角，且，求的值； 31 cos() 25 ( )f （3）若=1860，求的值( )f 【巩固练习巩固练习】 1sin585的值为（ ） A B C D 2 2 2 2 3 2 3 2 2已知，且 是第四象限角，则 sin（2+）=（ ） 5 cos() 13 A B C D 12 13 12 13 12 13 5 12 3已知，则的值等于（ ）(cos )cos3fxx(sin30 )f A1 B1 C D0 1 2 4等于（ ）)2cos()2sin(21 Asin2cos2 Bcos2sin2 C（sin2cos2） Dsin2+cos2 5若，则等于（ ） sincos 2 sincos 3 sin(5 ) sin 2 A B C D 3 4 3 10 3 10 3 10 6.给定函数y=xcos（+x） ，y=1+sin2（+x） ，y=cos（cos（+x） ）中， 偶函数的个数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 7已知，则的值为（ ） 3 sin()cos(2)tan 2 ( ) cos() f 31 3 f A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 8已知，则的值是（ ） 3 cos 63 2 5 sincos 66 A B C D 23 3 23 3 23 3 23 3 9计算： ) 4 25 tan( 3 25 cos 6 25 sin 10若，为第三象限角，则的值是 75cos 3 1 435sin255cos 11已知，则值为_ 3 sin() 42 3 sin() 4 12已知是方程 5x27x6=0 的根，是第三象限角sin （1）分别求 sin，cos，tan的值； （2）求 2 33 sin()cos() 22 tan () sin()cos() 22 13三角函数中整体思维的运用（需要将两个角看成一个整体）三角函数中整体思维的运用（需要将两个角看成一个整体） （1）已知 sin()=，求 sin(= 6 5 3 1 ） - 6 （2）已知 sin=,求 cos= ） （ 43 1 - 4 （3）已知 3 4 sin, 4 1 3 sin求 （4）已知 8 5 cos, 3 2 8 sin求 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 要点一：诱导公式要点一：诱导公式 诱导公式一：，其中sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ 诱导公式二：， ，其中sin()sin cos()cos tan()tankZ 诱导公式三：， ，其中sin()sin cos()costan()tan kZ 诱导公式四：， ，其中sin()sincos()cos tan()tan kZ 诱导公式五：，其中sincos 2 cossin 2 kZ 诱导公式六：，其中sincos 2 cossin 2 kZ 要点诠释：要点诠释： (1)要化的角的形式为(为常整数)； 90kk (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)；.sincoscos 444 xxx cossin 44 xx 要点二：诱导公式的记忆要点二：诱导公式的记忆 记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为90k kk 奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视k 为锐角时原函数值的符号. 类型一：利用诱导公式求值类型一：利用诱导公式求值 例 1求下列各三角函数的值： （1）； （2） 252525 sincostan() 634 cos585tan300 【解析】 （1）原式=sin(4)cos(8)tan(6) 634 sincostan 634 11 10 22 （2）原式=cos(18045 )tan(36060 ) cos45tan60 22 3 2 举一反三：举一反三： 【变式】 （1）； （2）； （3）tan（855） 10 sin 3 31 cos 6 【解析】 （1） 1010 sinsin 33 44 sin 2sin 33 3 sinsinsin 3332 （2） 3177 coscos 4cos 666 3 coscos 662 （3）tan(855)=tan(3360+225)=tan225=tan(180+45)=tan45=1 例 2已知函数，其中 a、b、都是非零实数，( )sin()cos()f xaxbx 又知 f（2009）=1，求 f（2010） 【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)fab sin(2008)cos(2008)ab sin()cos()sincos( sincos)ababab f（2009）=1 sincos1ab (2010)sin(2010)cos(2010)fabsincos1ab 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知角 为第四象限角，且. 4 tan 3 （1）求 sin+cos 的值； （2）求的值 ) 2 3 cos() 2 3 sin( )cos(2)sin( 【解析】 （1）由题知：，则 43 sin,cos 55 1 sincos 5 （2）原式 410 2 sin2costan2 33 10 41 cossin1tan 1 33 【变式 2】已知， 3 sin()2cos 2 3cos()2cos() 且 0，0，求和的值 【解析】由已知得，两式平方相加，消去，sin2sin3cos2cos 得，而，或 22 sin3cos2 2 1 cos 2 0 2 cos 2 4 3 4 当时，又，； 4 3 cos 2 0 6 当时，又， 3 4 3 cos 2 0 5 6 故，或， 4 6 3 4 5 6 类型二：利用诱导公式化简类型二：利用诱导公式化简 例 3化简：(1)； (2). sin(180)sin()tan(360) tan(180 )cos()cos(180) sin()sin() () sin()cos() nn nZ nn 【解析】(1)原式； sinsintantan 1 tancoscostan (2) 当时，原式.2 ,nk kZ sin(2)sin(2)2 sin(2)cos(2)cos kk kk 当时，原式.21,nkkZ sin(21) sin(21) 2 sin(21) cos(21) cos kk kk 类型三：利用诱导公式进行证明类型三：利用诱导公式进行证明 例 4设，求证： 8 tan 7 m 1513 sin3cos 377 20221 sincos 77 m m 【证明】由，得， 8 tan 7 m tan 7 m 左边 ) 7 (2cos) 7 (2sin ) 7 (2cos3) 7 (2sin sin3cos 77 sincos 77 sin3cos 77 sincos 77 =右边，等式成立 tan3 37 1 tan1 7 m m 举一反三：举一反三： 【变式 1】设 A、B、C 为的三个内角，求证：ABC （1）；sinsinABC （2）；sincos 22 ABC 【解析】 （1）左边=右边，等式得证sin()sin()sinABcC （2）左边=右边，等式得证sin 2 A() sincoscos 2222 BCBCBC 【变式 2】在ABC 中，sin（A+B）+sinC；cos（B+C）+cosA；tantan ； ， 其中恒为定值的是（） A、 B、 C、 D、 【解析】选 A 解：sin（A+B）+sinC=sin（c）+sinC=2sinC，不是定值排除； cos（B+C）+cosA=cos（A）+cosA=cosA+cosA=0符合题意； tantan =tan（ ）tan =cot tan =1符合； =sin sin =sin2不是定值不正确 类型四：诱导公式的综合应用类型四：诱导公式的综合应用 例 5( )sin()cos(2)tan()tan()sin()f （1）化简；( )f （2）若是第三象限角，且，求的值； 31 cos() 25 ( )f （3）若=1860，求的值( )f 【解析】 （1）( )sin()cos(2)tan()tan()sin()f ； 4 sin sincos( tan) ( tan) sin cos （2）， 31 cos() 25 1 sin 5 又是第三象限角，； 2 6 cos 5 6 ( ) 1500 f （3）=1860， 4 4 3 () sin ( 1860 )9 2 ( )( 1860 ) 1 cos( 1860 )8 2 ff 【巩固练习巩固练习】 1sin585的值为（ ） A B C D 2 2 2 2 3 2 3 2 1 【答案】A 【解析】sin585=sin(360+225)=sin225=sin(180+45)=sin45=。 2 2 2已知，且 是第四象限角，则 sin（2+）=（ ） 5 cos() 13 A B C D 12 13 12 13 12 13 5 12 2 【答案】A【解析】由，得，又因 是第四象限角， 5 cos() 13 5 cos 13 2 12 sin( 2)sin1 cos 13 3已知，则的值等于（ ）(cos )cos3fxx(sin30 )f A1 B1 C D0 1 2 3 【答案】A 【解析】。(sin30 )(cos60 )cos1801ff 4等于（ ）)2cos()2sin(21 Asin2cos2 Bcos2sin2 C（sin2cos2） Dsin2+cos2 4 【答案】A【解析】原式= 2 1 2sin2cos2(sin2cos2)sin2cos2 5若，则等于（ ） sincos 2 sincos 3 sin(5 ) sin 2 A B C D 3 4 3 10 3 10 3 10 5 【答案】B 【解析】原式=，sin(5) ( cos)sincos 由，而，。 sincos 2sin3cos sincos 222 sincos10cos1 2 1 cos 10 原式=sincos=3cos2=。 3 10 6.给定函数y=xcos（+x） ，y=1+sin2（+x） ，y=cos（cos（+x） ）中， 偶函数的个数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 6.选 A 解：对于y=xcos（ +x）=xsinx，是偶函数，故正确； 对于y=1+sin2（+x）=sin2x+1，是偶函数，故正确； 对于y=cos（cos（+x） ）=cos（sinx）=cos（sinx） ， f（x）=cos（sin（x） ）=cos（sinx）=cos（sinx）=f（x） ，函数是偶函数，故正确 7已知，则的值为（ ） 3 sin()cos(2)tan 2 ( ) cos() f 31 3 f A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 7 【答案】B 【解析】，因为， cos sincos sin ( )cos cos f 31 10 33 所以 311 cos 332 f 8已知，则的值是（ ） 3 cos 63 2 5 sincos 66 A B C D 23 3 23 3 23 3 23 3 8 【答案】A 【解析】因为，故 66 5 66 22 51323 sincos1 coscos1 6666333 9计算： ) 4 25 tan( 3 25 cos 6 25 sin 9 【解析】原式=sin(4)cos(8)tan(6) 634 sincostan 634 11 10 22 10若，为第三象限角，则的值是 75cos 3 1 435sin255cos 10 【解析】原式=cos(255)sin(435) sin(165)sin(75) = =cos(75)sin(75) 2 1112 2 1 333 11已知，则值为_ 3 sin() 42 3 sin() 4 11 【解析】， 3 ()() 44 sin()sin ，又， 3 sin()sin()sin() 444 3 sin() 42 33 sin() 42 12已知是方程 5x27x6=0 的根，是第三象限角sin （1）分别求 sin，cos，tan的值； （2）求 2 33 sin()cos() 22 tan () sin()cos() 22 12 【解析】 （1）sin是方程 5x27x6=0 的根，是第三象限角，1sin0， 且，或， 7169 sin 10 sin2 3 sin 5 ， 2 4 cos1 sin 5 sin3 tan cos4 （2） 222 33 sin()cos() cos( sin)39 22 tan ()tan( ) cossin416 sin()cos() 22 13三角函数中整体思维的运用（需要将两个角看成一个整体）三角函数中整体思维的运用（需要将两个角看成一个整体） （1）已知 sin()=，求 sin(= 6 5 3 1 ） - 63 1 （2）已知 sin=,求 cos=） （ 43 1 - 4 3 1 （3）已知 4 1 3 4 sin, 4 1 3 sin 求 （4）已知 3 2 8 5 cos, 3 2 8 sin 求